5.3.2 第1课时 函数的极值（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦函数极值的概念、利用导数求极值及由极值求参数值（范围）等核心知识点，通过情境导入建立直观认识，结合图象分析抽象出极值的必要条件和充分条件，再分层讲解不含参数、含参数函数的极值求解及逆向参数问题，构建完整学习支架。 该资料以“横看成岭侧成峰”诗句情境导入，通过问题链与图象分析培养直观想象和数学抽象，例题分层设计提升数学运算能力。课中助力教师高效授课，课后借助练习题和小结帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第一课时　函数的极值 课标要求 情境导入 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（数学抽象、直观想象）. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值（数学运算）. 　　“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，它却是其附近的最低点.在数学上，这种现象如何来刻画呢？ 知识点一｜函数极值的概念 问题1　如图，函数y＝f（x）在x＝a，b，c，d，e等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f（x）在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f（x）的导数的正负性有什么规律？ 提示：以x＝a，b两点为例，可以发现，函数y＝f（x）在点x＝a处的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0.类似地，函数y＝f（x）在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0. 【知识梳理】 极小值 极大值 图象 定义 函数y＝f（x）在点x＝a处的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点处的函数值都　小　，f'（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧　f'（x）＜0　，右侧　f'（x）＞0　，把　a　叫做函数y＝f（x）的极小值点，　f（a）　叫做函数y＝f（x）的极小值 函数y＝f（x）在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点处的函数值都　大　，f'（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧　f'（x）＞0　，右侧f'（x）　＜　0，把　b　叫做函数y＝f（x）的极大值点，　f（b）　叫做函数y＝f（x）的极大值 极小值点、极大值点统称为　极值点　，极小值和极大值统称为　极值　 　　提醒：（1）极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质；（3）函数的极值不唯一；（4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点. 【例1】　 （1）判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） ①函数的极大值一定大于极小值.（　×　） ②函数y＝f（x）一定有极大值和极小值.（　×　） ③函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.（　√　） ④若f（x）≥f（x0），则称f（x0）为f（x）的极小值，若f（x）≤f（x0），则称f（x0）为f（x）的极大值.（　×　） ⑤若f（x）在区间（a，b）内有极值，则f（x）在（a，b）内一定不是单调函数.（　√　） （2）〔多选〕函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（　BD　） A.函数y＝f（x）在区间内单调递减 B.函数y＝f（x）在区间（－2，2）内单调递增 C.当x＝－时，函数y＝f（x）有极大值 D.当x＝2时，函数y＝f（x）有极大值 解析：对于A，当x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（2，3）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以A错误；对于B，当x∈（－2，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以B正确；对于C，由B知当x＝－时，f不是极大值，所以C错误；对于D，由A知当x＝2时，函数y＝f（x）取得极大值，所以D正确. 【规律方法】 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点关注在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值. 训练1　已知函数f（x）的定义域为R，其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（　　） A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 解析：C　设y＝f'（x）的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4.由导数与函数极值的关系知，f（x）在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值.故函数f（x）有两个极大值点，两个极小值点. 知识点二｜利用导数求函数的极值 问题2　（1）我们已经知道，可导函数的极值点，满足f'（x0）＝0，那么反过来，当f'（x0）＝0时，x＝x0一定是极值点吗？ 提示：不一定，例如y＝x3中由y'＝3x2＝0，得x＝0.但显然x＝0不是极值点. （2）已知f'（x0）＝0，要使x＝x0是函数f（x）的极值点，还需要满足什么条件？ 提示：还需要函数f（x）在x＝x0左右两侧的导数值符号异号. 角度1　求不含参数的函数的极值 【例2】　（链接教材P91例5）求下列函数的极值： （1）f（x）＝（x3－1）2＋1； 解：∵f（x）＝（x3－1）2＋1＝x6－2x3＋2， ∴f'（x）＝6x5－6x2＝6x2（x3－1）. 令f'（x）＝0，得x＝0或x＝1. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示： x （－∞，0） 0 （0，1） 1 （1，＋∞） f'（x） － 0 － 0 ＋ f（x） 单调递减 2 单调递减 1 单调递增 ∴当x＝1时，f（x）有极小值，为f（1）＝1，f（x）无极大值. （2）f（x）＝. 解：函数f（x）＝的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝. 令f'（x）＝0，得x＝e. 当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如表所示： x （0，e） e （e，＋∞） f'（x） ＋ 0 － f（x） 单调递增 单调递减 因此，x＝e是函数f（x）的极大值点，极大值为f（e）＝，函数f（x）没有极小值. 【规律方法】 函数极值和极值点的求解步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求方程f'（x）＝0的根； （3）用方程f'（x）＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； （4）由f'（x）在方程f'（x）＝0的根左右的符号，来判断f（x）在这个根处取极值的情况. 角度2　求含参数的函数的极值 【例3】　已知函数f（x）＝x－aln x（a∈R），求函数f（x）的极值. 解：由f'（x）＝1－＝（x＞0）知， （1）当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，函数f（x）无极值； （2）当a＞0时，由f'（x）＝0，解得x＝a， 又当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，当x∈（a，＋∞）时，f'（x）＞0， ∴函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－aln a，无极大值. 综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值. 【规律方法】 求含参数函数极值的基本思路 求含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想解决问题，讨论的依据有两种：一是看参数是否对f'（x）的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看零点附近的符号是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论. 训练2　求函数f（x）＝x3－3ax＋b（a≠0）的极值. 解：f'（x）＝3（x2－a）（a≠0）， 当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，即函数在（－∞，＋∞）上是增函数，此时函数没有极值； 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝－或x＝. 当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表： x （－∞，－） － （－， ） （，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 单调递增 极大值f（－） 单调递减 极小值f（） 单调递增 ∴f（x）的极大值为f（－）＝2a＋b， 极小值为f（）＝－2a＋b. 提能点｜由极值求参数值（范围） 【例4】　（1）已知函数f（x）的导数f'（x）＝a（x＋1）·（x－a），若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是（　D　） A.（－∞，－1） B.（0，＋∞） C.（0，1） D.（－1，0） 解析：若a＜－1，∵f'（x）＝a（x＋1）（x－a），∴f（x）在（－∞，a）上单调递减，在（a，－1）上单调递增，∴f（x）在x＝a处取得极小值，与题意矛盾；若－1＜a＜0，则f（x）在（－1，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减，从而在x＝a处取得极大值.若a＞0，则f（x）在（－1，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，f（x）在x＝a处取得极小值，与题意矛盾，故选D. （2）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝　4　，b＝　－11　. 解析：∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f'（x）＝3x2＋2ax＋b.由题意得即解得或当时，f'（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0，故函数f（x）是增函数，无极值，不符合题意.∴a＝4，b＝－11. 变式　已知函数f（x）＝x3－（m＋3）x2＋（m＋6）x（x∈R，m为常数）在区间（1，＋∞）上有两个极值点，则实数m的取值范围为　（3，＋∞）　. 解析：f'（x）＝x2－（m＋3）x＋m＋6. 因为函数f（x）在（1，＋∞）上有两个极值点，所以f'（x）＝x2－（m＋3）x＋m＋6的图象在（1，＋∞）上与x轴有两个不同的交点，如图所示.所以解得m＞3.故实数m的取值范围是（3，＋∞）. 【规律方法】 由函数极值求参数的方法 对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件： （1）极值点处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号，利用待定系数法列方程（不等式）求解； （2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 训练3　（1）设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则（　C　） A.a＜－ B.a＞－1 C.a＜－1 D.a＞－ 解析： y'＝ex＋a，由题意知a＜0.∵函数有大于零的极值点，设x＝x0为其极值点，∴＋a＝0，又x0＞0，∴a＜－1，故选C. （2）若函数f（x）＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是　　. 解析：∵f（x）＝x3－4x＋4，∴f'（x）＝x2－4＝（x＋2）（x－2）.令f'（x）＝0，得x＝2或x＝－2. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表： x （－∞，－2） －2 （－2，2） 2 （2，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调 递增 ∴当x＝－2时，函数取得极大值f（－2）＝；当x＝2时，函数取得极小值f（2）＝－.且f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增.根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－＜a＜. 1.已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，若f（x）在x＝x0处有极值，则x0＝（　　） A.－3 B.0 C.3 D.7 解析：B　由f'（x）的图象知x＝0时，f'（0）＝0；－3＜x＜0时，f'（x）＞0；0＜x＜3时，f'（x）＜0.故0是极值点.虽然有f'（7）＝0，但在7的两侧，f'（x）＜0，7不是极值点. 2.设函数f（x）＝xex，则（　　） A.x＝1为f（x）的极大值点 B.x＝1为f（x）的极小值点 C.x＝－1为f（x）的极大值点 D.x＝－1为f（x）的极小值点 解析：D 　令f'（x）＝ex＋x·ex＝（1＋x）ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f'（x）＜0；当x＞－1时，f'（x）＞0.故x＝－1为f（x）的极小值点. 3.函数f（x）＝x3－x2－3x＋6的极大值为　　，极小值为　－3　. 解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，得x＜－1或x＞3，令f'（x）＜0得－1＜x＜3，故f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上单调递增，在（－1，3）上单调递减，故f（x）的极大值为f（－1）＝，极小值为f（3）＝－3. 4.已知曲线f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1在点（1，f（1））处的切线斜率为3，且x＝是y＝f（x）的极值点，则a＝　2　，b＝　－4　. 解析：f'（x）＝3x2＋2ax＋b， 由题意知 即 解得经验证知符合题意. 课堂小结 1.理清单 （1）极值的概念； （2）求函数的极值； （3）根据极值求参数值（范围）. 2.应体会 （1）理解函数极值的概念利用了数形结合思想； （2）求函数的极值以及解决已知函数的极值求参数问题利用了方程思想和分类讨论思想. 3.避易错 导数值等于零不是此点为极值点的充要条件. 1.下列函数中，存在极值的是（　　） A.y＝ex B.y＝ln x C.y＝ D.y＝x2－2x 解析：D　对于A：函数y＝ex是实数集R上的增函数，不存在极值；对于B：函数y＝ln x在上单调递增，不存在极值；对于C：函数y＝在区间，上单调递减，不存在极值；对于D：y＝x2－2x＝－1在上单调递增，在上单调递减，因此x＝1是函数的极小值点，符合题意.故选D. 2.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极小值点组成的集合为（　　） A.{x1，x2，x3} B.{x1，x3} C.{x1，x2，x4} D.{x3} 解析：B　若x0是函数f（x）的极小值点，则函数f（x）在x0左侧邻近区域单调递减，在x0右侧邻近区域单调递增，题图中的x1与x3都满足上述条件，即x1与x3都是极小值点.故选B. 3.设函数f（x）＝x＋，则f（x）的极大值点和极小值点分别为（　　） A.x＝－2，x＝2 B.x＝2，x＝－2 C.x＝5，x＝－3 D.x＝－5，x＝3 解析：A　易知函数f（x）的定义域是{x｜x≠0}，由题意f'（x）＝1－＝，当x＜－2或x＞2时，f'（x）＞0，当－2＜x＜0或0＜x＜2时，f'（x）＜0，所以f（x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在（－2，0）和（0，2）上单调递减，所以极大值点是x＝－2，极小值点是x＝2. 4.已知a是函数f（x）＝x3－12x的极小值点，则a＝（　　） A.－4 B.－2 C.4 D.2 解析：D　∵f（x）＝x3－12x，∴f'（x）＝3x2－12，令f'（x）＝0，解得x1＝－2，x2＝2.当x∈（－∞，－2）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（－2，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）的极小值点为x＝2，即a＝2. 5.若函数f（x）＝aln x＋－既有极大值又有极小值，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 解析：C　f（x）＝aln x＋－（x＞0），则f'（x）＝－＋＝（x＞0），函数f（x）既有极大值又有极小值，等价于一元二次方程ax2－x＋2＝0在（0，＋∞）上有2个不同的实根，则解得0＜a＜，即实数a的取值范围为. 6.〔多选〕如图为函数f（x）的导函数f'（x）的图象，则下列判断正确的是（　　） A.f（x）在x＝1处取得极大值 B.x＝－1是f（x）的极小值点 C.f（x）在（2，4）上单调递减，在（－1，2）上单调递增 D.x＝2是f（x）的极小值点 解析：BC　当x＝1时，f'（1）≠0，所以x＝1不是f（x）的极值点，所以A错误；当x∈（－3，－1）时，f'（x）＜0，当x∈（－1，2）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（－3，－1）上单调递减，在（－1，2）上单调递增，所以x＝－1是f（x）的极小值点，所以B正确；当x∈（2，4）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（2，4）上单调递减，所以x＝2是f（x）的极大值点，所以C正确，D错误. 7.〔多选〕对于函数f（x）＝x3－3x2，下列给出的选项中正确的是（　　） A.f（x）是增函数，无极值 B.f（x）是减函数，无极值 C.f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减区间为（0，2） D.f（0）＝0是极大值，f（2）＝－4是极小值 解析：CD　f'（x）＝3x2－6x.令f'（x）＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0.令f'（x）＝3x2－6x＜0，得0＜x＜2，所以函数f（x）在区间（－∞，0）和（2，＋∞）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减.当x＝0和x＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4. 8.函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a＝　1　，b＝　－3　. 解析：∵f'（x）＝3ax2＋b，∴f'（1）＝3a＋b＝0①.又当x＝1时，函数f（x）有极值－2，∴a＋b＝－2②.联立①②解得经检验知符合题意，故a，b的值分别为1，－3. 9.函数f（x）＝ax－1－ln x（a≤0）在定义域内的极值点的个数为　0　. 解析：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝a－＝，所以当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，所以f（x）在（0，＋∞）上没有极值点. 10.已知函数f（x）＝x（a＋ln x），曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与y＝4x－1平行. （1）求a的值； （2）求f（x）的极值. 解：（1）因为f（x）＝x（a＋ln x），x＞0. 所以f'（x）＝a＋ln x＋x·＝ln x＋a＋1，x＞0. 由题意f'（e）＝4⇒ln e＋a＋1＝4⇒a＝2. （2）因为f（x）＝x（2＋ln x），x＞0. 所以f'（x）＝ln x＋3，x＞0. 由f'（x）＞0⇒ln x＋3＞0⇒x＞e－3；由f'（x）＜0⇒ln x＋3＜0⇒0＜x＜e－3. 所以函数f（x）在（0，e－3）上单调递减，在（e－3，＋∞）上单调递增. 所以当x＝e－3时，函数取得极小值，且f（e－3）＝e－3·＝－. 11.若函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围是（　　） A.m＜ B.0＜m＜ C.m＞ D.0＜m＜1 解析：B　由y＝ex－2mx，得y'＝ex－2m.因为函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，所以ex－2m＝0有小于零的实根，即m＝ex有小于零的实根，因为x＜0，所以0＜ex＜，所以0＜m＜. 12.〔多选〕定义在R上的函数f（x），已知x0（x0≠0）是它的极大值点，则以下结论正确的是（　　） A.－x0是f（－x）的一个极大值点 B.－x0是－f（x）的一个极小值点 C.x0是－f（x）的一个极大值点 D.－x0是－f（－x）的一个极小值点 解析：AD　x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，就是存在正数m，使得在（x0－m，x0）上，f'（x）＞0，在（x0，x0＋m）上，f'（x）＜0.设g（x）＝f（－x），g'（x）＝－f'（－x），当－x0＜x＜－x0＋m时，x0－m＜－x＜x0，f'（－x）＞0，g'（x）＜0，同理当－x0－m＜x＜－x0时，g'（x）＞0，所以－x0是f（－x）的一个极大值点，从而－x0是－f（－x）的一个极小值点，x0是－f（x）的一个极小值点.不能判定－x0是不是－f（x）的极值点. 13.若函数f（x）＝x3＋x2－ax－4在区间（－1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为　[1，5）　. 解析：因为f'（x）＝3x2＋2x－a，函数f（x）在区间（－1，1）上恰有一个极值点，即f'（x）＝0在（－1，1）内恰有一个根.又函数f'（x）＝3x2＋2x－a的对称轴为直线x＝－，所以应满足即解得1≤a＜5. 14.设x＝1与x＝2是函数f（x）＝aln x＋bx2＋x的两个极值点. （1）试确定常数a和b的值； （2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由. 解：（1）∵f（x）＝aln x＋bx2＋x， ∴f'（x）＝＋2bx＋1. 由极值点的必要条件可知：f'（1）＝f'（2）＝0， ∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0， 解得a＝－，b＝－. （2）由（1）可知f（x）＝－ln x－x2＋x，且其定义域是（0，＋∞）， f'（x）＝－x－1－x＋1＝－. 当x∈（0，1）∪（2，＋∞）时，f'（x）＜0； 当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，∴x＝1是函数f（x）的极小值点， x＝2是函数f（x）的极大值点. 15.设函数f（x）＝x3－x2－x＋a（a∈R）. （1）求 f（x）的极值； （2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？ 解：（1）f（x）的定义域为R. f'（x）＝3x2－2x－1＝（3x＋1）（x－1）. 令f'（x）＝0，得x＝－或x＝1. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （－∞，－） － （－，1） 1 （1，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以f（x）的极大值是f（－）＝＋a，极小值是f（1）＝a－1. （2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a＝（x－1）2（x＋1）＋a－1， 由此可知，x取足够大的正数时，有f（x）＞0， x取足够小的负数时，有f（x）＜0，所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点. 由（1）知f（x）极大值＝f（－）＝＋a， f（x）极小值＝f（1）＝a－1. 因为曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点，所以f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0， 所以a＜－或a＞1， 所以当a∈（－∞，－）∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $