第4章 培优课 构造法求数列的通项公式 能力提升（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本讲义聚焦构造法求数列通项公式核心知识点，系统梳理形如\(a_{n+1}=pa_n+q\)、\(a_{n+1}=pa_n+f(n)\)（\(f(n)\)为一次多项式或指数式）及分式型递推公式的求解方法，通过例题解析、规律总结与分层训练，构建从基础到复杂的学习支架。 资料以递进式设计为特色，例题详解展现构造等比或等差数列的推理过程，培养学生数学思维中的运算能力与推理意识，规律方法提炼强化抽象能力（数学眼光），“五猴分桃”应用问题渗透模型观念（数学语言）。课中助力教师系统授课，课后练习题帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

重点解读 1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法（数学运算）. 2.会用构造法公式解决一些简单的问题（数学运算）. 一、形如an＋1＝pan＋q（p，q≠0且p≠1） 【例1】 在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，n∈N*，则an＝　×（）n＋2＋　　. 解析：因为an＋1＝an＋，令an＋1＋λ＝（an＋λ），则an＋1＝an－λ，所以－λ＝，解得λ＝－，所以an＋1－＝（an－），所以＝，因为a1－＝，所以数列{an－}是首项为，公比为的等比数列，所以an－＝×（）n－1＝×（）n＋2，所以an＝×（）n＋2＋. 【规律方法】 求解递推公式形如an＋1＝pan＋q（p≠0，q≠0且p≠1）的数列{an}的通项公式的关键：一是利用待定系数法构造，即构造an＋1＋λ＝p（an＋λ）的形式；二是找到{an＋λ}为等比数列（其中 λ＝）. 训练1　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a10＝（　　） A.2 045 B.1 021 C.1 027 D.2 051 解析：A　∵an＋1＝2an＋3可变形为an＋1＋3＝2（an＋3），故数列{an＋3}为等比数列，首项为4，公比为2，∴an＋3＝4·2n－1.∴an＝4·2n－1－3＝2n＋1－3，∴a10＝2 045.故选A. 二、形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠0） 角度1　f（n）为一次多项式 【例2】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2n＋1，则数列{an}的通项公式为an＝3n－n－1. 解析：设an＋1＋A（n＋1）＋B＝3（an＋An＋B），∴an＋1＝3an＋2An＋2B－A.与原式比较系数得解得∴an＋1＋（n＋1）＋1＝3（an＋n＋1）.令bn＝an＋n＋1，则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＋1＝3≠0，∴{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴bn＝3·3n－1＝3n，∴an＝3n－n－1. 【规律方法】 一般地，当f（n）为一次多项式时，即数列的递推关系为an＋1＝Aan＋Bn＋C型，可转化为an＋1＋λ1（n＋1）＋λ2＝A（an＋λ1n＋λ2）的形式来求通项公式. 角度2　f（n）为指数式 【例3】 （1）已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n（n≥2），且a1＝1，则an＝（n－）×2n； 解析：因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，得＝＋1，即－＝1，又＝，所以{}是以为首项，1为公差的等差数列，即＝＋（n－1）×1＝n－，所以an＝（n－）×2n. （2）已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝2an＋3n＋1，则an＝3n＋1－3×2n－1. 解析：令an＋1－A·3n＋1＝2（an－A·3n），则an＋1＝2an＋·3n＋1，由已知，＝1，得A＝3，所以an＋1－3×3n＋1＝2（an－3×3n），即an＋1－3n＋2＝2（an－3n＋1），又a1－32＝6－9＝－3≠0，所以{an－3n＋1}是首项为－3，公比为2的等比数列，于是an－3n＋1＝－3×2n－1，故an＝3n＋1－3×2n－1. 【规律方法】 1.形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式，一般等式两边除以pn，构造出一个新的数列{}，再求an. 2.形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式，一般可转化为an＋1＋λqn＋1＝p（an＋λqn）的形式，构造出一个新的等比数列{an＋λqn}，然后再求an. 训练2　（1）在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝2an＋1－an，则{an}的通项公式为　an＝n＋1　； 解析：设an＋2－x1an＋1＝x2（an＋1－x1an），结合已知可得x1＝x2＝1，a2－a1＝3－2＝1≠0，于是{an＋1－an}是首项为1，公比为1的等比数列，所以an＋1－an＝1，所以{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n＋1. （2）已知数列{an}满足＝＋，且a1＝1，则an＝　　. 解析：由题意，等式两边同乘2n，得＝＋1，即－＝1，所以{}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋（n－1）×1＝n＋1，即an＝. 三、形如an＋1＝（p，q，r≠0） 【例4】 在数列{bn}中，若b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，则bn＝　　. 解析：对递推式bn＋1＝的两边同时取倒数，得＝，即＝2·＋3，因此＋3＝2（＋3），＋3＝2，故{＋3}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝，n∈N*. 【规律方法】 一般地，形如an＋1＝（p，q，r≠0）结构的递推式往往可以通过等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式an＝Aan－1＋B（n≥2，A，B是常数），进而求出原数列的通项公式. 训练3　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（n∈N*），若bn＝log2（＋1），试求数列{bn}的通项公式. 解：由an＋1＝，得＝1＋，所以＋1＝2（＋1）， 又＋1＝2，所以数列{＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以＋1＝2·2n－1＝2n，所以bn＝log2（＋1）＝log22n＝n. 1.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则an＝（　　） A.2n－1　　 B.2n＋1　　 C.　　 D. 解析：C　∵an＋1＝，∴＝＋2，即－＝2，∴{}是公差为2的等差数列.又＝1，∴＝1＋2（n－1）＝2n－1，即an＝. 2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，则a17＝（　　） A.－15×216 B.15×217 C.－16×216 D.16×217 解析：A　由题意可得＝－，即－＝－，据此可得，数列{}是首项为＝，公差为－的等差数列，故＝＋（17－1）×（－）＝－，所以a17＝－15×216. 3.若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a5＝　496　. 解析：因为an＋1＝4an＋2n，所以an＋1＋2n＝4（an＋2n－1），所以数列{an＋2n－1}是等比数列，首项为2，公比为4，则an＋2n－1＝2×4n－1＝，可得an＝22n－1－2n－1，则a5＝22×5－1－25－1＝29－24＝496. 4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1，若an＞513，则n的最小值为　11　. 解析：因为an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2（an－1），即＝2，又a1－1＝2－1＝1，所以数列{an－1}是以1为首项，2为公比的等比数列.则an－1＝2n－1，即an＝2n－1＋1.因为an＞513，所以2n－1＋1＞513，所以2n－1＞512，所以n＞10，故n的最小值为11. 课堂小结 1.理清单 （1）形如＝pan＋q的递推关系求通项公式； （2）形如an＋1＝pan＋f（n）的递推关系求通项公式； （3）形如an＋1＝的递推关系求通项公式. 2.应体会 利用构造法求数列的通项公式体现了转化与化归思想. 3.避易错 构造的新的数列的首项易误认为还是a1. 1.数列{an}满足an＋1＝λan－1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{an－1}是等比数列，则λ＝（　　） A.1 B.－1 C. D.2 解析：D　由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ（an－）.∵数列{an－1}是等比数列，∴＝1，λ＝2. 2.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2，数列{bn}满足bn＝an－2n，则数列{bn}的通项公式为（　　） A.bn＝3n B.bn＝3n－1 C.bn＝3n－2 D.bn＝3n＋1 解析：C　因为an＋1＝3an－4n＋2，所以an＋1－2（n＋1）＝3（an－2n），又bn＝an－2n≠0，所以bn＋1＝3bn，所以＝3，又b1＝a1－2＝，所以数列{bn}是首项为，公比为3的等比数列，所以bn＝·3n－1＝3n－2，故选C. 3.已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的通项公式an＝（　　） A.2n B.n（n＋1） C. D. 解析：C　∵an＋1＝an＋，∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，即2n＋1an＋1－2nan＝2.又21a1＝2，∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2nan＝2＋（n－1）×2＝2n，∴an＝. 4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则a12＝（　　） A.12×210 B.12×211 C.12×212 D.12×213 解析：C　由题意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an），因此数列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1，于是－＝1，因此数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，得＝1＋（n－1）×1＝n，即an＝n·2n.所以a12＝12×212. 5.数列{an}满足an＋1＝2an＋3，n∈N*，若a2 025≥a1，则a1的取值范围为（　　） A.（－∞，－3] B.（－∞，－3） C.（－3，＋∞） D.[－3，＋∞） 解析：D　由an＋1＝2an＋3可得an＋1＋3＝2（an＋3），当a1＝－3时，an＝－3，满足题意；当a1≠－3时，＝2，所以数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列，所以an＋3＝（a1＋3）×2n－1，所以an＝（a1＋3）×2n－1－3，所以a2 025＝（a1＋3）×22 024－3≥a1，所以（a1＋3）×22 024≥a1＋3，所以a1＞－3.综上a1≥－3. 6.〔多选〕已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N*，则下列说法正确的是（　　） A.a4＝4 B.{a2n}是等比数列 C.a2n－a2n－1＝2n－1 D.a2n－1＋a2n＝2n＋1 解析：ABC　∵a1＝1，an·an＋1＝2n，∴a2＝2，a3＝2，a4＝4，由an·an＋1＝2n可得an＋1·an＋2＝2n＋1，∴＝2，∴{a2n}，{a2n－1}分别是以2，1为首项，公比为2的等比数列，∴a2n＝2·2n－1＝2n，a2n－1＝1·2n－1＝2n－1，∴a2n－a2n－1＝2n－1，a2n－1＋a2n＝3·2n－1≠2n＋1，综上可知，A、B、C正确，D错误. 7.数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1，则a7＝　64　. 解析：当n≥2时，由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1①，得a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）·an－1＝（n－2）·2n－1＋1②，①－②，得nan＝[（n－1）·2n＋1]－[（n－2）·2n－1＋1]＝n·2n－1（n≥2），当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝2n－1，则a7＝64. 8.定义：若＝q（n∈N*，q为非零常数且q≠1），则称{an}为“差等比数列”，已知在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，则a2 025－a2 024＝　22 023 . 解析：在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，可得＝2，a2－a1＝1，即数列{an＋1－an}是首项为1，公比为2的等比数列，可得an＋1－an＝2n－1，则a2 025－a2 024＝22 023. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，则k的最小值为　6　. 解析：由Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3，得Sn＋1＋3＝2（Sn＋3），又S1＝a1＝1，所以S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，Sn＝2n＋1－3，所以Sk＝2k＋1－3≥125，解得k≥6.所以k的最小值为6. 10.已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，求{an}的通项公式. 解：当n≥2时，设an＋An＋B＝[an－1＋A（n－1）＋B]，即an＝an－1－An－A－B，与原式比较系数得解得所以an－4n＋6＝[an－1－4（n－1）＋6]， 所以数列{an－4n＋6}是首项为a1－4＋6＝3，公比为的等比数列， 所以an－4n＋6＝3·（）n－1， 所以an＝＋4n－6，n∈N*. 11.已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，an＋bn－1＝3（n≥2）. （1）若an＝bn，求{an}的通项公式； （2）若b1＝0，an－1＋bn＝1（n≥2），证明{an}为等差数列，并求{an}和{bn}的通项公式. 解：（1）当an＝bn，n≥2时，an－1＝bn－1， 所以an＋bn－1＝3，即an＝－an－1＋3， 整理得an－＝－（an－1－）， 所以{an－}是以a1－＝为首项，－1为公比的等比数列. 故an－＝×（－1）n－1， 即an＝＋×（－1）n－1. （2）当n≥2时，由an＋bn－1＝3，得an＋1＋bn＝3， 又an－1＋bn＝1， 所以an＋1－an－1＝2（n≥2）. 因为b1＝0，所以a2＝3， 则{a2k－1}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列，a2k－1＝2＋（k－1）×2＝2k，k∈N*； {a2k}是以a2＝3为首项，2为公差的等差数列，a2k＝3＋（k－1）×2＝2k＋1，k∈N*. 综上所述，an＝n＋1. 所以an－an－1＝（n＋1）－n＝1，n≥2， 故{an}是以2为首项，1为公差的等差数列. 当n≥2时，bn＝1－an－1＝1－n，且b1＝0满足bn＝1－n， 所以bn＝1－n. 12.1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分.第二天清晨，第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿了五份中的一份走了.第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了.以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办法处理.问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？ 解：设最初的桃子数为a1，5只猴子分剩的桃子数依次为a2，a3，a4，a5，a6. 由题意得an＋1＝（an－1）－（an－1）＝an－.　（*） 设an＋1＋x＝（an＋x），即an＋1＝an－x， 对照（*）式，得x＝4，即an＋1＋4＝（an＋4）， 所以数列{an＋4}是首项为a1＋4， 公比为的等比数列. 所以a6＋4＝（a1＋4）×（）5，所以a6＝（a1＋4）×（）5－4. 由于a6为整数，所以a1＋4的最小值为55，所以a1的最小值为55－4＝3 121. 故原来至少有3 121个桃子，从而最后至少剩下a6＝45－4＝1 020（个）桃子. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $