5.3.2 第2课时 函数的最大（小）值（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦函数的最大（小）值核心知识点，承接上节课函数极值内容，系统梳理闭区间上连续函数最值的存在性，明确极值与端点值的关系，构建求不含参数、含参数函数最值及由最值求参数的知识支架。 通过“群山山峰山谷”情境导入培养数学抽象能力，结合图像分析与分类讨论例题提升数学运算和推理能力，分层练习题与课堂小结助课后查漏补缺，课中激发学习兴趣，课后强化知识体系构建。

第二课时　函数的最大（小）值 课标要求 情境导入 1.理解函数最值的概念，会求某闭区间上函数的最值（数学抽象、数学运算）. 2.能利用导数求简单的含参数的函数的最值问题（数学运算）. 3.能根据最值求参数的值或取值范围（数学运算）. 　　同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气魄，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“上九天揽月，下五洋捉鳖”的勇气，这就是我们今天要探究的函数的最值. 　　 知识点一｜极值与最值的关系 问题　如图为y＝f（x），x∈[a，b]的图象. （1）观察[a，b]上函数y＝f（x）的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？ 提示：极大值为f（x1），f（x3），极小值为f（x2），f（x4）. （2）结合图象判断，函数y＝f（x）在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 提示：存在，f（x）min＝f（a），f（x）max＝f（x3）. （3）结合图象，你认为函数y＝f（x）在[a，b]上的最值与极值有什么关系？ 提示：函数的最值是函数的极值或函数y＝f（x）在[a，b]端点处的函数值. 【知识梳理】 函数最值的定义 （1）一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有　最大值　和　最小值　； （2）对于函数f（x），给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≥f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最大值. 　　提醒：函数的极值与最值的区别与联系：（1）极值是对某一点附近（局部）而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言；（2）在函数的定义区间[a，b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个；（3）函数f（x）的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得. 【例1】　如图是函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值. 解：由题图可知，y＝f（x）在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f（x1），f（x3），极大值为f（x2）；比较极值和端点值可知函数的最小值是f（x3），最大值在b处取得，最大值为f（b）. 【规律方法】 1.正确理解极值与最值的关系是解题的关键. 2.一般情况下，唯一的极值应该也是最值，在（a，b）内，若f（x0）为极小值，则其为最小值；若f（x0）为极大值，则其为最大值. 训练1　（1）设f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可导，则下列结论中正确的是（　C　） A.f（x）的极值点一定是最值点 B.f（x）的最值点一定是极值点 C.f（x）在区间[a，b]上可能没有极值点 D.f（x）在区间[a，b]上可能没有最值点 解析：根据函数的极值与最值的概念知，f（x）的极值点不一定是最值点，最值点不一定是极值点.连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A、B、D都不正确；若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则函数f（x）在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确. （2）〔多选〕如图所示，函数f（x）导函数的图象是一条直线，则（　BC　） A.函数f（x）有最大值 B.函数f（x）没有最大值 C.函数f（x）有最小值 D.函数f（x）没有最小值 解析：由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值. 知识点二｜求函数的最值 角度1　求不含参数的函数的最值 【例2】　 （链接教材P93例6）求下列函数的最值： （1）f（x）＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]； 解： f'（x）＝6x2－12x＝6x（x－2）. 令f'（x）＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示： x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2 （2，4） 4 f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） －37 单调 递增 极大 值3 单调 递减 极小值 －5 单调 递增 35 ∴当x＝4时，f（x）取得最大值35； 当x＝－2时，f（x）取得最小值－37. （2）f（x）＝. 解：f（x）＝的定义域为R. f'（x）＝＝， 当f'（x）＝0时，x＝2. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示. x （－∞，2） 2 （2，＋∞） f'（x） ＋ 0 － f（x） 单调递增 单调递减 ∴f（x）在（－∞，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减， ∴f（x）无最小值，且当x＝2时，f（x）max＝f（2）＝. 【规律方法】 求不含参数的函数的最值的步骤 （1）确定函数的定义域，对函数进行求导，并检验f'（x）＝0的根是否在给定区间内； （2）判断函数的单调性，研究函数的极值； （3）比较函数的极值与端点函数值的大小，确定函数的最大值或最小值. 角度2　求含参数的函数的最值 【例3】　若a＞0，求函数f（x）＝－x3＋3ax（0≤x≤1）的最大值. 解：f'（x）＝－3x2＋3a＝－3（x2－a）. 因为a＞0，则令f'（x）＝0，解得x＝±. 因为x∈[0，1]，所以只考虑x＝的情况. （1）若0＜＜1，即0＜a＜1，则当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x 0 （0，） （，1） 1 f'（x） ＋ 0 － f（x） 0 单调递增 2a 单调递减 3a－1 由表可知，当x＝时，f（x）有最大值f（）＝2a. （2）若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f'（x）≥0，此时函数f（x）在[0，1]上单调递增，所以当x＝1时，f（x）有最大值f（1）＝3a－1. 综上可知，在区间[0，1]上， 若0＜a＜1，则x＝时，f（x）有最大值2a； 若a≥1，则x＝1时，f（x）有最大值3a－1. 【规律方法】 求含参函数的最值的步骤 （1）求函数的导函数f'（x）； （2）求方程f'（x）＝0的全部实根，同时根据参数的范围，判断f'（x）＝0的根是否在区间内； （3）根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值； （4）将函数的极值与端点处的函数值进行比较，得到函数的最大值、最小值. 训练2　（1）函数y＝x－sin x，x∈［，π］的最大值是（　　） A.π－1 B.－1 C.π D.π＋1 解析：C　y'＝1－cos x，当x∈［，π］时，y'＞0，则函数在区间［，π］上单调递增，所以ymax＝π－sin π＝π，故选C. （2）已知函数f（x）＝x3－ax2－a2x，求函数f（x）在[0，＋∞）上的最小值. 解：f'（x）＝3x2－2ax－a2＝（3x＋a）（x－a）， 令f'（x）＝0，得x1＝－，x2＝a. ①当a＞0时，f（x）在[0，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增. 所以f（x）min＝f（a）＝－a3. ②当a＝0时，f'（x）＝3x2≥0， f（x）在[0，＋∞）上单调递增， 所以f（x）min＝f（0）＝0. ③当a＜0时，f（x）在［0，－）上单调递减，在［－，＋∞）上单调递增. 所以f（x）min＝f（－）＝a3. 综上所述，当a＞0时，f（x）的最小值为－a3； 当a＝0时，f（x）的最小值为0； 当a＜0时，f（x）的最小值为a3. 提能点｜由函数的最值求参数 【例4】　（1）函数f（x）＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a＝（　B　） A.3 B.1 C.2 D.－1 解析： f'（x）＝3x2－2x－1，令f'（x）＝0，解得x＝－（舍去）或x＝1，又f（0）＝a，f（1）＝a－1，f（2）＝a＋2，则f（2）最大，即a＋2＝3，所以a＝1. （2）已知函数f（x）＝ln x－ax存在最大值0，则a＝　　. 解析：∵f'（x）＝－a，x＞0，∴当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，故函数f（x）是增函数，不存在最大值；当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝，∴当x∈（0，）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（，＋∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）max＝f（）＝ln－1＝0，解得a＝. 【规律方法】 已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根据已知最值列方程（不等式）解决问题. 训练3　（1）设函数f（x）＝x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，则实数m的取值范围是　（－∞，0）　； 解析：（1）f'（x）＝xex＋x2ex＝·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2 f'（x） 0 － 0 ＋ f（x） 单调递减 0 单调递增 2e2 ∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0. （2）已知函数h（x）＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28，则实数k的取值范围为　（－∞，－3]　. 解析：∵h（x）＝x3＋3x2－9x＋1，∴h'（x）＝3x2＋6x－9.令h'（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表： x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞） h'（x） ＋ 0 － 0 ＋ h（x） 单调 递增 28 单调 递减 －4 单调 递增 ∴当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.而h（2）＝3＜h（－3）＝28，如果h（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.∴k的取值范围为（－∞，－3]. 1.下列结论正确的是（　　） A.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B.若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D.若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定存在最大值和最小值 解析：D　函数f（x）在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而连续函数在[a，b]上一定存在最大值和最小值. 2.设函数f（x）＝，x∈[1，4]，则f（x）的最大值为　　，最小值为　0　. 解析：由f（x）＝得f'（x）＝，令f'（x）＞0，则1－ln x＞0，解得0＜x＜e；令f'（x）＜0，则1－ln x＜0，解得x＞e.∴函数f（x）在[1，e]上单调递增，在[e，4]上单调递减，且f（1）＝0，f（4）＝＞0，∴f（x）的最大值为f（e）＝＝，f（x）的最小值为f（1）＝0. 3.若函数f（x）＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m＝　2　. 解析：f'（x）＝3x2＋3x＝3x（x＋1），令f'（x）＝0，得x＝0或x＝－1，∵f（－2）＝m－2，f（－1）＝m＋，f（0）＝m，f（1）＝m＋，比较知f（1）最大，∴m＋＝，m＝2. 课堂小结 1.理清单 （1）极值与最值的关系； （2）求函数的最值； （3）根据最值求参数的值（范围）. 2.应体会 求含参数的函数的最值时注意分类讨论思想的应用. 3.避易错 分类讨论解决含参的问题时要做到不重不漏. 1.设M，m分别是函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f'（x）（　　） A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 解析：A　因为M＝m，所以f（x）为常数函数，故f'（x）＝0，故选A. 2.函数f（x）＝x3－3x（｜x｜＜1）（　　） A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值 解析：D　f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当x∈（－1，1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（－1，1）上是减函数，无最大值和最小值，故选D. 3.函数f（x）＝x＋2cos x在区间上的最小值是（　　） A.－ B.2 C.＋ D.＋1 解析：A　f'（x）＝1－2sin x，因为x∈，所以sin x∈[－1，0]，所以－2sin x∈[0，2].所以f'（x）＝1－2sin x＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增.所以f（x）min＝f（－）＝－＋2cos＝－. 4.若函数f（x）＝－x3＋mx2＋1（m≠0）在区间（0，2）内的极大值为最大值，则m的取值范围是（　　） A.（0，3） B.（－3，0） C.（－∞，－3） D.（3，＋∞） 解析：A　由题得f'（x）＝－3x2＋2mx，令f'（x）＝0，得x＝或x＝0，因为f（x）在区间（0，2）上的极大值为最大值，所以0＜＜2，所以0＜m＜3. 5.已知f（x）＝x3－x2＋a，g（x）＝x2－3x，定义域均为[1，＋∞），并且f（x）的图象始终在g（x）图象的上方，则实数a的取值范围是（　　） A.（0，＋∞） B.（－∞，0） C. D. 解析：A　设h（x）＝f（x）－g（x）＝x3－x2＋a－x2＋3x，则h'（x）＝x2－4x＋3＝（x－3）（x－1），所以当x∈[1，3）时，h（x）单调递减；当x∈（3，＋∞）时，h（x）单调递增.当x＝3时，h（x）取得极小值也是最小值.因为f（x）的图象始终在g（x）的图象上方，所以h（x）min＞0，即h（3）＝a＞0，所以a的取值范围是（0，＋∞）. 6.〔多选〕若函数f（x）＝2x3－ax2（a＜0）在上有最大值，则a的取值可能为（　　） A.－6 B.－5 C.－4 D.－3 解析：ABC　令f'（x）＝2x（3x－a）＝0，得x1＝0，x2＝（a＜0），当＜x＜0时，f'（x）＜0；当x＜或x＞0时，f'（x）＞0，则f（x）的增区间为，（0，＋∞），减区间为， 从而f（x）在x＝处取得极大值f＝－，由f（x）＝－，得＝0，解得x＝或x＝－，又f（x）在上有最大值，所以＜≤－，即a≤－4，故选A、B、C. 7.〔多选〕已知函数f（x）＝xln x，则（　　） A.f（x）的单调递增区间为（e，＋∞） B.f（x）在（0，）上单调递减 C.当x∈（0，1]时，f（x）有最小值－ D.f（x）在定义域内无极值 解析：BC　因为f'（x）＝ln x＋1（x＞0）.令f'（x）＝0，解得x＝.当x∈（0，）时，f'（x）＜0；当x∈（，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，x＝是极小值点，所以A错误，B正确；当x∈（0，1]时，根据单调性可知，f（x）min＝f（）＝－，故C正确；显然f（x）有极小值f（），故D错误. 8.（2025·南京质检）若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝　20　. 解析：∵f'（x）＝3x2－3，∴当x∈[1，3]时，f'（x）≥0；当x∈[0，1]时，f'（x）≤0.∴f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增.∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f（0）＝－a，f（3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）.∴f（x）max＝f（3）＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－（－2－a）＝20. 9.当x＞1时，kx＞ln x＋4x恒成立，则整数k的最小值为　5　. 解析：由题意得，k＞＋4在（1，＋∞）上恒成立，设g（x）＝＋4，x∈（1，＋∞），则k＞g（x）max，g'（x）＝，当x∈（1，e）时，g'（x）＞0，当x∈（e，＋∞）时，g'（x） ＜0，所以g（x）在（1，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，g（x）max＝g（e）＝＋4∈（4，5），所以整数k≥5，则整数k的最小值为5. 10.已知函数f（x）＝2x＋1－4ln x. （1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值. 解：（1）因为f（x）＝2x＋1－4ln x，x＞0，所以f'（x）＝2－，所以f（1）＝3，f'（1）＝－2. 所以f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y－3＝－2（x－1），即2x＋y－5＝0. （2）由（1）知f'（x）＝2－＝，x∈[1，3]， 令f'（x）＞0，则2＜x≤3；令f'（x）＜0，则1≤x＜2. 所以f（x）在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增.所以f（x）min＝f（2）＝5－4ln 2， 又f（1）＝3，f（3）＝7－4ln 3，f（1）－f（3）＝4（ln 3－1）＞0，所以f（x）max＝3. 所以f（x）在[1，3]上的最大值与最小值分别为3与5－4ln 2. 11.已知函数f（x）＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2都有｜f（x1）－f（x2）｜≤t，则实数t的最小值是（　　） A.20 B.18 C.3 D.0 解析：A　因为f'（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1），x∈[－3，2]，所以f（x）在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.f（－3）＝－19，f（－1）＝1，f（1）＝－3，f（2）＝1，所以在区间[－3，2]上，f（x）max＝1，f（x）min＝－19，又在[－3，2]上｜f（x1）－f（x2）｜≤f（x）max－f（x）min＝20，所以t≥20，故选A. 12.已知直线x＝t分别与函数f（x）＝ex＋x和g（x）＝3x－1的图象交于点A，B，则｜AB｜的最小值为（　　） A.ln 2 B.2ln 2 C.2－ln 2 D.3－2ln 2 解析：D　当x＝t时，｜AB｜＝｜f（t）－g（t）｜＝｜et＋t－3t＋1｜＝｜et－2t＋1｜.令h（t）＝et－2t＋1，则h'（t）＝et－2.令h'（t）＝0，得t＝ln 2，当t ＜ln 2时，h'（t）＜0，当t＞ln 2时，h'（t）＞0，∴h（t）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增，则h（t）min＝h（ln 2）＝3－2ln 2＞0，∴｜AB｜的最小值为3－2ln 2. 13.已知函数f（x）＝，若函数在区间（a，a＋）（其中a＞0）内存在最大值，则实数a的取值范围为　（，1）　. 解析：由题意知函数f（x）＝的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝－，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，即f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值，即为最大值，因为函数f（x）在区间（a，a＋）（其中a＞0）内存在最大值，所以解得＜a＜1. 14.已知函数f（x）＝＋kln x，k＜，求函数f（x）在上的最大值和最小值. 解：f'（x）＝＋＝. ①若k≤0，则在上恒有f'（x）＜0， 所以f（x）在上单调递减. ②若0＜k＜，则f'（x）＝＝， 由k＜，得＞e，则x－＜0在上恒成立， 所以＜0在上恒成立， 所以f（x）在上单调递减. 综上，当k＜时，f（x）在上单调递减， 所以f（x）min＝f（e）＝＋k－1， f（x）max＝f（）＝e－k－1. 15.已知函数f（x）＝（ax－2）ex在x＝1处取得极值. （1）求a的值； （2）求函数f（x）在区间[m，m＋1]上的最小值. 解：（1）f'（x）＝aex＋（ax－2）ex＝（ax＋a－2）ex. 由已知得f'（1）＝0，即（2a－2）e＝0， 解得a＝1. （2）由（1）得f（x）＝（x－2）ex， 则f'（x）＝ex＋（x－2）ex＝（x－1）ex. 令f'（x）＝0，得x＝1， 当x∈（－∞，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. ①当m≥1时，f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，f（x）min＝f（m）＝（m－2）em； ②当0＜m＜1时，m＜1＜m＋1，f（x）在区间[m，1]上单调递减，在[1，m＋1]上单调递增，f（x）min＝f（1）＝－e； ③当m≤0时，m＋1≤1，f（x）在区间[m，m＋1]上单调递减，f（x）min＝f（m＋1）＝（m－1）em＋1. 综上，f（x）在区间[m，m＋1]上的最小值为 f（x）min＝ 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $