2 等差数列（教学课件）数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、通项公式、前n项和公式及应用，通过剧场座位、鞋码等生活实例和高斯算法故事导入，衔接数列基础知识，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以实例分析引导学生用数学眼光观察现实问题，通过归纳法推导通项公式、倒序相加法推导求和公式培养数学思维，题型训练分层设计结合结构化小结提升数学语言表达，帮助学生构建知识体系，教师可高效落实核心素养教学。

2 等差数列 第一章 数列 北师大版选择性必修第二册·高二 本章导读 1.2等差数列 等差数列的概念与通项公式 等差数列的前n项和公式 1.4数列的应用 数列在日常经济生活中的应用 数列的其他应用 1.3等比数列 等比数列的概念与通项公式 等比数列的前n项和公式 1.5数学归纳法 1.1数列的概念及其函数特性 数列的概念 数列的函数特性 学 习 目 标 1 2 3 熟练掌握等差数列通项公式的变形及应用，能解决“知三求一”及项的关系问题.  理解等差数列前项和公式的推导过程（倒序相加法），牢记两个核心公式. 能灵活运用通项公式和前项和公式解决实际问题，突破综合应用难点. 读教材 阅读课本P11-P14，5分钟后完成下列问题： 1.什么是等差数列？它有什么特点？ 2.等差数列的通项公式是如何推导的？ 3.如何利用等差数列解决实际问题？ 我们一起来探究“等差数列”吧！ 新课引入 在日常生活中，我们经常遇到这样的数列： ①正整数中被3整除的数：3，6，9，12，15，… ②电影院座位排列：第1排20个座位，第2排22个，第3排24个，… ③温度变化：某地一周日均温依次为 这些数列有什么共同特点？古代数学家早就开始研究这类有规律的数列，如今等差数列在工程设计、行程规划、经济分析等领域仍发挥着重要作用.今天，我们就从最基础的等差数列定义入手，开启学习之旅 学习过程 01 02 目录 1 等差数列的概念及其通项公式 3 题型训练 03 2 等差数列的前项和 实例分析 考察下列3个数列的共同特征： (1)一个剧场设置了20排座位，从第1排起各排的座位数组成数列： ① 这个剧场座位安排有何规律？ (2)全国统一鞋号中，鞋的各种尺码（表示以为单位的鞋底的长度）由大至小可排列为 ② 这种尺码的排列有何规律？ (3)蓝白两种颜色的正六边形地面砖，按图的规律拼成若干个图案，前4个图案中白色地面砖的块数依次为多少？ 实例分析 研究这些数列的特征及变化规律，可以发现： 对于数列①，从第2项起，每一项与它的前一项的差都是2; 对于数列②，从第2项起，每一项与它的前一项的差都是; 对于问题(3)，前4个图案中白色地面砖的块数依次为 ③ 因此，对于数列③，从第2项起，每一项与它的前一项的差都是4. 抽象概况 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母表示． 由此定义可知，对等差数列，有 等差数列的概念 牛刀小试 判断下面数列是不是等差数列． (1); (2). × √ 解:(1)由，得，于是 . 由的任意性知，这个数列是等差数列． (2), 因为，所以这个数列不是等差数列． 实例分析 如果等差数列的首项是，公差是（如图)，那么根据等差数列的定义得到 把以上各式相加，得 由此得到 当时，．所以这个公式对于时也成立． 抽象概况 若首项是，公差是，则等差数列的通项公式为 等差数列的通项公式 1、下面从函数角度研究等差数列. 对于，可将记作，它是定义在正整数集（或其子集）上的函数．其图象是直线 上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加. 抽象概况 当时，数列为递增数列（如图1); 当时，数列为递减数列（如图2); 当时，数列为常数列（如图3). 图1 图2 图3 2、如果在与之间插入一个数，使成等差数列，那么叫作与的等差中项．如果是与的等差中项，那么，所以 显然，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项． 抽象概况 3、设等差数列的公差为，则有如下的性质： (1)若，则. 特别地，当时，则.其中，，称为和的等差中项． 推广：若 ，则. (2)在等差数列中下标成等差数列的项组成的新数列仍为等差数列． (3)若都为等差数列，则也为等差数列(其中均为常数)． 你能尝试证明上述结论吗？ 例题剖析 【例1】(1)求等差数列的第10项； (2)已知等差数列，求和. 解: (1)由得. (2)由，得,且 所以等差数列的首项，公差. 【例2】已知在等差数列中，试求出此数列的通项公式． 解：设数列的通项公式为, 由已知，得 这是一个以和为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得 故数列的通项公式为 例题剖析 【例3】一个木制梯形架的上、下两底边分别为，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级．试计算梯形架间各级的宽度． 解: 记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为，则由梯形中位线的性质，易知相邻三项均成等差数列，即数列成等差数列．依题意，有 现要求，即中间5级的宽度． 依等差数列的定义，有 所以 因此，梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm, 68 cm. 连接梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 学习过程 01 02 目录 1 等差数列的概念及其通项公式 3 题型训练 03 2 等差数列的前项和 实例分析 如图，有200根相同的圆木料，要把它们堆放成正三角形垛，并使剩余的圆木料尽可能的少，那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成等差数列： 设共堆放了层，能构成正三角形垛的圆木料数为，则，这是一个等差数列的求和问题．如何计算该等差数列的和呢？ 实例分析 对于这个问题，高斯在小学时就巧妙地求出了时的结果． 小高斯回答说："我不是按照1,2,3的次序一个一个往上加的．老师，您看，一头一尾两个数的和都是一样的：1加100是101,2加99是101,3加98是101……把一前一后的数相加，一共有50个101,101乘50，得5050." 高斯的算法是 50个 抽象概况 对首项为，公差为的等差数列，设是等差数列的前项和，即 根据等差数列的通项公式，上式可以写成 再把项的次序反过来，又可以写成 ①+②，得 个 倒序相加法 抽象概况 等差数列的前项和公式为 这个公式表明:等差数列前项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半．示意图如右图. 将代入③式，得 特别地，当时，个连续正整数的和 等差数列的前项和 ③ ④ 抽象概况 设等差数列的公差为，前项和为则有如下的性质： (1)也成等差数列． (2)当为偶数时， (3)为等差数列. (4)若数列均为等差数列且其前项和分别为则 你能尝试证明上述结论吗？ 例题剖析 【例4】在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成（如下图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问： (1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？ 解:(1)设从第1圈到第9圈的石板数所成数列为，由题意可知数列是等差数列，其中首项，公差，项数.由等差数列的通项公式，得 (2)由等差数列的前项和公式，得 因此，第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板． 例题剖析 【例5】某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达．为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h后方可筑成第二道防线。但目前只有一辆车投入施工，其余的需从高速公路沿线抽调，每隔20 min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？ 解:从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：h）依次设为 这是一个等差数列，其中首项，公差. 25辆车可以完成的工作量为 需要完成的工作量为 因此，在24 h内能构筑成第二道防线． 学习过程 01 02 目录 1 等差数列的概念及其通项公式 3 题型训练 03 2 等差数列的前项和 题型训练 题型一 等差数列基本量的计算 【练习1】(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　) A．a2＋a3＝0　　　　　 B．an＝2n－5 C．Sn＝n2－4n D．d＝－2 等差数列基本量的求法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知量是常用方法． 题型训练 题型一 等差数列基本量的计算 【练习1】(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　 ) A．a2＋a3＝0　　　　　 B．an＝2n－5 C．Sn＝n2－4n D．d＝－2 解：因为，所以,正确；①,②，联立①②得 所以,正确，错误；,正确，故选. 题型训练 题型一 等差数列基本量的计算 【练习2】设Sn是等差数列{an}的前n项和，a4＝11，且S3，S5，a22成等差数列，则S10＝(　　) A．145 B．150 C．155 D．160 解：设等差数列的公差为，因为，所以，，，因为成等差数列，所以，所以，， 所以.故选C. 题型训练 题型二 等差数列项的性质 【练习3】若数列满足，且a3＋a15＝14，则其前17项和 S17＝(　　) A．136 B．119 C．102 D．85 解：由，得数列是等差数列，由可得.所以其前17项和，故选B. 等差数列项的性质 (1)等差数列中最常用的性质：①，②若，则． (2)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又迅速． 题型训练 题型二 等差数列项的性质 【练习4】已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝1，b1＝5，且a21－b21＝34，则a11－b11＝(　　) A．－17 B．－15 C．17 D．15 解：因为数列，都是等差数列，所以 又a1＝1，b1＝5,a21－b21＝34,所以故选. 题型训练 题型三 等差数列和的性质 【练习5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于(　　) A．110 B．150 C．210 D．280 解：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150.又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280. 等差数列和的性质 (1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差数列． (2) 也为等差数列． (3)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)． (4)S2n－1＝(2n－1)an. (5)当为偶数时， 当为奇数时， 题型训练 题型三 等差数列和的性质 【练习6】若数列均为等差数列且其前项和分别为则( ) 解：∵数列均为等差数列且其前项和分别为 ∴ 题型训练 题型四 等差数列的最值问题 【练习7】在等差数列{an}中，a12＜0，a13＞0，且a13＞|a12|，Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞0的n的最小值为(　　) A．23 B．24 C．25 D．26 解：因为a12＜0，a13＞0，则公差又a13＞|a12|，所以则 使得Sn＞0的n的最小值为24. 题型训练 题型四 等差数列的最值问题 求等差数列前项和的最值的两种方法 (1)函数法：当时，将等差数列的前项和(为常数)看作二次函数当时的函数值，根据二次函数的性质求最值． (2)邻项变号法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项． ②利用性质求出其正负转折项，便可求得前n项和的最值． 课堂小结   1、对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列．若首项是，公差是，则等差数列的通项公式为 2、，的等差中项为. 3、等差数列的前项和公式为 4、设等差数列的公差为，前项和为，则有如下的性质： (1)若，则 特别地，当时，则.其中，，称为和的等差中项． 推广：若 ，则 课堂小结   (2)在等差数列中下标成等差数列的项组成的新数列仍为等差数列． (3)若{an}，{bn}都为等差数列，则{man＋kbn}也为等差数列(其中m，k均为常数)． (4)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…也成等差数列． (5)当为偶数时， (6)为等差数列. (7)若数列{an}，{bn}均为等差数列且其前项和分别为则 感谢聆听! $