第5章 培优课 利用导数研究不等式 能力提升（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦利用导数证明不等式和研究恒成立问题两大核心知识点，通过例题示范（如证明f(x)=eˣ-e(lnx+1)≥0）、规律方法总结（构造函数、分析单调性求最值）、训练题巩固（如证明x³-3lnx≤x³+1/x-3）及练习题应用，构建“例题-方法-训练-检验”的完整学习支架。 资料以具体问题为导向，通过构造辅助函数（如F(x)=xeˣ-e）培养逻辑推理，通过求导运算与最值分析提升数学运算能力。课中规律方法助力教师高效授课，课后练习题帮助学生回顾方法，查漏补缺，强化导数在不等式问题中的应用能力。

重点解读 1.会利用导数证明不等式（逻辑推理、数学运算）. 2.利用导数研究恒成立问题（逻辑推理、数学运算）. 一、利用导数证明不等式 【例1】　已知函数f（x）＝ex－e（ln x＋1），求证：f（x）≥0恒成立. 证明：由题意知f'（x）＝ex－＝（x＞0）， 设F（x）＝xex－e（x＞0），则F（x）在（0，＋∞）上单调递增，且F（1）＝0. 当x∈（0，1）时，F（x）＜0， ∴f'（x）＝＜0，f（x）单调递减； 当x∈（1，＋∞）时，F（x）＞0， ∴f'（x）＝＞0，f（x）单调递增. ∴f（x）min＝f（1）＝0，∴f（x）≥0恒成立. 【规律方法】 证明不等式f（x）＞g（x），x∈（a，b）的方法 （1）将要证明的不等式f（x）＞g（x）移项可以转化为证明f（x）－g（x）＞0； （2）构造函数F（x）＝f（x）－g（x），研究F（x）的单调性； （3）若'＞0，说明函数F（x）＝f（x）－g（x）在（a，b）上是增函数，只需保证F（a）≥0； （4）若'＜0，说明函数F（x）＝f（x）－g（x）在（a，b）上是减函数，只需保证F（b）≥0. 训练1　已知函数f（x）＝x3－3ln x，g（x）＝x3＋－3，证明：f（x）≤g（x）. 证明：因为f（x）＝x3－3ln x，g（x）＝x3＋－3， 所以要证f（x）≤g（x），即证x3－3ln x≤x3＋－3，即证ln x＋－1≥0， 令h（x）＝ln x＋－1，x＞0， 则h'（x）＝－＝， 令h'（x）＜0，得0＜x＜1；令h'（x）＞0，得x＞1. 所以h（x）在上单调递减，在上单调递增，则h（x）≥h＝ln 1＋1－1＝0， 即ln x＋－1≥0恒成立， 所以f（x）≤g（x）. 二、利用导数研究不等式恒成立问题 【例2】　已知函数f（x）＝ln x＋ax－a2x2（a＞0）.若f（x）＜0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围. 解：f（x）的定义域为（0，＋∞）， 令f'（x）＝＝0， 得x1＝－（舍去），x2＝， 所以x，f'（x），f（x）的变化情况如下表， x （0，） （，＋∞） f'（x） ＋ 0 － f（x） 单调递增 ln 单调递减 所以f（x）max＝f（）＝ln＜0，所以a＞1. 所以a的取值范围是（1，＋∞）. 【规律方法】 由不等式恒成立求参数的取值范围的策略 （1）求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数最值的问题； （2）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f（x）max或a＜f（x）min的形式，通过导数的应用求出f（x）的最值，即得参数的取值范围. 训练2　已知函数f（x）＝xln x，若对于所有x≥1都有f（x）≥ax－1，求实数a的取值范围. 解：依题意，得f（x）≥ax－1在[1，＋∞）上恒成立，即不等式a≤ln x＋在x∈[1，＋∞）上恒成立，亦即a≤，x∈[1，＋∞）. 设g（x）＝ln x＋（x≥1），则g'（x）＝－＝. 令g'（x）＝0，得x＝1. 当x≥1时，g'（x）≥0，故g（x）在[1，＋∞）上单调递增. 所以g（x）在[1，＋∞）上的最小值是g（1）＝1. 故a的取值范围是（－∞，1]. 1.已知函数f（x）＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f（x）＋9≥0恒成立，则m的取值范围是（　　） A.m≥ B.m＞ C.m≤ D.m＜ 解析：A　f'（x）＝2x3－6x2＝2x2（x－3），令f'（x）＝0得x＝0或x＝3，验证可知x＝3是函数的最小值点，故f（x）min＝f（3）＝3m－，由f（x）＋9≥0恒成立得f（x）≥－9恒成立，即3m－≥－9，所以m≥. 2.若不等式ax2≥ln x恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.［，＋∞） B.（，＋∞） C.（－∞，］ D.（－∞，） 解析：A　由题设知，a≥恒成立，令f（x）＝且x＞0，则f'（x）＝＝，∴当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.∴f（x）≤f（）＝，故a≥. 3.当x＞0时，证明：不等式ln（x＋1）＞x－x2. 证明：设f（x）＝ln（x＋1）－x＋x2，则f'（x）＝－1＋x＝. 当x∈（－1，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（－1，＋∞）上是增函数. 于是当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0， 所以当x＞0时，不等式ln（x＋1）＞x－x2成立. 课堂小结 1.理清单 （1）利用导数证明不等式； （2）利用导数研究不等式恒成立问题. 2.应体会 利用导数证明不等式及解决不等式的恒成立问题应用了转化与化归、分类讨论思想. 3.避易错 不能正确的将问题转化为函数的单调性问题或者最值问题来解决. 1.若x∈，则下列不等式一定成立的是（　　） A.ln x2＞ln x B.2x≥x2 C.x2＞x D.x＞sin x 解析：D　A选项，当x＝1时，ln x2＝ln x＝ln 1＝0，所以A选项错误.B选项，当x＝3时，23＝8，32＝9，23＜32，所以B选项错误.C选项，当x＝1时，x2＝x＝1，所以C选项错误.D选项，构造函数f（x）＝x－sin x，f'（x）＝1－cos x≥0，f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，f＝0，所以当x＞0时，f（x）＞0，所以x＞sin x，所以D选项正确.故选D. 2.若对任意的实数x＞0，xln x－x－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－1] B.（－∞，1] C.[－1，＋∞） D.[1，＋∞） 解析：A　令f（x）＝xln x－x－a，x∈（0，＋∞），则f'（x）＝ln x，令f'（x）＝0⇒x＝1，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0.所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝－1－a，由对任意的实数x＞0，xln x－x－a≥0恒成立，所以f（x）min＝－1－a≥0⇒a≤－1. 3.已知函数f（x）＝－ln x－1，若f（x）≤0，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解析：B　f（x）≤0等价于2a≤x，令h（x）＝x，则h'（x）＝ln x＋2，当x∈时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈时，h'（x）＞0，h（x）单调递增.所以h（x）min＝h＝－，所以只需2a≤h（x）min＝－，即a≤－.故选B. 4.已知f（x）＝mex－x－1，若∃x0∈，使f（x0）＞0，则实数m的取值范围为（　　） A.（0，＋∞） B. C.（1，＋∞） D. 解析：A　依题意可得不等式m＞在内有解，设g（x）＝，x∈，则g'（x）＝＝－，令g'（x）＜0，得0＜x≤1，令g'（x）＞0，得－1≤x＜0，所以g（x）在[－1，0）上单调递增，在（0，1]上单调递减，因为g（－1）＝0，g（1）＝，所以g（x）min＝g（－1）＝0，所以m＞0.故选A. 5.〔多选〕已知函数f（x）＝－x2ln x，则（　　） A.f（x）≤0恒成立 B.f（x）在（0，＋∞）上单调递减 C.f（x）在x＝处得到极大值 D.f（x）只有一个零点 解析：CD　因为f（x）＝－x2ln x，该函数的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－2xln x－x＝－x（2ln x＋1）.当0＜x＜时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当x＞时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，所以f（x）极大值＝f（）＝－e－1ln ＝，故B选项错误，C选项正确；当0＜x＜1时，ln x＜0，此时f（x）＝－x2ln x＞0，故A选项错误；由f（x）＝－x2ln x＝0，可得ln x＝0，解得x＝1，故D选项正确. 6.〔多选〕已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f'（x）.若f＝5，且f（x）－f'（x）＞2，则使不等式f（x）≤3ex＋2成立的x的值可能为（　　） A.－2 B.1 C.－ D.2 解析：BD　由题意，设F（x）＝，x∈R，则F'（x）＝，∵f（x）－f'（x）＞2，∴f'（x）－f（x）＋2＜0，∴F'（x）＜0，即F（x）在定义域R上单调递减.∵f＝5，∴F＝3，∴不等式f（x）≤3ex＋2等价于≤3，即F（x）≤F，解得x≥0，结合选项可知，只有B、D符合题意. 7.设函数h（t）＝－t3＋t－1.若h（t）＜－2t＋m对t∈（0，2）恒成立，则实数m的取值范围为　（1，＋∞）　. 解析：令g（t）＝h（t）－（－2t＋m）＝－t3＋3t－1－m，由g'（t）＝－3t2＋3＝－3（t2－1）＝0，得t＝1或t＝－1（不合题意，舍去）.当t变化时，g'（t），g（t）的变化情况如下表： t （0，1） 1 （1，2） g'（t） ＋ 0 － g（t） 单调递增 1－m 单调递减 所以g（t）在（0，2）内有最大值g（1）＝1－m.h（t）＜－2t＋m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，即等价于1－m＜0，所以m＞1.所以实数m的取值范围为（1，＋∞）. 8.已知函数f（x）＝aex－2x＋1.若f（x）＞0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 解：f（x）＞0对x∈R恒成立， 即为a＞对任意x∈R恒成立， 设g（x）＝，则a＞g（x）max， g'（x）＝＝， 令g'（x）＝0，解得x＝， 当x＞时，g'（x）＜0，当x＜时，g'（x）＞0， 故函数g（x）在（－∞，）上单调递增，在（，＋∞）上单调递减， ∴g（x）max＝g（）＝＝2， 故实数a的取值范围为（2，＋∞）. 9.已知a∈R，f（x）＝（a＋x）ex在[－3，＋∞）上单调递增. （1）求实数a的最小值； （2）当实数a取最小值时，若存在x使不等式f（x）－ke2x≥0成立，求实数k的取值范围. 解：（1）由题意可得f'（x）＝（x＋a＋1）ex≥0在[－3，＋∞）上恒成立， 所以x＋a＋1≥0在x∈[－3，＋∞）上恒成立，所以－3＋a＋1≥0，解得a≥2. 故实数a的最小值为2. （2）当a＝2时，存在x使不等式f（x）－ke2x≥0，即ex（x＋2－kex）≥0成立，又ex＞0，所以存在x使不等式x＋2－kex≥0成立，即存在x使不等式k≤成立. 不妨令g（x）＝，则问题转化为k≤g（x）max， g'（x）＝－，令g'（x）＞0，得x＜－1，令g'（x）＜0，得x＞－1，所以g（x）在区间（－∞，－1）上单调递增，在（－1，＋∞）上单调递减， 从而g（x）的最大值为g（－1）＝e，即k≤e， 故实数k的取值范围为（－∞，e]. 10.已知函数f（x）＝ln x－ax，a∈R. （1）讨论y＝f（x）的单调性； （2）当a＞0时，求证：f（x）≤－2. 解：（1）函数f（x）＝ln x－ax中，x＞0，求导得f'（x）＝－a， 当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，x∈时，f'（x）＞0，x∈时，f'（x）＜0， 函数f（x）在上单调递增，在上单调递减. 综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：由（1）知，当a＞0时， f（x）max＝f＝ln－1， 设g（x）＝ln x－x＋1，x＞0， 求导得g'（x）＝－1， 当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＜0， 所以函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，g（x）≤g（1）＝0， 因此ln x－x＋1≤0⇔ln x≤x－1⇔ln x－1≤x－2，则ln－1≤－2， 所以f（x）≤－2. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $