5.3.1 第2课时 函数单调性的应用（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学函数单调性的应用，系统梳理含参数函数单调区间的求解、根据单调性求参数取值范围、利用单调性比较大小和解不等式等核心知识点。从导数与单调性的关系切入，先通过分类讨论掌握含参函数单调性（如例1对不同a值下函数单调区间的分析），再通过导数不等式恒成立等技巧解决参数问题（如例2及变式从恒成立到已知单调区间求参数），最后延伸到单调性的实际应用，形成“基础方法—参数问题—应用拓展”的学习支架。 该资料以数学运算和逻辑推理为核心素养导向，设计“例题—变式—规律方法—训练题”的梯度教学环节。例如例2通过三个变式从函数在R上增、区间上减到已知单调区间求参数，层层递进培养分类讨论与转化能力，课中辅助教师实施分层教学，课后通过课堂小结和不同难度练习题（如基础题与提升题），助力学生梳理知识体系、查漏补缺，提升数学抽象与问题解决能力。

第二课时　函数单调性的应用 课标要求 1.能求简单的含参的函数的单调区间（数学运算）. 2.进一步理解函数的导数和其单调性的关系，利用单调性比较大小、解不等式（数学抽象、数学运算）. 3.能根据函数的单调性求参数的取值范围（数学运算）. 知识点一｜含参数函数的单调性 【例1】　讨论函数f（x）＝ax2＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性. 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ax＋1－＝. ①当a＝0时， f'（x）＝， 由f'（x）＞0，得x＞1， 由f'（x）＜0，得0＜x＜1. ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. ②当a＞0时，f'（x）＝， ∵a＞0，∴＞0. 由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1. ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增. 综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增. 【规律方法】 讨论含参函数的单调性的关键点 （1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f'（x）在某一个区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分类讨论，讨论时要做到不重不漏，最后进行总结； （2）求含参函数y＝f（x）的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0. 训练1　设函数f（x）＝ex－ax－2（a∈R），求f（x）的单调区间. 解：f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝ex－a. 若a≤0，则f'（x）＞0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数. 若a＞0，则当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0； 当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增. 综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数； 当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（－∞，ln a）， 单调递增区间为（ln a，＋∞）. 知识点二｜根据函数的单调性求参数 【例2】　已知函数f（x）＝x3－ax－1为R上的增函数，求实数a的取值范围. 解：由已知得f'（x）＝3x2－a， 因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数， 所以f'（x）＝3x2－a≥0在（－∞，＋∞）上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0. 即a的取值范围为（－∞，0]. 变式　（1）若函数f（x）＝x3－ax－1在（－1，1）上单调递减，求a的取值范围； 解：由题意可知f'（x）＝3x2－a≤0在（－1，1）上恒成立，所以即 所以a≥3. 即a的取值范围是[3，＋∞）. （2）若函数f（x）＝x3－ax－1的单调递减区间为（－1，1），求a的值. 解：f'（x）＝3x2－a，①当a≤0时，f'（x）≥0， 所以f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，不满足题意. ②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±， 当－＜x＜时，f'（x）＜0. 所以f（x）在（－，）上单调递减， 所以f（x）的单调递减区间为（－，）， 所以＝1，即a＝3. 【规律方法】 由函数的单调性求参数的技巧 （1）转化为导数不等式恒成立问题：若f（x）在区间上单调递增（减），则f'（x）≥（≤）0恒成立，可以利用分离参数法或函数性质求参数，注意检验参数取“＝”时是否满足题意； （2）若f（x）在区间上不是单调函数，则解法通常有以下两种：①转化为单调函数求参数，再求其补集；②转化为函数的导函数有变号的零点，再求参数. 训练2　（1）若函数f（x）＝x3－2ax2－（a－2）x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为（　D　） A.－1≤a≤2 B.－2≤a≤1 C.a＞2或a＜－1 D.a＞1或a＜－2 解析：若函数f（x）有3个单调区间，则f'（x）＝4x2－4ax－（a－2）有2个变号零点，故Δ＝16a2＋16（a－2）＞0，解得a＞1或a＜－2. （2）若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不单调，则实数k的取值范围是（　B　） A.（－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞） B.（－3，－1）∪（1，3） C.（－2，2） D.不存在这样的实数k 解析：由题意得，f'（x）＝3x2－12＝0在区间（k－1，k＋1）上至少有一个实数根.又f'（x）＝3x2－12＝0的根为±2，且f'（x）在x＝2或－2两侧异号，而区间（k－1，k＋1）的区间长度为2，故只有2或－2在区间（k－1，k＋1）内，∴k－1＜2＜k＋1或k－1＜－2＜k＋1，∴1＜k＜3或－3＜k＜－1，故选B. 提能点｜函数单调性的应用 角度1　比较大小 【例3】　已知函数f（x）＝＋ln x，则（　　） A.f（e）＜f（π）＜f（2.7） B.f（π）＜f（e）＜f（2.7） C.f（e）＜f（2.7）＜f（π） D.f（2.7）＜f（e）＜f（π） 解析：D　函数f（x）＝＋ln x的定义域为（0，＋∞）.∵f'（x）＝（＋ln x）'＝（）'＋（ln x）'＝＋＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.∵2.7＜e＜π，∴f（2.7）＜f（e）＜f（π），故选D. 变式　已知实数x，y满足2x＋2x＜2y＋2y，则（　　） A.x＞y B.x＝y C.x＜y D.x，y的大小不确定 解析：C　设f（t）＝2t＋2t，所以f'（t）＝2＋2tln 2＞0，所以函数f（t）是增函数，由题意得f（x）＜f（y），所以x＜y. 【规律方法】 在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小. 　　提醒：解题时需注意先判断所属单调区间. 角度2　解不等式 【例4】　不等式2x≥2－log2x的解集为　[1，＋∞）　. 解析：令f（x）＝2x－2＋log2x，x∈（0，＋∞），则f'（x）＝2xln 2＋＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，当x＝1时，f（1）＝2－2＋log21＝0，所以当x≥1时，f（x）≥0，即2x≥2－log2x.所以2x≥2－log2x的解集为[1，＋∞）. 【规律方法】 解不等式时，通常利用函数单调性来解决，其中函数可以是已知函数，也可以根据题目要求构造相应函数. 训练3　（1）已知函数f（x）＝3x＋2cos x.若a＝f（3），b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（　D　） A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.b＜c＜a 解析：由题意，得f'（x）＝3－2sin x.因为－1≤sin x≤1，所以f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）是增函数.因为log24＜log27＜log28，所以2＜log27＜3，所以2＜log27＜3，所以f（2）＜f（log27）＜f（3），即b＜c＜a. （2）已知函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）＝ex＋x2－cos x，则不等式f（x－3）－f（2x－1）＜0的解集为　（－∞，－2）∪　. 解析：当x≥0时，f'（x）＝ex＋2x＋sin x，（ex＋2x＋sin x）'＝ex＋2＋cos x＞0，f'（x）单调递增，f'（0）＝1，所以f'（x）＞0，f（x）单调递增.因为f（x）是偶函数，所以当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（x－3）－f（2x－1）＜0⇒f（x－3）＜f（2x－1）⇒｜x－3｜＜｜2x－1｜⇒（x－3）2＜（2x－1）2⇒（x＋2）（3x－4）＞0⇒x＜－2或x＞，即不等式f（x－3）－f（2x－1）＜0的解集为（－∞，－2）∪. 1.设函数f（x）＝2x＋sin x，则（　　） A.f（1）＞f（2） B.f（1）＜f（2） C.f（1）＝f（2） D.以上都不正确 解析：B　f'（x）＝2＋cos x＞0，故f（x）是R上的增函数，故f（1）＜f（2）. 2.若函数f（x）＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为（　　） A.[－1，＋∞） B.[1，＋∞） C.（－1，＋∞） D.（1，＋∞） 解析：B　由题意可得，f'（x）＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1. 3.已知函数f（x）＝，若f（a＋3）＞f（2a），则a的取值范围是　（－∞，3）　. 解析：由函数f（x）＝，可得f'（x）＝＞0，即f（x）为R上的增函数，故由f（a＋3）＞f（2a）可得a＋3＞2a，∴a＜3. 4.已知函数f（x）＝x3＋ax2－a2x＋2（a＞0），求函数f（x）的单调区间. 解：f'（x）＝3x2＋2ax－a2＝（x＋a）（3x－a）， 由f'（x）＝0得x＝－a或x＝. 又a＞0，由f'（x）＜0，得－a＜x＜， 由f'（x）＞0，得x＜－a或x＞， 故f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为和. 课堂小结 1.理清单 （1）含参数函数的单调性； （2）由单调性求参数的取值范围； （3）利用单调性比较大小； （4）利用单调性解不等式. 2.应体会 （1）解决含参数函数的单调性问题时要注意分类讨论思想的应用； （2）利用单调性比较大小、解不等式时常利用数形结合思想. 3.避易错 （1）求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论； （2）解不等式时，易忽略定义域. 1.已知函数f（x）＝3x－ax（a∈R），则“a＜0”是“函数f（x）为增函数”的（　　） A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　因为f（x）＝3x－ax，所以f'（x）＝3xln 3－a，所以当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上是增函数.因为（－∞，0）⫋（－∞，0]，所以“a＜0”是“函数f（x）为增函数”的充分不必要条件.故选A. 2.若f（x）＝x3－ax2的单调递减区间是（0，2），则正数a＝（　　） A.1　 　　B.2　 　　C.3　 　　D.4 解析：A　f'（x）＝x2－2ax，令f'（x）＜0，由于a＞0，故解得0＜x＜2a，故2a＝2，即a＝1. 3.已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，函数y＝f'（x）的图象如图所示，且f（－2）＝1，f（3）＝1，则不等式f（x2－6）＞1的解集是（　　） A.（－3，－2）∪（2，3） B.（－，） C.（2，3） D.（－∞，－）∪（，＋∞） 解析：A　由y＝f'（x）的图象知，函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，且f（－2）＝1，f（3）＝1，则不等式f（x2－6）＞1可转化为－2＜x2－6＜3，解得2＜x＜3或－3＜x＜－2.故选A. 4.已知定义在R上的函数f（x），g（x）对任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且当x＞0时，有f'（x）＞0，g'（x）＞0，则当x＜0时，有（　　） A.f'（x）＞0，g'（x）＞0 B.f'（x）＞0，g'（x）＜0 C.f'（x）＜0，g'（x）＞0 D.f'（x）＜0，g'（x）＜0 解析：B　由已知，得f（x）为奇函数，g（x）为偶函数.∵当x＞0时，f'（x）＞0，g'（x）＞0，∴f（x），g（x）在（0，＋∞）上均单调递增，∴f（x）在（－∞，0）上单调递增，g（x）在（－∞，0）上单调递减，∴当x＜0时，f'（x）＞0，g'（x）＜0. 5.已知函数f（x）＝，当1＜x＜3时，下列关系正确的是（　　） A.f（）＜f（x）＜[f（x）]2 B.f（x）＜f（）＜[f（x）]2 C.[f（x）]2＜f（）＜f（x） D.[f（x）]2＜f（x）＜f（） 解析：A　由题意得f'（x）＝，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，3）上单调递增.又1＜＜x＜3，所以f（）＜f（x）.由f（x）在（1，3）上单调递增，可知当x∈（1，3）时，f（x）＞f（1）＝e，所以[f（x）]2＞f（x）.综上f（）＜f（x）＜[f（x）]2. 6.〔多选〕已知定义在R上的函数f（x），其导函数y＝f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　） A.f（b）＞f（a） B.f（d）＞f（e） C.f（a）＞f（d） D.f（c）＞f（e） 解析：ABD　由题图可得，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）＞0，当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减，所以f（b）＞f（a），f（d）＞f（e），f（c）＞f（e）. 7.〔多选〕若函数f（x）＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的取值可以是（　　） A.4 B.3 C.2 D.1 解析：AC　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－＝，由f'（x）≥0得函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）；由f'（x）≤0得函数f（x）的单调递减区间为（0，3].因为f（x）在区间[m－1，m＋1]上单调，所以或m－1≥3，解得1＜m≤2或m≥4.结合选项可得A、C正确. 8.函数f（x）＝x3－（2a＋1）x2＋（a2＋a）x＋4（a∈R）的单调递减区间是　（a，a＋1）　. 解析：f'（x）＝x2－（2a＋1）x＋a2＋a＝[x－（a＋1）]（x－a），令f'（x）＜0，得a＜x＜a＋1，故f（x）的单调递减区间是（a，a＋1）. 9.已知函数f（x）＝ax－ex在（0，1）上不单调，则实数a的取值范围为　（1，e）　. 解析：f'（x）＝a－ex.因为f（x）＝ax－ex在（0，1）上不单调，所以f'（x）＝0在（0，1）上有解，又f'（x）在（0，1）上单调递减，所以f'（0）＝a－1＞0，f'（1）＝a－e＜0，故a∈（1，e）. 10.若a＞0，试讨论f（x）＝aln x－（2a＋1）x＋x2的单调性. 解：f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝. 当0＜a＜时，由f'（x）＞0可得0＜x＜a或x＞；由f'（x）＜0可得a＜x＜， 所以函数f（x）的单调递增区间为（0，a），，单调递减区间为； 当a＝时，f'（x）≥0恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）； 当a＞时，由f'（x）＞0可得0＜x＜或x＞a；由f'（x）＜0可得＜x＜a，所以函数f（x）的单调递增区间为，（a，＋∞），单调递减区间为. 11.若函数f（x）＝ln x＋ax2－2在区间（1，4）内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解析：C　函数f（x）＝ln x＋ax2－2的定义域是（0，＋∞），所以f'（x）＝＋2ax＝.当a≥0时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增，符合题意.当a＜0时，由2ax2＋1＝0，得x＝（负根舍去），所以当x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.依题意，函数f（x）＝ln x＋ax2－2在区间（1，4）内存在单调递增区间，所以1＜，解得－＜a＜0.综上，a＞－.故选C. 12.函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是（　　） A.a＜ B.0＜a＜ C.a＜0或0＜a＜ D.a＜0 解析：A　由f（x）＝ax3＋x2＋5x－1，得f'（x）＝3ax2＋2x＋5，当a＝0时，由f'（x）＝0，解得x＝－，函数f（x）有两个单调区间；当a＞0时，由Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即0＜a＜，此时函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间；当a＜0时，Δ＝4－60a＞0，解得a＜，即a＜0，此时函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间.综上所述，a＜0或0＜a＜是函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的充要条件，分析可得a＜是其必要不充分条件. 13.已知函数f（x）＝2sin x－ex＋e－x，则关于x的不等式f（x2－4）＋f（3x）＜0的解集为　（－∞，－4）∪（1，＋∞）　. 解析：f（－x）＝－2sin x－e－x＋ex，∵f（－x）＋f（x）＝0，∴f（x）为奇函数，则f'（x）＝2cos x－（ex＋e－x），∵2cos x≤2，ex＋e－x≥2，∴f'（x）≤0，f（x）为减函数，又f（x2－4）＋f（3x）＜0，则f（x2－4）＜－f（3x）＝f（－3x），∴x2－4＞－3x，∴x＞1或x＜－4. 14.已知函数f（x）＝ax2＋ln（x＋1）. （1）当a＝－时，求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，求实数a的取值范围. 解：（1）当a＝－时， f（x）＝－x2＋ln（x＋1）（x＞－1）， 则f'（x）＝－x＋ ＝－（x＞－1）. 令f'（x）＞0，解得－1＜x＜1； 令f'（x）＜0，解得x＞1. 故函数f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，＋∞）. （2）因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞）恒成立，即a≤－对任意x∈[1，＋∞）恒成立. 令g（x）＝－，x∈[1，＋∞）， 易求得g'（x）＞0在[1，＋∞）上恒成立， 所以g（x）在[1，＋∞）上单调递增， 因此g（x）min＝g（1）＝－，故a≤－. 即实数a的取值范围是. 15.（2025·宁波月考）设函数f（x）＝（x＋a）ln x，g（x）＝.已知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x－y＝0平行. （1）求a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由. 解：（1）由题意知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f'（1）＝2， 又f'（x）＝ln x＋＋1， 所以a＋1＝2，解得a＝1. （2）存在.理由如下： 设h（x）＝f（x）－g（x）＝（x＋1）ln x－， 当x∈（0，1]时，h（x）＜0， 又h（2）＝3ln 2－＝ln 8－＞0， 所以存在x0∈（1，2）， 使得h（x0）＝0. 因为h'（x）＝ln x＋＋1＋， 当x∈（1，2）时，h'（x）＞2－＞0， 当x∈[2，＋∞）时，h'（x）＞0， 所以当x∈（1，＋∞）时，h（x）单调递增. 所以当k＝1时，方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存在唯一的根. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $