模块综合检测（二）（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学模块复习课件系统整合了函数、导数、数列等核心知识，通过综合检测题覆盖概念理解、性质应用、实际建模等内容，以题型串联知识点，帮助学生构建完整的知识网络，明晰内在逻辑联系。 其亮点在于分层设计练习与创新情境结合，如通过“期待数列”新定义问题培养数学眼光，导数应用题提升数学思维中的运算与推理能力，满足不同学生需求，助力教师精准复习，有效巩固知识。

模块综合检测（二） （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数f（x）＝ax3＋b，若f'（－1）＝3，则a＝（　　） A. －1 B. C. 1 D. 解析：　∵f'（x）＝3ax2，∴f'（－1）＝3a＝3，∴a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·选择性必修第二册 2. 在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a3＋a4＝5，则a9＋a10＝（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 解析：　设等差数列{an}的公差为d，由a2＋a3＝4，a3＋a4＝5，得2d ＝5－4＝1，所以a9＋a10＝a3＋6d＋a4＋6d＝（a3＋a4）＋12d＝5＋6＝ 11. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 3. 曲线y＝ex－ln x在点（1，e）处的切线方程为（　　） A. （1－e）x－y＋1＝0 B. （1－e）x－y－1＝0 C. （e－1）x－y＋1＝0 D. （e－1）x－y－1＝0 解析：　由于y'＝e－ ，所以y'｜x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点 （1，e）处的切线方程为y－e＝（e－1）·（x－1），即（e－1）x－y＋1 ＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 4. 已知数列{an}为等比数列，Tn为数列{an}前n项积，且T2＝ ，T6＝ 8，则T4＝（　　） A. 1 B. C. D. 2 解析：　由题意，数列{an}为等比数列，Tn为数列{an}前n项积，所以 T2＝a1a2＝ ，T6＝a1a2a3a4a5a6＝ ＝8，则a3a4＝2，可得T4＝ a1a2a3a4＝ ×2＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 5. 已知函数f（x）＝ln x＋x2－mx.若函数f（x）在 上单调递减， 则实数m的最小值为（　　） A. 0 B. 3 解析：　f'（x）＝ ＋2x－m，令f'（x）≤0，得m≥ ＋2x，令g （x）＝ ＋2x，若函数f（x）在 上单调递减，则m≥g（x） max，当x∈ 时，g'（x）＝2－ ＝ ＞0，所以函数g（x）在 上单调递增，则g（x）max＝g ＝ ，所以m≥ . C. D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 6. 函数y＝（2x－1）ex的图象大致是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：　因为当x＜ 时，y＝（2x－1）ex＜0，所以D错误；又y'＝ （2x＋1）ex，所以当x＜－ 时，y'＜0，即y＝（2x－1）ex在区间 上单调递减，所以C错误；又当x＞ 时，u＝（2x＋1）ex的导 数u'＝（2x＋3）ex＞0，所以y'＝（2x＋1）ex单调递增，即y＝（2x－ 1）ex随x的增大越来越陡，所以B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 7. 已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ ，令Tn＝a1·a2＋a2·a3＋…＋ an·an＋1，则Tn＝（　　） A. 16× B. 16× C. × D. × √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：　设数列{an}的公比为q，由题意可知当n≥2时， ＝q2， 即数列{an·an＋1}是以q2为公比的等比数列，由a2＝2，a5＝ 得q＝ ，所 以a1＝4，a1·a2＝8，所以Tn＝ ＝ × . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 8. 定义在（1，＋∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且（x－1）f' （x）－f（x）＞x2－2x对任意x∈（1，＋∞）恒成立.若f（2）＝3，则 不等式f（x）＞x2－x＋1的解集为（　　） A. （1，2） B. （2，＋∞） C. （1，3） D. （3，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：　由（x－1）f'（x）－f（x）＞x2－2x，得（x－1）f'（x）－f （x）＋1＞（x－1）2，即 －1＞0，即 '＞0对任意x∈（1，＋∞）恒成立，令g（x）＝ －x，则g（x） 在（1，＋∞）上单调递增，∵f（2）＝3，∴g（2）＝0，∴f（x）＞x2 －x＋1等价于 －x＞0，即g（x）＞g（2），∴x＞2.∴不等式f （x）＞x2－x＋1的解集为（2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分. 9. 已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝ ，且an＋1（2－an）＝2 （an≠2），则（　　） A. a3＝ B. {an}是周期数列且周期为4 C. S4＝ D. S21＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析： 　由an＋1（2－an）＝2（an≠2），可得an＋1＝ ，所以a2 ＝ ＝－4，a3＝ ＝ ，A错误；a4＝ ＝ ，a5＝ ＝ ＝a1， 所以数列{an}是周期数列且周期为4，B正确；S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝ ， C正确；S21＝5× ＋ ＝ ，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 10. 设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则（　　） A. x＝3是f（x）的极小值点 B. 当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C. 当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0 D. 当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x） √ √ √ 解析： 对于A，因为函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝2（x－ 1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），易知当x∈ 时， f'（x）＜0，当x∈ 或x∈ 时，f'（x）＞0，函数f （x）在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，正确；对于B，当0＜x＜1时，x－x2＝x ＞0，所以1＞x＞x2＞0，而由上可知，函数f（x） 在 上单调递增，所以f（x）＞f ，错误； 对于C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f（x）在 上单调递减，所以f ＞f ＞f ，即－4＜f ＜0，正确； 对于D，当－1＜x＜0时，f（2－x）－f（x）＝ － · ＝ · ＞0，所以f（2－x）＞f（x），正 确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 11. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励 函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数 sin h x＝ ， 双曲余弦函数 cos h x＝ ，双曲正切函数tanh x＝ .则（　　） A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数 C. 双曲正切函数是增函数 D. tanh ＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：对于A，令f（x）＝ sin h x＝ ，则f'（x）＝ ＞0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对于B，令g（x）＝ cos h x＝ ，则g'（x）＝ ，由A知，g'（x）为增函数，又g' ＝ ＝0，故当x∈ 时，g'（x）＜0，当x∈ 时，g'（x）＞0，故g（x）在 上单调递减，在 上单调递增，故B错误；对于C，tanh x＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－ ，由y＝e2x＋1在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 R上单调递增，且y＝e2x＋1＞1，故tanh x＝1－ 是增函数，故C正确；对于D，由C知tanh x＝ ，则tanh ＝ ， ＝＝ ＝ ＝ ＝ ，故tanh ＝ ，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知数列{an}是等差数列，且其前n项和为Sn.若S3＝9，S6＝36，则 a1＝ ⁠. 解析：由S3＝9，S6＝36得a1＋a2＋a3＝3a2＝9，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 ＝3 ＝36，解得a2＝3，a3＋a4＝12，即a2＋d＋a2＋2d＝12，解 得d＝2，所以a1＝a2－d＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 13. 若函数f（x）＝x2－4x＋aln x有唯一的极值点，则实数a的取值范围 为 ⁠. 解析：由f（x）＝x2－4x＋aln x可知，f'（x）＝2x－4＋ ＝ （x＞0），令g（x）＝2x2－4x＋a＝2（x－1）2＋a－2，由f（x）有 唯一的极值点，可得g（0）≤0，即a≤0，则实数a的取值范围为（－ ∞，0]. （－∞，0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…， ， ，…， ，…，若Sk＝14，则k＝ ，ak＝ 　​ 　. 28 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：因为 ＋ ＋…＋ ＝ ＝ － ， ＋ ＋…＋ ＝ ＝ ，所以数列 ， ＋ ， ＋ ＋ ，…， ＋ ＋…＋ 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以该数列的前m项和Tm＝ ＋1 ＋ ＋…＋ ＝ .令Tm＝ ＝14，解得m＝7，所以ak＝ ，k＝ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15. （本小题满分13分）已知函数f（x）＝ x2＋aln x. （1）若a＝－1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值； 解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞）， 当a＝－1时，f'（x）＝x－ ＝ ， 令f'（x）＝0，得x＝1或x＝－1（舍去）， 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增， 所以f（x）在x＝1处取得极小值，极小值为 ，无极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）若a＝1，求函数f（x）在 上的最大值和最小值. 解：当a＝1时，易知函数f（x）在 上单调递增， 所以f（x）min＝f（1）＝ ， f（x）max＝f（e）＝ e2＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （1）求数列{an}的通项公式； 解：若选条件①：由a1＝1，a1a5＝ ， 得a1（a1＋4d）＝（a1＋d）2，即1＋4d＝（1＋d）2，∴d2＝2d. ∵d≠0，∴d＝2.∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1. 若选条件②：设等差数列{an}的首项为a1， 16. （本小题满分15分）下列三个条件：①a1＝1，a1a5＝ ；②S3＝9， S5＝25；③Sn＝n2.从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中并解答. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0， 　　　　. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 由S3＝9，S5＝25，得 解得 ∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1. 若选条件③：当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1. 显然当n＝1时也满足an＝2n－1，∴an＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）记bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解： 由（1）知an＝2n－1， ∴bn＝ ＝ ＝ ， 则Tn＝ （1－ ＋ － ＋…＋ － ）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 17. （本小题满分15分）某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的 销量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝ ＋10（x－6）2，其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每 日可售出该商品11千克. （1）求实数a的值； 解： ∵当x＝5时，y＝11，∴由函数式y＝ ＋10（x－6）2，得 ＋10＝11，∴a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大，并求出最大值. 解： 由（1）知该商品每日的销售量y＝ ＋10（x－6）2， 设商场每日销售该商品所获得的利润为f（x），则 f（x）＝（x－3） ＝2＋10（x－3）（x－6）2，3 ＜x＜6， f'（x）＝10 ＝30（x－4）（x－6）， 令f'（x）＝0，得x＝4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 当3＜x＜4时，f'（x）＞0，函数 f（x）在（3，4）上单调递增； 当4＜x＜6时，f'（x）＜0，函数f（x）在（4，6）上单调递减， ∴当x＝4时，函数f（x）取得最大值f（4）＝42， ∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最 大值为42元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 18. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝ln x＋ax2＋（2a＋1）x. （1）讨论f（x）的单调性； 解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ＋2ax＋2a＋1＝ . 若a≥0，则当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0， 故f（x）在（0，＋∞）上是增函数. 若a＜0，则当x∈ 时，f'（x）＞0； 当x∈ 时，f'（x）＜0. 故f（x）在 上单调递增，在 上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）当a＜0时，证明f（x）≤－ －2. 解：证明：由（1）知，当a＜0时，f（x）在x＝－ 处取得最大 值，最大值为f ＝ln －1－ . 所以f（x）≤－ －2等价于ln －1－ ≤－ －2，即ln ＋ ＋1≤0. 设g（x）＝ln x－x＋1，则g'（x）＝ －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 当x∈（0，1）时，g'（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0. 所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减. 故当x＝1时，g（x）取得极大值且为最大值，最大值为g（1）＝0. 所以当x＞0时，g（x）≤0. 从而当a＜0时，ln ＋ ＋1≤0， 即f（x）≤－ －2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 19. （本小题满分17分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2， a3，…，an为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”： ①a1＋a2＋a3＋…＋an＝0，②｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝1. （1）若等比数列{an}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q； 解： 若q≠1，则由①a1＋a2＋a3＋…＋a2k＝ ＝0， 由a1≠0，所以1－q2k＝0，得q＝－1， 由②得a1＝ 或a1＝－ ，满足题意. 若q＝1，由①得，a1·2k＝0，得a1＝0，不合题意，舍去. 综上所述q＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）若一个等差数列{an}既为2k（k∈N*）阶“期待数列”，又是递增 数列，求该数列的通项公式； 解：设等差数列a1，a2，a3，…，a2k（k∈N*）的公差为d（d＞0）. 因为a1＋a2＋a3＋…＋a2k＝0， 所以 ＝0. 所以a1＋a2k＝ak＋ak＋1＝0. 因为d＞0，所以由ak＋ak＋1＝0， 得ak＜0，ak＋1＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 由题中的①②得a1＋a2＋a3＋…＋ak＝－ ，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋…＋a2k ＝ ， 两式相减得k2·d＝1，即d＝ . 又a1k＋ d＝－ ，得a1＝ ， 所以an＝a1＋（n－1）d ＝ ＋（n－1）· ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （3）记n阶“期待数列”{ai}的前k项和为Sk（k＝1，2，3，…，n）， 求证：｜Sk｜≤ . 解： 证明：记a1，a2，a3，…，an中非负项和为A，负项和为B. 则A＋B＝0，A－B＝1，得A＝ ，B＝－ . 因为－ ＝B≤Sk≤A＝ ，所以｜Sk｜≤ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 THANKS 演示完毕 感谢观看 $