4.3.1 第2课时 等比数列的判定及性质(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第二课时　等比数列的判定及性质 1.A　2.D　3.B　4.A　 5.C　当t＝时，由a1＝1得a2＝＋＝1，a3＝＋＝1，…，an＝1，所以{an}是等比数列，充分性成立；反之若{an}是等比数列，则a2＝ta1＋t＝2t，a3＝ta2＋t＝2t2＋t，又因为a1，a2，a3也成等比数列，所以＝a1a3，即4t2＝2t2＋t，又t≠0，所以t＝，此时an＝1（n∈N*），满足题意，必要性也成立.所以“t＝”是“数列{an}是等比数列”的充要条件.故选C. 6.BD　对于A，当q＜0时，ak·ak＋1＜0，A不一定成立；对于B，ak·ak＋2＝（akq）2＞0，B成立；对于C，ak·ak＋1·ak＋2＝（ak＋1）3＞0不一定成立，C不一定成立；对于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝（ak＋1·ak＋2）2＞0一定成立，故选B、D. 7.1 536　解析：由题意知q5＝＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536. 8.或　解析：由a2·a10＝6，a2＋a10＝5，得a2和a10为方程x2－5x＋6＝0的两个根，解得a2＝2，a10＝3或a2＝3，a10＝2，设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝＝或. 9.　解析：由等比数列性质an＋p＝an·qp，b＝am＋20·am＋30＝am·q20·am＋10·q20＝（am·am＋10）q40＝aq40，∴q40＝，故am＋40·am＋50＝（am·am＋10）·q80＝a·（）2＝. 10.解：（1）设数列{an}的公比为q， 由＝9a2a6得＝9， 所以q2＝. 由已知q＞0，故q＝. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1， 所以a1＝. 故数列{an}的通项公式为an＝. （2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－（1＋2＋…＋n）＝－. 11.C　∵T13＝4T9，∴a1a2·…·a9a10a11a12a13＝4a1a2·…·a9，∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴（a8·a15）2＝4，∴a8a15＝±2.又∵{an}为递减数列，∴q＞0，∴a8a15＝2. 12.B　设{an}的公比为q，由b1＝1＋a，b2＝2＋a2，b3＝3＋a3且＝b1b3⇒（2＋aq）2＝（1＋a）·（3＋aq2）⇒aq2－4aq＋3a－1＝0，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，所以方程有两个不相等的实数根.由{an}唯一，知方程必有一根为0，代入方程aq2－4aq＋3a－1＝0中，得a＝. 13.64　解析：法一　设{an}的公比为q，依题意得解得所以an＝（）n－4，从而a1a2…an＝（＝（，当n＝3或n＝4时，［（n－）2－］取到最小值－6，此时（取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64. 法二　设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64. 14.解：（1）证明：∵Sn＝an－4an＋1①， ∴Sn＋1＝an＋1－4an＋2②， ②－①⇒an＋1＝an＋1－4an＋2－an＋4an＋1， ∴4an＋2＝4an＋1－an， 故4an＋2－2an＋1＝2an＋1－an， ∴2an＋2－an＋1＝（2an＋1－an）， 而在①式中令n＝1⇒a1＝a1－4a2，又S1＝－1， ∴a2＝0，∴2a2－a1＝1≠0， ∴{2an＋1－an}是首项为1，公比为的等比数列. （2）由（1）得，2an＋1－an＝， 则2nan＋1－2n－1an＝1， ∴数列{2n－1an}是首项为－1，公差为1的等差数列. ∴2n－1an＝n－2， ∴an＝. 15.解：（1）设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1. 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， 解得q＝或q＝（舍去）， 所以an＝8×（）n－1＝24－n，n∈N*. （2）bn＝an（n＋2－λ）＝（n＋2－λ）·24－n， 由bn＞bn＋1，得（n＋2－λ）·24－n＞（n＋3－λ）·23－n， 即λ＜n＋1， 所以λ＜（n＋1）min＝2， 故实数λ的取值范围为（－∞，2）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　等比数列的判定及性质 　　 1.在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，则a3＝（　　） A.4 B. C. D.2 2.已知{an}为等比数列，若a2＋4a4＝4a3，则{an}的公比q＝（　　） A.－2 B.2 C.－ D. 3.若数列{an}是公比为q的递增等比数列，则（　　） A.a1＞0，q＞1 B.a1（q－1）＞0 C.（a1－1）q＞0 D.（a1－1）q＜0 4.在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9＝（　　） A.9 B.－9 C.±9 D.18 5.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝tan＋t（n∈N*，t≠0），则“t＝”是“数列{an}是等比数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.〔多选〕已知等比数列{an}，则下面式子对任意正整数k都成立的是（　　） A.ak·ak＋1＞0 B.ak·ak＋2＞0 C.ak·ak＋1·ak＋2＞0 D.ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＞0 7.在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝　　　　. 8.在等比数列{an}中，a2·a10＝6，a2＋a10＝5，则＝　　　　. 9.已知等比数列{an}中，am·am＋10＝a，am＋20·am＋30＝b（m∈N*），则am＋40·am＋50＝　　　　. 10.已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，＝9a2a6. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式. 11.已知等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝（　　） A.±2 B.±4 C.2 D.4 12.已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a（a＞0），b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.若数列{an}唯一，则a＝（　　） A. B. C. D.1 13.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为　　　　. 14.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝an－4an＋1，S1＝－1. （1）证明：数列{2an＋1－an}为等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. 15.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝an（n＋2－λ），且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $