第5章 培优课 导数中函数的构造问题 能力提升（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学导数中构造函数的核心知识点，系统梳理与x、e^x、sinx/cosx结合的常见构造形式，通过例题解析、规律方法总结及训练题，搭建从构造方法理解到解决不等式、比较大小等问题的学习支架。 资料以数学抽象归纳构造形式，逻辑推理推导解题思路，数学运算强化导数应用。如例2构造g(x)=e^xf(x)分析单调性比较大小，训练题分层设计，课中助力教师高效教学，课后帮助学生巩固提升，培养数学思维与解题能力。

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 培优课 导数中函数的构造问题 。能力提升 重点解读 1.了解导数中几种常见的构造函数的形式（数学抽象）、 2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）. 一、利用f(x)与x构造 【例1】(1)设f(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数，(x)<3,f(-3)=-2,则f (x)>3x+7的解集为(B) A.(-∞，-1) B.(-∞，-3) C.(-3,0)U(1,+∞)D.(-1,0)U(1,+∞) (2)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，不等式xf(x)+f(x)<0成立，若a =30.3…f(30.3),b=1og3·f(1og3),c=log·f10g3),则a,b,c的大小关系是_ c>b>a 解析：(1)因为f(x)<3,即f(x)-3<0,设函数g(x)=f(x)-3x,g(x)=(x)一 3<0,则g(x)在R上单调递减，又f(-3)=-2,所以g(-3)=∫(-3)-3×(-3)=7， 不等式f(x)>3x+7转化为f(x)-3x>7,即g(x)>g(-3),所以x<-3.故选B. (2)令g(x)=f(x),则g(x)=xf(x)+f(x).由条件知，当x>0时，g(x)<0,即g (x)在(0，十∞)上单调递减.又f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递 减.又log3<log3<30.3,所以c>b>a. 【规律方法】 常见构造函数的形式 (1)对于f(x)±g'(x)>0,构造h(x)=f(x)±g(x); (2)对于(x)>a,构造h(x)=f(x)一ax: (3)对于xf(x)+f(x)>0,构造h(x)=xf(x); (4)对于(x)-f(x)>0,构造h(x)=. 训练1设函数P(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(一1)=0，当x>0时，xf(x)一f (x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是() A.(-∞，-1)U(0,1)B.(-1,0)U(1,+∞) 1/8 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 C.(-∞，-1)U(-1,0) D.(0,1)U(1,+∞) 解析：A令F(x)=,因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F() "®，当x>0时，(x)—f(x)<0,即F(x)<0,所以F(x)=在(0，+∞) x2 上单调递减，根据偶函数图象的对称性，F(x)=在（一∞，0）上单调递增，又F(1)=E (-1)=-1=0,数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞，-1)U(0, -1 1). 二、利佣f(x)与e构造 【例2】若函数f(x)对任意x∈R都有P(x)>f(x)成立，则(A) A.3f (In 5)>5f (In 3) B.3f(1n5)=5f(1n3) C.3f(1n5)<5f(1n3) D.3f(n5)与5f(n3)的大小不确定 解析：令g(Gx)=,则g()=,因为对任意x∈R都有(x)>(x),所以g x)>0,即gx)在R上是增函数.又ln3<n5,所以g(n3)<g(1n5),即< 15,所以5n3)<h5),故选A 【规律方法】 f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于P(x)十nf(x)>0,构造函数h(x)=erf(x); (2)对于(x)一(x)>0,构造函数h(x)=￡图 训练2函数f(x)的导函数为P(x),对任意x∈R,都有(x)>一f(x)成立，若f(n2)= ,则不等式f(x)>的解集为(n2,+∞)一 解析：由题意，对任意x∈R,都有f(x)>一f(x)成立，即f(x)+f(x)>0.令g(x)=ef (x),则g(x)=f(x)e+f(x)e=e[f(x)+f(x)]>0,所以函数g(x)在R上是增函 数.不等式f(x)>寺即ef(x)>l,即g(x)>1.因为f(ln2)=克，所以g(n2)=enf(ln 2)=2×号=1.故当x>n2时，g(x)>g(In2)=1,所以不等式g(x)>1的解集为(ln2,+ 0∞). 三、利用f(x)与sinx,cosx构造 【例3】已知函数f(x)的定义域为(0，元)，其导函数是f(x).若P(x)sinx一f(x)cosx>0 恒成立，则关于x的不等式f(x)<2f(晋)simx的解集为(0，)一 2/8 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：令F(x) =f) 则F"(x)=Imx1红e©s>O,所以FG)在定义域内是增函数.所以 in驱 关于的不等式<了牙》血，可化为器<得，即F6<F8》,所以.因为 0<x<元，所以0<x<晋，即不等式f(x)<2f(晋)sinx的解集为(0，晋). 【规律方法】 f(x)与sinx,cosx构造常见的形式 (1)对于P(x)sinx+f(x)cosx>0,构造函数h(x)=f(x)sinx: (2)对于(x)sinx一f(x)cosx>0,构造函数h(x)=￡sl sinx (3)对于P(x)cosx一f(x)sinx>0,构造函数h(x)=f(x)cosx; (4)对于f(x)cosx+fx)sinx>0,拘造函数h(x)=熙 训练3已知R上的奇函数f(x),其导函数为f(x),且当x∈(0，+∞)时，子(x)sinx+f (x)·os<0,若a-号f(-晋)，b=-f(军)，则a与b的大小关系为<b 解析：设p(x)=f(x)·sinx,则p'(x)=(x)sinx十f(x)cosx,x∈(0，+oo)时，p' (x)<0,即φ(x)在(0，十∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，∴.p(x)为偶函数，∴p( 晋)=φ（晋）>φ()，即f(-晋)·sm(-晋)>f()sim驿，即-打(-晋)>9f(), 即号f(-晋)<-f(零)，∴a<b. 随堂检测 1.已知f(x)是定义在(0，十∞)上的非负可导函数，且满足x(x)十f(x)≤0，对任意的正数 a,b,若a<b,则必有() A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a) 解析：A设g(x)=f(x)，x∈(0，+∞)，则g(x)=f(x)+f(x)≤0，g(x)在区 间(0，+∞)上是减函数或g(x)为常函数..a<b,∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b), 故选A. 2.已知函数f(x)的导函数为f(x),对任意x∈R,都有f(x)<f(x)成立，则() A.ef(2)<f(3) B.ef(2)≤f(3) C.ef(2)>f(3) D.f(2)<e2f(3) 3/8 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：C依题意，f(x)寸(x),则f(x)-fx)<0,设g(x)=,则g(x) <0,所以g(x)在R上是减函数，所以g(2)>g(3),即>‘得，ef(2)>f (3).故选C. 3.己知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2)=1,且f(x)的导函数P(x)<1,则f(x)>x一1的 解集为{x|x≤2}： 解析：构造函数g(x)=∫(x)一(x一1)，则g(x)=f(x)一1<0，所以g(x)在R上单调递 减.又f(2)=1,所以g(2)=f(2)-(2-1)=0.由f(x)>x-1,得g(x)>g(2)=0, 解得x<2. 4.已知f(x)是定义在(0，哥)上的函数，其导函数为f(x),f()=2V3,且当x∈(0，晋)时， (x)sinx+f(x)cosx>0,则不等式f(x)sinx<3的解集为_{x0<x<号}一 解析：因为当xe(0,受)时，子(x)sinx+f(x)cosx>0,所以f(x)simx'>0,x∈(0，受)，令g (x)=f(x)sinx,则当x∈(0，)时，g(x)>0,g(x)在(0，罗)上是增函数，因为（号）=2 V5,所以g()=f()sin骨=3，不等式f(x)sinx<3,即g(x)<g(),因为g(x)在 (0,)上是增函数，所以原不等式的解集为{x0<x<} 课堂小结 1.理清单 (1)几种常见的构造形式： (2)掌握由导函数的结构形式构造原函数的方法 2.应体会 根据f(x)与f(x)的关系，利用构造法构造原函数解决问题 3.避易错 不能正确构造出符合题意的函数. 课时作业 L.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)<,则f(x)<+的解集为() A.{x|-1<x<1} B.{x|x<-1 C.{x|x<-1或x>1 D.{x|x>1} 4/8 独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 解析：D构造函数h(x)=f(x)一登-，所以h'(x)=子(x)-支<0，故h(x)在R上是减 函数，且h(1)=f(1)-专-是=0，故h(x)<0的解集为{x|x>1. 2.设函数f(x)是定义在(0，元)上的函数f(x)的导函数，有P(x)cosx一f(x)simx>0,若a =扩（爱），b=0,c=-f(管)，则a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 解析：A设函数g(x)=f(x)cosx,则g'(x)=子(x)·cosx一f(x)sinx,因为(x)cos x-f(x)sinx>0,所以g(x)>0,所以g(x)在(0，元)上是增函数，a=f(号)=f(号)cos 骨=g(骨)，b=0=f(受)c0s受=g(受)，c=-号f()=f(8）·c0s8=g(晋)，所以 a<b<c. 3.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)为f(x)的导函数，且f(x)+(x一1)(x)>0,则 () A.f(1)=0 B.f(x)<0 C.f(x)>0 D.(x-1)f(x)<0 解析：C令g(x)=(x-1)f(x),则g(x)=f(x)+(x-1)(x)>0,所以g(x)在R 上是增函数，又因为g(1)=0,所以当x>1时，g(x)=(x一1)f(x)>0;当x<1时，g (x)=(x-1)f(x)<0,所以当x≠1时，f(x)>0,又f(1)+(1-1)f(1)=f(1)>0, 所以A、B、D错误，C正确. 4.f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f(x),若2f(x)+P(x)>2,f(1)=2,则不等式 f(x)>e2-2x+1(其中e为自然对数的底数)的解集为() A.(-∞，-1) B.(-1,+∞) C.(-∞，1) D.(1,+∞) 解析：Df(x)>e2-2x+1,即e2f(x)-e2x>e2,令g(x)=e2f(x)-e2,则g'(x)=e2r[2f (x)+f(x)-2]>0,故g(x)在R上是增函数，而g(1)=ef(1)-e2=e2,.e2f(x)- e2x>e2,即g(x)>g(1),即x>1,故不等式的解集是(1，+∞). 5.已知f(x)为定义在（一∞，0）U(0,十∞)上的偶函数，已知f(1)=0,当x>0时，有2f (x)一xf(x)>0,则使f(x)>0成立的x的取值范围为() A.(-∞，-1)U(0,1)B.(-1,0)U(1,+∞) 5/8 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 C.(-∞，-1)U(1,+∞)D.(-1,0)U(0,1) 解析：D令g(x)=:,其中x≠0，因为函数f(x)为定义在(-∞，0)U(0,十∞)上的 偶函数，则/（一）寸)，所以g(一)=-=g),所以面数g为偶函数， f(-x) 当>0时，g(x)=⑧=过⑧区<0，所以函数g(x)在(0，十∞)上单调递减， 4 x3 且gD是=0，由r)>0可得g->0,则g)=g(1x1)>0=g①， k1<1, 所以{x≠0，解得-1<x<0或0<<1，所以使∫(x)>0成立的x的取值范围为（-1,0》U (0,1).故选D. 6.（多选)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f(x)满足f(x)>f(x)，则() A.f(1)<ef(0) B.f(1)>ef(0) C.ef(1n2)<2f(1) D.ef(1n2)>2f(1) 解析：AD构造函数g(x)=,其中x∈R,则g(x)=⑧<0，所以函数g(x)为K 上的减函数，则g(1)<g(0),即1<f(0),所以f(1)<ef(0),A对、B错；因为n 2<1me=1,则g(m2)>g1)，即2>，所以ef(m2)>2f(1),C错、D对.故选 A、D. 7.（多选)设函数f(x)在R上存在导函数P(x),对于任意的实数x,都有f(一x)=f(x), 当x<0时，f(x)+x<0,且f(-1)=1,若f(m)≤圣-m2,则实数m的可能取值为 () A.-1 B.-青 C.1 D.2 解析：ABC设g(x)=f(x)+x2,则g(x)=f(x)+x,由于g(-x)=f(-x)+ (-x)2=f(x)+x2=g(x),所以g(x)为偶函数，且当x<0时，g(x)=f(x)+x<0, 所以g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，且g(-1)=∫(-1)+主= 是，故由f(m)≤是-子m2可得g(m)≤寻，所以-1≤m≤1，故选A、B、C. 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+P(x)>0,且有f(3)=3,则f(x)>3e3-x的解 集为(3，十∞) 6/8 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 解析：设F(x)=f(x)·e,则F'(x)=子(x)·e+f(x)·e=e[f(x)+子(x)]>0,∴.F (x)在R上单调递增.又f(3)=3,则F(3)=f(3)·e3=3e3.f(x)>3e3-x等价于f(x) ·e>3e3,即F(x)>F(3),.x>3,即所求不等式的解集为(3，十∞). 9.设函数f(x)在R上存在导数(x),g(x)=f(x)一sinx是偶函数，在[0，+∞)上f(x) >cosx.若f(变-t)一f(t)≥cost-sint,则实数t的取值范围为（一∞，平]一， 解析：由题意得g(x)=子(x)一cosx>0在[0，十∞)上恒成立，故g(x)=∫(x)一sinx在 [0,十∞)上单调递增，又g(x)=∫(x)一sinx是偶函数，故g(x)在(-o,0)上单调递 减，f(受-t)-f(f)≥cost-sint变形得到f(变-)一cost≥f(t)一simt,即f(受-t)-sin (受-t)≥f(t)-sint,所以g(受-t)≥g(t)，故g(|受-t|)≥g(|t|)，由于g(x)=f (x)一simx在[0，十∞)上单调递增，所以川受-t|≥|tl,解得≤牙， 10.证明：对Vx≥0恒有不等式n(1+x)≥杂成立. 证明：设f(x)=ln1+x)-杂，x∈[0，+∞)， 则rx)=未2ag子=*e子， 2(2+x-2x 82 显然对于Hx≥0，恒有f(x)≥0，且f(x)仅在x=0处取等号， 故函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，且f(0)=0,从而f(x)≥f(0)=0, 即n(1+x)≥杂，x∈[0，+o). 11.已知f(x)=xcosx-一sinx在(0，元]上单调递减，若0<b<1,求证：当x∈(0，元]时，sin bx>bsin x. 证明：要证sin bx>bsinx, 即证sin bx-bsin x>0, 令g(x)=警，x∈(0，元]， 'g'(x)=xcosxsin, x2 又.f(x)=xcosx一sinx在(0，元]上单调递减，f(0)=0, ∴.当x∈(0，元]时，f(x)=xcosx一sinx<f(0)=0, ∴g'(x)<0,∴.g(x)在(0，元]上单调递减， 7/8 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又，'0<b<1,∴.0<bx<x≤π， “婆<波，“sin bx>bsinx. 12.已知f(x)为定义在（一∞，0）U(0,+∞)上的偶函数，(x)是f(x)的导函数，若当 x>0时，f(x)nx+<0,求不等式(x-1)f(x)<0的解集. 解：设g(x)=f(x)nx,x∈(0，+∞)， 则g(x)=f(x)nx+<0, g(x)在(0，十∞)上是减函数，又g(1)=0, 且在(0,1)上，lnx<0,g(x)>0,∴f(x)<0, 在(1，+∞)上，lnx>0,g(x)<0,∴.f(x)<0, 由f(x)nx+<0在(0，+∞)上恒成立，可知f(1)<0, ∴.在(0，+∞)上，f(x)<0. 又函数f(x)为偶函数， ∴.在(-∞，0)上，f(x)<0, (8-1>0, 不等式(x-1)f(x)<0等价于{fx)<0, 解得x∈(1，+∞). ∴.不等式(x-1)f(x)<0的解集为{x|x>1}. 8/8 ·独家授权侵权必究