4.2.1 第2课时 等差数列的判定及性质(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第二课时　等差数列的判定及性质 1.A　2.A　3.B　4.C　 5.A　法一　设等差数列的通项公式为an＝xn＋y，代入点的坐标得解得即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2×（－10＋5）＝－10. 法二　由题意知，（1，3），（3，－1），（5，a5）三点共线，所以＝，所以a5＝－5.由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝－10. 6.ABD　对于A，即an＋1－an＝d，故A正确；对于B，数列{－an}是等差数列，则－an＋1＝－an＋d，d为常数，故an＋1－an＝－d，－d为常数，故B正确；对于C，数列{}是等差数列，则－＝d，d为常数，不能推导出{an}为等差数列，故C错误；易知D正确. 7.CD　根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0.又a1＞0，所以d＜0，a51＝a50＋d＜a50，故选C、D. 8.20　解析：在等差数列{an}中，因为a2＋a12＝a5＋a9＝a6＋a8＝2a7＝40，所以a7＝20，所以a5－a6＋a7－a8＋a9＝（a5＋a9）－（a6＋a8）＋a7＝a7＝20. 9.15　解析：∵a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a2＋a2 024＝10，由等差数列的性质得2a1 013＝10，即a1 013＝5，∴a1＋a1 013＋a2 025＝3a1 013＝15. 10.解：（1）法一　根据等差数列的性质得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6， 由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1， 解得a6＝，∴a4＋a8＝2a6＝. 法二　设公差为d，根据等差数列的通项公式， 得a2＋a6＋a10＝（a1＋d）＋（a1＋5d）＋（a1＋9d）＝3a1＋15d， 由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝. ∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2（a1＋5d）＝. （2）设公差为d（d＞0），∵a1＋a3＝2a2， ∴a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5. 又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列， ∴a1a3＝（5－d）（5＋d）＝16⇒d＝3或d＝－3（舍去）， ∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105. 11.B　因为a1＋a8＝2a1＋7d，a4＋a5＝2a1＋7d，所以a1＋a8＝a4＋a5，故C错误；因为a1a8－a4a5＝a1（a1＋7d）－（a1＋3d）（a1＋4d）＝－12d2＜0，所以a1a8＜a4a5，故A、D错误，B正确. 12.11　21　解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝＝＝，∴a15＝a9＋（15－9）d＝7＋6×＝11.∵ak＝a9＋（k－9）d＝15，∴15－7＝（k－9）×，∴k＝21. 13.（－4，11]　解析：∵等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，即3a1＋3d≤3，∴a1＋d≤1，∴a2≤1，公差d＞0.又∵a7－3a3≤8，∴a1＋6d－3（a1＋2d）＝－2a1≤8，∴a1≥－4，则0＜d＝a2－a1≤5，∴a4＝a1＋3d＞－4.a4＝a2＋2d≤1＋10＝11，∴a4的取值范围为（－4，11]. 14.解：（1）因为a1＝0，an＋1＝（n∈N*）， 所以a2＝＝，a3＝＝. （2）假设存在一个实数λ，使得数列{}为等差数列， 所以＝＋， 即＝＋，解得λ＝1. 因为－＝－＝－＝＝－， 又＝－1， 所以存在一个实数λ＝1，使得数列{}是首项为－1，公差为－的等差数列. 15.解：（1）数列{cn}是等差数列，理由如下： 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2， 所以d1＝an＋1－an，d2＝bn＋1－bn，n∈N*， 因为cn＝an＋2bn， 所以cn＋1－cn＝an＋1＋2bn＋1－（an＋2bn）＝（an＋1－an）＋2（bn＋1－bn）＝d1＋2d2为常数， 所以数列{cn}是以d1＋2d2为公差的等差数列. （2）因为a1＝5，b1＝8， 所以c1＝a1＋2b1＝5＋2×8＝21， 由（1）可知数列{cn}是等差数列，且公差为d1＋2d2， 因为{an}的公差为－2，{bn}的公差为－3， 所以数列{cn}的公差d＝－2＋2×（－3）＝－8， 所以数列{cn}的通项公式为cn＝c1＋（n－1）d＝21－8（n－1）＝29－8n. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　等差数列的判定及性质 　 1.在数列{an}中，a1＝2，2＝2an＋1（n∈N*），则a101＝（　　） A.52 B.50 C.51 D.49 2.在等差数列{an}中，a1＋2a3＋a5＝16，则a6－3a4＝（　　） A.－8 B.－6 C.－4 D.－2 3.在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝－6，a4a5＝8，则公差d＝（　　） A.4 B.2 C.－2 D.2或－2 4.在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝（　　） A.99 B.123 C.132 D.145 5.已知（1，3），（3，－1）是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap＋aq＝（　　） A.－10 B.－5 C.5 D.10 6.〔多选〕下列命题中，与命题“{an}为等差数列”等价的是（　　） A.an＋1＝an＋d（d为常数） B.数列{－an}是等差数列 C.数列{}是等差数列 D.an＋1是an与an＋2的等差中项 7.〔多选〕已知等差数列{an}满足a1＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则（　　） A.a1＋a101＞0 B.a1＋a101＜0 C.a3＋a99＝0 D.a51＜a50 8.在等差数列{an}中，a2＋a12＝40，则a5－a6＋a7－a8＋a9＝　　　　. 9.在等差数列{an}中，若a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 013＋a2 025＝　　　　. 10.（1）已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值； （2）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值. 11.若a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（　　） A.a1a8＞a4a5 B.a1a8＜a4a5 C.a1＋a8＞a4＋a5 D.a1a8＝a4a5 12.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15 ＝　　　　，若ak＝15，则k＝　　　　. 13.已知等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，a7－3a3≤8，则a4的取值范围为　　　　. 14.已知数列{an}满足an＋1＝（n∈N*），且a1＝0. （1）求a2，a3； （2）是否存在一个实数λ，使得数列{}为等差数列？请说明理由. 15.已知数列{an}和{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满足cn＝an＋2bn. （1）数列{cn}是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由； （2）若{an}的公差为－2，{bn}的公差为－3，a1＝5，b1＝8，求数列{cn}的通项公式. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $