4.1.2 数列的递推公式(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第二课时　数列的递推公式 1.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（　　） A.an＝an－1＋2（n≥2） B.an＝2an－1（n≥2） C.a1＝2，an＝an－1＋2（n≥2） D.a1＝2，an＝2an－1（n≥2） 2.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9＝（　　） A.15 B.17 C.49 D.64 3.已知a1＝1，an＝an－1＋3（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式为（　　） A.an＝3n＋1 B.an＝3n C.an＝3n－2 D.an＝3（n－1） 4.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则a11＝（　　） A.512 B.256 C.2 048 D.1 024 5.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝（n＋1）·an（n∈N*），且a1＝2，则数列{an}的通项公式为（　　） A.－n－1 B.－n C.n＋1 D.2n 6.〔多选〕符合递推公式an＝an－1的数列是（　　） A.1，2，3，4，… B.1，，2，2，… C.3，3，6，6，… D.0，，2，2，… 7.〔多选〕已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的是（　　） A.a1＝3 B.an＝2n（n≥2） C.an＝2n D.an＝2n（n≥2） 8.数列{an}中，已知a1＝5，且an＋1＝an＋（－1）n，则a10＝　　　　. 9.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋），则数列{an}的通项公式an＝　　　　. 10.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2（n≥3）给出. （1）写出此数列的前5项； （2）通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项. 11.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an＋2＝an＋1＋an（n≥1），那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝（　　） A.a2 023 B.a2 024 C.a2 025 D.a2 026 12.〔多选〕由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝，则（　　） A.b3＝5 B.b4＝9 C.b5＝15 D.b6＝33 13.已知数列{an}满足4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n（n∈N*），则an＝　　　　　. 14.（1）已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，（2n＋1）an＝（2n－3）an－1，求通项公式an； （2）已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1＋（n≥2），求an. 15.已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　数列的递推公式 1.C　2.B　3.C　4.D　 5.D　因为2Sn＝（n＋1）an，n∈N*，所以2Sn＋1＝（n＋2）an＋1，n∈N*，两式相减得2an＋1＝（n＋2）·an＋1－（n＋1）an，整理得nan＋1＝（n＋1）an，得＝，n∈N*，所以为常数列，所以＝＝2，所以an＝2n. 6.BC　B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为an＝an－1＋1.D中，无法推出递推公式.综上，B、C正确. 7.AD　当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n＋1－1）－（2n－1）＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝ 8.4　解析：因为an＋1＝an＋（－1）n，所以an＋1－an＝（－1）n，所以a10＝a10－a9＋a9－a8＋…＋a2－a1＋a1＝（－1）9＋（－1）8＋…＋（－1）1＋5＝4. 9.2＋ln n　解析：a2＝a1＋ln（1＋），a3＝a2＋ln（1＋），…，an＝an－1＋ln（1＋）（n≥2），则an＝a1＋ln（×××…×）＝2＋ln n（n≥2）.又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n. 10.解：（1）因为an＝an－1＋an－2（n≥3），且a1＝1，a2＝2， 所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. （2）因为bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， 所以b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故数列{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 11.C　由于an＋2＝an＋1＋an（n≥1），则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a5＋a6＋…＋a2 024＝a2 023＋a2 024＝a2 025. 12.ABD　因为an＝2n－1，bn＝，所以b2＝＝a2＝3，b3＝＝a3＝5，b4＝＝a5＝9，b5＝＝a9＝17，b6＝＝a17＝33. 13.4－3n　解析：由4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n（n∈N*），可得＋＋…＋＝（n∈N*），所以＋＋…＋＝（n∈N*，n≥2），两式相减得＝－＝＝（n∈N*，n≥2），所以an＝4－3n（n∈N*，n≥2），当n＝1时，41－1a1＝1，所以a1＝1，适合上式，所以an＝4－3n. 14.解：（1）当n≥2时，因为（2n＋1）an＝（2n－3）·an－1，所以＝， 所以···…··＝×××…××＝. 所以＝， 所以an＝， 当n＝1时，a1＝1符合上式， 所以an＝. （2）因为an＝an－1＋（n≥2）， 所以an－an－1＝＝－， 所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－（n≥2）. 以上各式相加，得an－a1＝－（n≥2）， 所以an＝a1＋－＝（n≥2）， 又a1＝适合上式， 所以an＝. 15.解：若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1. 若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0（舍去）， 若a2为偶数，则＝1，a2＝2. 若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝（舍去）， 若a1为偶数，则＝2，a1＝4； 若a3为偶数，则＝4，a3＝8. 若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝（舍去）， 若a2为偶数，则＝8，a2＝16. 若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5， 若a1为偶数，则＝16，a1＝32. 故m所有可能的取值为4，5，32. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $