4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦等比数列的概念及通项公式，从《孙子算经》“出门望九堤”情境导入，通过类比等差数列，引导学生探究等比数列定义、等比中项及通项公式的推导，辅以问题链、例题解析与分层训练构建学习支架。 资料以传统文化激发兴趣，通过问题驱动培养数学抽象与逻辑推理能力，如类比等差数列推导通项公式，例题训练覆盖基础与综合应用提升数学运算素养，课中助力教师高效授课，课后练习题帮助学生查漏补缺。

第一课时　等比数列的概念及通项公式 课标要求 情境导入 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念（数学抽象）. 2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程（逻辑推理、数学运算）. 3.能应用等比数列通项公式进行简单运算（数学运算）. 　　我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”其构成一个数列：9，92，93，…，98.这就是今天我们要探讨的等比数列. 　　 知识点一｜等比数列的概念 问题1　观察下面三个问题中的数列，回答后面的问题： ①你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条，其面条根数依次是1，2，4，8，16，32，64，128，…； ②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭，”这句话中隐藏着一列数：，，，，，…； ③－的n次幂按1次幂，2次幂，3次幂，…，依次排成一列数：－，，－，，…. 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 提示：通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于①＝2，…；对于②＝，…；对于③＝－，….其规律为从第2项开始，后一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 【知识梳理】 1.概念：一般地，如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前　一项的　比　都等于　同一个　常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的　公比　，公比通常用字母q表示（显然q≠0）. 2.符号表示：＝q（n∈N*且n≥2）或＝q（n∈N*）. 　　提醒：公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数. 【例1】　（链接教材P31练习1题）判断下列数列是不是等比数列，如果是，写出它的公比. （1）1，，，，，…； 解：不是等比数列. （2）10，10，10，10，10，…； 解：是等比数列，公比为1. （3），（）2，（）3，（）4，…； 解：是等比数列，公比为. （4）1，0，1，0，1，0，…； 解：不是等比数列. （5）1，－4，16，－64，256，…. 解：是等比数列，公比为－4. 【规律方法】 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 训练1　〔多选〕以下条件中，不能判定数列是等比数列的有（　　） A.数列1，2，6，18，… B.数列{an}满足＝2，＝2 C.常数列a，a，…，a，… D.数列{an}中，＝q（q≠0），其中n∈N* 解析：ABC　A中，≠，不符合等比数列的定义，故不是等比数列；B中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；C中，当a＝0时，不是等比数列；D中，符合等比数列的定义，是等比数列. 知识点二｜等比中项 问题2　任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项吗？ 提示：不一定，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项. 【知识梳理】 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2＝　ab　. 　　提醒：（1）若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列；（2）只有同号的两个实数才有等比中项；（3）若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 【例2】　（1）－2和＋2的等差中项与等比中项分别为（　C　） A.，±2 B.2，± C.，±1 D.1，± 解析：－2和＋2的等差中项为＝，－2和＋2的等比中项为±＝±1. （2）若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b＝　3　. 解析：因为数列1，a，b，c，9是等比数列，所以b2＝1×9，解得b＝3或b＝－3，当b＝－3时，不满足1×b＝a2，故舍去；当b＝3时，经检验符合题意，所以b＝3. 【规律方法】 在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项. 训练2　（1）已知等比数列{an}中的前三项为a，2a＋2，3a＋3，则实数a＝　－4　； 解析：由题意知（2a＋2）2＝a（3a＋3），解得a＝－1或a＝－4.当a＝－1时，第二、三项均为零，故a＝－1应舍去，综上，a＝－4. （2）在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与的等比中项，那么k＝　9　. 解析：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.又∵ak是a6与的等比中项，∴＝a6，即[a1＋（k－1）d]2＝（a1＋5d）·[a1＋（k＋5）d]，[（k－3）d]2＝3d·（k＋3）d，解得k＝9或k＝0（舍去）. 知识点三｜等比数列的通项公式 问题3　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由等比数列的定义可知＝q（n∈N*且n≥2）. 法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1，当n＝1时，上式也成立. 法二　a2＝a1q，a3＝a2q＝（a1q）q＝a1q2，a4＝a3q＝（a1q2）q＝a1q3，…… 由此可得an＝a1（n≥2），当n＝1时，上式也成立. 【知识梳理】 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝　a1qn－1　. 【例3】　（链接教材P29例1）在等比数列{an}中. （1）a5＝8，a7＝2，an＞0，求an； （2）an＝625，n＝4，q＝5，求a1； （3）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：设数列{an}的公比为q. （1）因为所以 由得q2＝，因为an＞0，所以q＝，a1＝128，所以an＝a1·＝128×（＝（. （2）a1＝＝＝5，解得a1＝5. （3）因为 由得q＝，所以a1＝32.又an＝1，所以32×（＝1，即26－n＝20，解得n＝6. 【规律方法】 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解. 训练3　（1）在等比数列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，则a2＝（　A　） A. B. C. D.4 解析：由题得解得q2＝3，∴q＝或q＝－.当q＝时，a1＝；当q＝－时，a1＝－.∴a2＝a1q＝. （2）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝8，a4＋a5＝48，则数列{an}的通项公式为　an＝2n　. 解析：设等比数列的公比为q（q＞0），因为a3＝8，a4＋a5＝48，所以则q2＋q－6＝0，所以（q－2）（q＋3）＝0，解得q＝2或q＝－3（舍去），所以a1＝2，所以an＝a1qn－1＝2n. 1.下列数列为等比数列的是（　　） A.2，22，3×22，… B.，，，… C.s－1，（s－1）2，（s－1）3，… D.0，0，0，… 解析：B　A项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义.故选B. 2.数列{an}是等比数列，a5＝4，a9＝16，则a7＝（　　） A.8 B.±8 C.－8 D.1 解析：A　a5＝a1q4＝4，a9＝a1q8＝16，两式相比得q4＝4，q2＝2，a7＝a1q6＝a1q4·q2＝a5q2＝4×2＝8. 3.在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为　±4　. 解析：a4＝a1q3＝×23＝1，a8＝a1q7＝×27＝16，∴a4与a8的等比中项为±＝±4. 4.在等比数列{an}中. （1）已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； 解：∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2， ∴4·2n－1＝128， ∴2n－1＝32， ∴n－1＝5，n＝6. （2）已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式. 解：∵a3＝a1·q2，即8＝2q2， ∴q2＝4， ∴q＝±2. 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n， 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·（－2）n－1＝（－1）n－12n. 课堂小结 1.理清单 （1）等比数列的概念； （2）等比中项； （3）等比数列的通项公式. 2.应体会 在进行等比数列的基本运算时，要注意方程思想的应用. 3.避易错 x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy⇒/ x，G，y成等比数列. 1.在数列{an}中，an＋1＝2an，且a1＝1，则a4＝（　　） A.4 　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.16 解析：C　因为an＋1＝2an，a1＝1，所以{an}为公比为2的等比数列，所以a4＝a1·23＝8，故选C. 2.已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝（　　） A.6 B.－6 C.±6 D.±12 解析：C　∵a＝＝，b2＝（－1）×（－16）＝16，b＝±4，∴ab＝±6. 3.在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是（　　） A.1 B.1或－2 C.－1或2 D.－1或－2 解析：C　法一　由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，所以q＝－1或q＝2.故选C. 法二　因为a5＝a4q，a6＝a4·q2，所以由已知条件得2a4＝a4·q2－a4·q，即2＝q2－q，所以q＝－1或q＝2.故选C. 4.已知等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，则an＝（　　） A.2n＋1 B.2n＋2 C.n＋1 D.n＋2 解析：D　因为a2，a4，a7成等比数列，故＝a2a7，又因为等差数列{an}的公差为1，即（a1＋3）2＝（a1＋1）（a1＋6），解得a1＝3，所以an＝a1＋（n－1）d＝n＋2. 5.一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝（　　） A. B.－1 C. D. 解析：D　由题意得an＝an＋1＋an＋2，所以1＝q＋q2，即q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝（舍去）. 6.〔多选〕已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，则（　　） A.q＝2 B.an＝2n C.18是数列中的项 D.an＋an＋1＜an＋2 解析：ABD　由题意可得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2（负值舍去），选项A正确；an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an＞3an，选项D正确. 7.〔多选〕已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三个整数解，构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第4项可能是（　　） A. B.2 C.4 D.8 解析：AD　不等式x2－5x－6＜0的解集为{x｜－1＜x＜6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4，若数列前三项为1，2，4，则第4项为8，若数列前三项为4，2，1，则第4项为. 8.若数列{an}是等比数列，且an＝3n－1＋a－2，则a＝　2　. 解析：由题意可得，a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以＝，解得a＝2. 9.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列的通项公式an＝　×3n－1（答案不唯一）　. 解析：设数列{an}的公比为q，则q＝3，由已知可得a3＜1，∴9a1＜1，∴a1＜，故a1可取，故满足条件的等比数列的通项公式可能为an＝×3n－1. 10.（1）若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n； （2）若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q. 解：（1）由an＝a1·qn－1，得＝×（）n－1， 即（）n－1＝（）3，解得n＝4. （2）∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3， 又an＋4＝a4，∴qn＝1， ∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1. 11.设数列{an}的每一项都不为零，且＝an·a2对任意n∈N*都成立，若a3＝3，则a7＝（　　） A.12 B.20 C.27 D.30 解析：C　令n＝1，则a2＝a1a2，∵a2≠0，∴a1＝1.由＝an·a2得＝a2，故{an}是首项为1，公比为a2的等比数列，故＝a1a3＝3，解得a2＝±.则a7＝a3（a2）4＝3×（±）4＝27. 12.〔多选〕在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有＝k（k为常数），则称{an}为等差比数列，k称为公差比.下列说法正确的是（　　） A.等差数列一定是等差比数列 B.等差比数列的公差比一定不为0 C.若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列 D.若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 解析：BCD　对于等差数列{an}，考虑an＝1，an＋1＝1，an＋2＝1，无意义，故A错误；若等差比数列的公差比为0，＝0，则an＋2－an＋1＝0，则an＋1－an＝0与题目矛盾，故B正确；若an＝－3n＋2，则＝＝＝3，数列{an}是等差比数列，故C正确；若等比数列是等差比数列，则an＝a1qn－1，q≠1，＝＝＝q，故D正确.故选B、C、D. 13.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（i，j∈N*），则a53＝　　. 　　 　　　　 … 解析：第一列数构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×（）2＝. 14.已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，－（2an＋1－1）an－2an＋1＝0. （1）求a2，a3； （2）求{an}的通项公式. 解：（1）由题意得a2＝，a3＝. （2）由－（2an＋1－1）an－2an＋1＝0， 得2an＋1（an＋1）＝an（an＋1）. 因为{an}的各项都为正数， 所以an＋1≠0，所以＝. 故{an}是首项为1，公比为的等比数列， 因此an＝（n∈N*）. 15.已知无穷数列1，1，…，1，…，求证： （1）这个数列是等比数列； （2）这个数列中的任一项是其后第5项的； （3）数列中任两项之积仍为数列中的项. 证明：（1）任取数列中的相邻两项an＝1，an＋1＝1， 则＝＝1，且a1＝1＝1≠0. 由等比数列定义可知这个数列为等比数列. （2）任取数列中的一项am＝1， 则其后第5项应为am＋5＝1. 则＝＝1＝10－1＝，得证. （3）任取数列中两项＝1，＝1， 则＝1·1＝1. ∵n1≥1，n2≥1，且n1，n2∈N*，n1≠n2， ∴n1＋n2－2＞0，且n1＋n2－2∈N*， ∴符合已知数列中的项的特征， 即为数列中的项. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $