4.2.1 第3课时 等差数列的综合应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第三课时　等差数列的综合应用 1.D　2.C　3.B　4.A　 5.B　易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N*，所以n的最大值为16. 6.AC　A项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2·（2b）＝2a＋2c，∴2a，2b，2c成等差数列，故A正确；C项中，∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2（b＋2）＝（a＋2）＋（c＋2），∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，故C正确.取a＝1，b＝2，c＝3，易知B、D不成等差数列. 7.ACD　an＝a5＋（n－5）d＝4n－16，a8＝16.在新数列{bn}中，b1＝a1＝－12，公差d'＝d＝，∴bn＝－12＋（n－1）＝n－，则b8＝×8－＝－，令a50＝4×50－16＝184＝n－，得n＝148.∴a50＝b148，an－3bn＝24为常数. 8.9d　解析：由等差数列的性质可知，a1＋a2＋a3＝3a2，a4＋a5＋a6＝3a5，a7＋a8＋a9＝3a8，由3a5－3a2＝3a8－3a5＝9d可知，a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为9d. 9.　解析：设此等差数列为{an}，公差为d，则 ∴解得∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝. 10.解：（1）∵a1＝3，d＝－5， ∴an＝3＋（n－1）×（－5）＝8－5n. 数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， ∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27. （2）设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第n项，即bn＝am，则m＝3＋4（n－1）＝4n－1， ∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×（4n－1）＝13－20n，即数列{bn}的通项公式为bn＝13－20n. （3）3＋4×（503－1）＝2 011，∴数列{bn}中的第503项是数列{an}中的第2 011项. 11.C　根据根与系数的关系得，等差数列中两项的和是2，另外两项的和也是2，首项是，容易得到四项依次为，，，，则m，n的值一个为，另外一个为，所以｜m－n｜＝. 12.BC　由an－an＋2＝2得a3＝a1－2＝8，由于2a2≠a1＋a3，所以{an}不是等差数列，A错误；由an－an＋2＝2，知{an}的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为－2，当n＝2k（k∈N*）时，a2k＝a2＋（k－1）×（－2）＝7－2k，当n＝2k－1（k∈N*）时，a2k－1＝a1＋（k－1）×（－2）＝12－2k，故B、C都正确；当n＝2时，a2＋a3＝5＋8＝13不满足an＋an＋1＝18－3n，故D错误. 13.5　解析：设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20，由题意知，d＞0，故a＞0，b＞0，所以（a＋b）（＋）＝1＋16＋＋≥17＋2＝25，即＋≥＝，当且仅当＝，即b＝4a时等号成立，又a＝1＋d，b＝19－d，解得d＝3，所以19＝1＋（n＋1）×3，所以n＝5. 14.解：设该单位需购买电视机n台. 在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋（n－1）×（－20）＝－20n＋800， 由an＝－20n＋800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价（800－20n）元； 购买台数超过18台时，每台售价440元. 到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600（元）. 当n≤18时，比较在甲、乙两家家电商场的费用（800－20n）n－600n＝20n（10－n）. 当n＜10时，（800－20n）n＞600n，到乙商场购买花费较少； 当n＝10时，（800－20n）n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n，到甲商场购买花费较少； 当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少. 因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买10台电视机时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少. 15.解：（1）因为B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}， 当A＝{－3，0，1，2}时，ai＋aj＝－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，所以B＝{－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}. （2）证明：因为a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，所以有ai－1＋an＝ai＋an－1（2≤i≤n－2），2ai＝ai－1＋ai＋1（2≤i≤n－1）. 此时，集合B中的元素有以下大小关系：2a1＜a1＋a2＜a1＋a3＜…＜a1＋an＜a2＋an＜a3＋an＜…＜an－1＋an＜2an. 因此，集合B中含有2n－1个元素. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三课时　等差数列的综合应用 　 1.已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为（　　） A.7　　　　B.5　　　　C.3　　　　D.1 2.由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是（　　） A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 3.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是（　　） A.斤 B.斤 C.斤 D.3斤 4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为（　　） A. B. C. D. 5.有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（　　） A.15 B.16 C.17 D.18 6.〔多选〕若a，b，c成等差数列，则下列说法正确的是（　　） A.2a，2b，2c成等差数列 B.log2a，log2b，log2c成等差数列 C.a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D.2a，2b，2c成等差数列 7.〔多选〕已知等差数列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相邻两项中各插入两个数，使之成等差数列{bn}，下列正确的是（　　） A.a8＝16 B.b8＝－3 C.a50＝b148 D.{an－3bn}是常数列 8.若等差数列{an}的公差为d，则a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差为　　　　. 9.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为　　　　升. 10.在无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. （1）求b1和b2； （2）求数列{bn}的通项公式； （3）数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项？ 11.已知方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根构成首项为的等差数列，则｜m－n｜＝（　　） A.1 B. C. D. 12.〔多选〕已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2（n∈N*），则下列说法正确的有（　　） A.数列{an}是等差数列 B.a2k＝7－2k（k∈N*） C.a2k－1＝12－2k（k∈N*） D.an＋an＋1＝18－3n 13.在1和19之间插入n个数，使这n＋2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当＋取最小值时，n＝　　　　. 14.有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？ 15.给定整数n（n≥4），设集合A＝{a1，a2，…，an}，记集合B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}. （1）若A＝{－3，0，1，2}，求集合B； （2）若a1，a2，…，an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，求证：集合B中的元素个数为2n－1. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $