4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第二课时　等差数列前n项和的 性质及应用 1.D　2.D　3.D　4.A　 5.C　在等差数列{an}中，公差d＝，a2＋a4＋…＋a100＝80，所以a1＋a3＋…＋a99＝a2＋a4＋…＋a100－50d＝80－50×＝55，所以S100＝（a1＋a3＋…＋a99）＋（a2＋a4＋…＋a100）＝55＋80＝135. 6.ABD　根据题意，设等差数列{an}的公差为d.对于A，a1＋3a2＝S6，即4a1＋3d＝6a1＋d，变形可得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正确；对于B，S13＝＝13a7＝0，故B正确；对于C，因为不能确定前6项的符号，故不能判断S7最小还是最大，故C不正确；对于D，S5－S8＝（5a1＋d）－（8a1＋d）＝－3a1－18d＝－3a7＝0，故D正确. 7.ABD　显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A、B正确；若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确；而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}为递增数列，但S1＝－1＜0，故C不正确. 8.5　解析：记该等差数列的前12项中偶数项的和为S偶，奇数项的和为S奇.由已知条件，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5. 9.12或13　解析：设数列{an}的公差为d，所以S25＝25a1＋d＝0，则a1＝－12d，所以Sn＝na1＋d＝n2－n.考虑函数y＝n2－n，因为a1＞0，d＜0，所以该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线n＝.因为n为正整数，所以当n＝12或13时，Sn取得最大值. 10.解：购买当天付了150元，欠款1 000元，每月付50元，分20次付完.设每月的付款数依次组成数列{an}，则 a1＝50＋1 000×0.01＝60， a2＝50＋（1 000－50）×0.01＝60－0.5＝59.5， a3＝50＋（1 000－50×2）×0.01＝60－0.5×2＝59， … a10＝60－0.5×9＝55.5， … an＝60－0.5（n－1）（1≤n≤20）. 所以数列{an}是等差数列，公差d＝－0.5，全部货款付清后付款总数为S20＋150＝＋150＝（2a1＋19d）×10＋150＝（2×60－19×0.5）×10＋150＝1 225. 故第10个月应交付55.5元.全部货款付清后，买这件家用电器实际花了1 255元. 11.B　设等差数列的公差为d，则S30＝（a1＋a4＋…＋a28）＋（a2＋a5＋…＋a29）＋（a3＋a6＋…＋a30）＝（a3＋a6＋…＋a30）－20d＋（a3＋a6＋…＋a30）－10d＋（a3＋a6＋…＋a30）＝180－30d，即120＝180－30d，解得d＝2.又S30＝30a1＋×2＝120，解得a1＝－25.所以an＝－25＋（n－1）×2＝2n－27，故选B. 12.AB　∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确. 13.15　解析：因为＜－1，所以＋1＜0，即＜0.又Sn有最小值，所以a8＜0，a8＋a9＞0，所以S15＝＝15a8＜0，S16＝＝8（a8＋a9）＞0，因此，使Sn＜0成立的n的最大值为15. 14.解：设等差数列{an}共有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项是第n＋1项，即an＋1. 所以＝＝＝＝＝，所以n＝3. 因为S奇＝（n＋1）an＋1＝44，所以an＋1＝11. 所以这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7（项）. 15.解：（1）证明：设列车从各站出发时，邮政车厢内的邮袋数构成一个数列{an}，则a1＝n－1，a2＝a1－1＋n－2＝（n－1）＋（n－2）－1， a3＝a2－2＋n－3＝（n－1）＋（n－2）＋（n－3）－1－2，…， 所以ak＝（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋…＋（n－k）－（1＋2＋…＋k－1）＝kn－k（k＋1）－k（k－1）＝－k2＋nk（k∈N*）. （2）由ak＝－（k－）2＋得， 当n为偶数，k＝时，ak的最大值为，当n为奇数，k＝或时，ak的最大值为. 即若n为偶数，则第站的车厢内邮袋数最多，最多为个； 若n为奇数，则第或站的车厢内邮袋数最多，最多为个. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　等差数列前n项和的性质及应用 　 1.在等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12＝（　　） A.12 B.18 C.24 D.30 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝（　　） A.－1 B.－ C. D.1 3.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 024＝S2 025，Sk＝S2 023，则正整数k＝（　　） A.2 022 B.2 024 C.2 025 D.2 026 4.古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（　　） A.413 B.427 C.308 D.133 5.已知等差数列{an}的公差d＝，a2＋a4＋…＋a100＝80，则S100＝（　　） A.80 B.120 C.135 D.160 6.〔多选〕已知数列{an}是等差数列，其前n项和Sn满足a1＋3a2＝S6，则下列四个选项中正确的是（　　） A.a7＝0 B.S13＝0 C.S7最小 D.S5＝S8 7.〔多选〕设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是（　　） A.若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C.若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0 D.若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 8.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d＝　　　　. 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S25＝0，则使Sn取得最大值时的n的值为　　　　. 10.一件家用电器用分期付款的方式购买，单价为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第1个月为分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部货款付清后，买这件家用电器实际花了多少钱？ 11.已知等差数列{an}满足S30＝120，a3＋a6＋a9＋…＋a30＝60，则an＝（　　） A.2n－25 B.2n－27 C.3n－15 D.3n－18 12.〔多选〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列命题中正确的是（　　） A.d＜0 B.S11＞0 C.S12＜0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 13.已知等差数列{an}，其前n项和为Sn，Sn有最小值，若＜－1，则使Sn＜0成立的n的最大值为　　　　. 14.已知项数为奇数的等差数列{an}，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数. 15.一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点A和终点B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个. （1）证明：若列车从第k站出发时，车厢内共有邮袋数为（－k2＋nk）个； （2）试判断第几站的车厢内邮袋数最多，最多是多少？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $