模块综合检测（一）（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学模块综合复习资料系统涵盖数列、函数导数、不等式等核心模块，通过基础题型（如等差数列公差计算）、综合应用（如导数与函数单调性）、数学文化题（如中国剩余定理）的梯度设计，串联知识点内在联系，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于融入数学文化培养数学眼光，如结合“物不知数”问题设计数列应用；通过导数分类讨论、数列递推转化训练数学思维；解答题规范步骤强化数学语言表达。分层题型适配不同学生，详细解析助力教师精准教学，有效提升复习效率。

模块综合检测（一） （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，∴d＝a4－a3＝7－5＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·选择性必修第二册 2. 若函数f（x）＝x2－3x－5ln x的导函数为f'（x），则f'（x）＞0的解 集为（　　） A. （0，＋∞） B. （－1，0）∪ C. （－1，0） D. 解析：　∵函数f（x）＝x2－3x－5ln x的导函数为f'（x）＝2x－3－ （x＞0），令f'（x）＞0， ∴ 解得x＞ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 3. 已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等 比数列，则b2（a2－a1）＝（　　） A. 8 B. －8 C. ±8 D. 解析：　设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有1＋3d＝ 9，1·q4＝9，解得d＝ ，q2＝3，∴b2（a2－a1）＝1×q2× ＝8.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 4. 设曲线y＝ sin x上任一点（x，y）处的切线斜率为g（x），则函数y ＝x2g（x）的部分图象可以为（　　） 解析：　由曲线方程y＝ sin x，可知g（x）＝ cos x，所以y＝x2g（x） ＝x2 cos x为偶函数，排除A、B；当x＝0时，y＝0，排除D，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 5. 已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项 an＝（　　） A. －3×2n－1 B. 3×2n－1 C. 5n＋3×2n－1 D. 5n－3×2n－1 √ 解析：　法一　在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得 ＝ × ＋ ①，令bn＝ ，则①式变为bn＋1＝ bn＋ ，即bn＋1－1 ＝ ，所以数列 是等比数列，其首项为b1－1＝ －1＝ － ，公比为 ，所以bn－1＝－ × ，即bn＝1－ × ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 所以 ＝1－ × ＝1－ ，所以an＝5n－3×2n－1. 法二　设an＋1＋k×5n＋1＝2（an＋k×5n），则an＋1＝2an－3k×5n，与 an＋1＝2an＋3×5n比较可得k＝－1，所以an＋1－5n＋1＝2（an－5n），所 以数列 是首项为a1－5＝－3，公比为2的等比数列，所以an－5n ＝－3×2n－1，所以an＝5n－3×2n－1，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 6. 函数f（x）在定义域R上的导函数是f'（x），若f（x）＝f（2－x）， 且当x∈（－∞，1）时，（x－1）·f'（x）＜0.设a＝f（0），b＝f （ ），c＝f（log28），则（　　） A. c＜a＜b B. c＜b＜a C. a＜b＜c D. a＜c＜b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：　∵当x∈（－∞，1）时，（x－1）f'（x）＜0，∴f'（x）＞ 0，∴f（x）在区间（－∞，1）上单调递增.又∵f（x）＝f（2－x）， ∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（x）在区间（1，＋∞）上单调 递减.∵a＝f（0）＝f（2），b＝f（ ），c＝f（log28）＝f（3）， ∴c＜a＜b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 7. 已知函数f（x）＝ln x－（x－a）2（a∈R）在区间[1，＋∞）上存在 单调递增区间，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. [1，＋∞） D. （1，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：　因为f（x）＝ln x－（x－a）2（a∈R），则f'（x）＝ －2x ＋2a，因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上存在单调递增区间，则存在 x∈[1，＋∞），使得f'（x）＞0，即 －2x＋2a＞0，可得a＞x－ ， 设g（x）＝x－ ，因为函数y＝x、y＝－ 在[1，＋∞）上均单调递 增，则函数g（x）在[1，＋∞）上单调递增，当x≥1时，g（x）min＝g （1）＝1－ ＝ ，故a＞ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数 学著作《孙子算经》，卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几 何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到 大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则 的最小值为（　　） A. 30 B. C. D. 41 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排列为：2，5，8，11，…，该数列即为bn＝2＋3 ＝3n－1，被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排列为：3，8，13，18，…，该数列即为cn＝3＋5 ＝5n－2，数列 、 的第一个公共项为a1＝8，由题意被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列所构成的数列也是等差数列，其首项即为数列 、 的第一个公共项a1＝8，其公差为数列 、 的公差的最小公倍数d＝3×5＝15，所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋ d＝8＋15 ＝15n－7，由等差数列前n项公式得Sn＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ＋ ＋ ，由基本不等式得 ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ，当且仅当 ＝ ，n∈N*，即n＝2时，等号成立，所以 的最小值为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分. 9. 若{an}是公比为q（q≠0）的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下 列说法正确的是（　　） A. 若a1＞0，0＜q＜1，则{an}为递减数列 B. 若a1＜0，0＜q＜1，则{an}为递增数列 C. 若q＞0，则S4＋S6＞2S5 D. 若bn＝ ，则{bn}是等比数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析： 　在等比数列中，an＋1－an＝an（q－1），当a1＞0，0＜q＜ 1时，显然有an（q－1）＜0，故{an}为递减数列，故A正确；当a1＜0，0 ＜q＜1时，显然有an（q－1）＞0，故{an}为递增数列，故B正确；若等 比数列{an}的公比q＝1，则S4＋S6＝10a1，2S5＝10a1，则S4＋S6＝2S5， 故C不正确；等比数列{an}的公比为q（q≠0），若bn＝ ，则{bn}是等 比数列，公比为 ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 10. 以下不等式成立的是（　　） A. x＞ sin x，x∈ B. x－1≥ln x，x∈（0，＋∞） C. ex－x－1≥0，x∈R D. ln x＋1－ex＞0，x∈（0，＋∞） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析： 　对于A，令f（x）＝x－ sin x，x∈ ，由f'（x）＝1 － cos x＞0，则f（x）在 上单调递增，则f（x）＞f（0）＝0⇒x ＞ sin x，不等式成立；由两个经典不等式，易知B、C正确；对于D，令g （x）＝ln x＋1－ex，x∈（0，＋∞），当x＝1时，g（1）＝1－e＜0， 所以不等式不成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 11. 设函数f（x）＝ ，则下列选项正确的是（　　） A. f（x）为奇函数 B. f（x）的图象关于点（0，1）对称 C. f（x）的最大值为 ＋1 D. f（x）的最小值为－ ＋1 √ √ √ 解析： 　f（x）＝ ＋1，不满足f（－x）＝－f（x），故A项 错误；令g（x）＝ ，则g（－x）＝ ＝ ＝－g（x）， 所以g（x）为奇函数，则f（x）关于点（0，1）对称，B项正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 设f（x）＝ ＋1的最大值为M，则g（x）的最大值为M－1，设f （x）＝ ＋1的最小值为N，则g（x）的最小值为N－1，当x＞0时， g（x）＝ ，所以g'（x）＝ ，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，当x＞1时， g'（x）＜0，所以当0＜x＜1时，g（x）单调递增，当x＞1时，g（x） 单调递减，所以g（x）在x＝1处取得最大值，最大值为g（1）＝ ，由 于g（x）为奇函数，所以g（x）在x＝－1处取得最小值，最小值为g （－1）＝－ ，所以f（x）的最大值为M＝ ＋1，最小值为N＝－ ＋1， 故C、D项正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 025， 则m＝ ⁠. 解析：∵S3＝3a1＋3d，∴3a1＋3d＝a1＋4d，即d＝2，am＝a1＋（m－ 1）×2＝2m－1＝2 025，∴m＝1 013 1 013 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 13. 若直线y＝－x＋m是曲线y＝2x2＋3x＋4与曲线y＝－ex＋n的公切 线，则m＋n＝ ⁠. 解析：令f（x）＝2x2＋3x＋4，则f'（x）＝4x＋3，令f'（x）＝4x＋3＝ －1，得x＝－1，则f（－1）＝2－3＋4＝3，即有y－3＝－（x＋1），即 y＝－x＋2，故m＝2.令g（x）＝－ex＋n，则g'（x）＝－ex＋n，令g' （x）＝－ex＋n＝－1，有x＝－n，则g（－n）＝－e0＝－1，即有y＋1 ＝－（x＋n），即y＝－x－n－1.故有－n－1＝2，即n＝－3.故m＋n ＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 14. 已知f（x）＝x2＋bx＋c有极小值点－1，设bn＝ ，若对于任 意的n∈N*，都有bn≥b4成立，则实数c的取值范围是 ⁠. [12，20] 解析：因为f（x）＝x2＋bx＋c有极小值点－1，所以－ ＝－1，解得b ＝2（经检验符合），即bn＝ ＝n＋ ＋2，令g（x）＝x＋ ＋2 （x≥1），则g'（x）＝1－ ＝ ，当c≤1时，g'（x）≥0，g（x） 在[1，＋∞）上单调递增，此时{bn}是递增数列，不满足题意，故c＞1. 当1＜x＜ 时，g'（x）＜0，当x＞ 时，g'（x）＞0，即g（x）在 （1， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，即数列{bn}先减后 增，因为对于任意的n∈N*，都有bn≥b4成立，所以只需b3≥b4且 b4≤b5，即 解得12≤c≤20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15. （本小题满分13分）设函数f（x）＝ x3－x2－mx. （1）若f（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间，求m的取值范围； 解：f'（x）＝x2－2x－m， 由题意可知，f'（x）＝x2－2x－m＜0在（0，＋∞）上有解， 所以存在x∈（0，＋∞），使得m＞x2－2x， 因为y＝x2－2x的最小值为12－2×1＝－1， 则m＞－1，即m的取值范围为（－1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）若x＝－1是函数的极值点，求函数f（x）在[0，5]上的最小值. 解：因为f'（－1）＝1＋2－m＝0， 所以m＝3.所以f'（x）＝x2－2x－3， 令f'（x）＝0，解得x＝－1或x＝3. 所以当x∈[0，3）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（3，5]时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增. 所以函数f（x）在[0，5]上的最小值为f（3）＝9－9－9＝－9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 16. （本小题满分15分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn＝n2＋n. （1）求{an}的通项公式； 解： 当n＝1时，a1＝S1＝12＋1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝2n； 经检验：a1＝2满足上式， 所以{an}的通项公式是an＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）设Tn＝a1· ＋a2· ＋…＋an· ，求Tn. 解：由（1）得，Tn＝2·32＋4·34＋…＋（2n－2）·32n－2＋（2n）·32n， 9Tn＝2·34＋4·36＋…＋（2n－2）·32n＋（2n）·32n＋2， 所以－8Tn＝2·32＋2·34＋…＋2·32n－2＋2·32n－（2n）·32n＋2. 即Tn＝ － ， 即Tn＝ ·9n－ ·9n＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 17. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝ln x＋2ax . （1）当a＝－1时，求函数f（x）的单调区间； 解： 当a＝－1时，f（x）＝ln x－2x（x＞0）， ∴f'（x）＝ －2，由f'（x）＞0，得0＜x＜ ，由f'（x）＜0，得x＞ ， ∴函数f（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）若g（x）＝f（x）－2x2，不等式g（x）≥－1在[1，＋∞）上存 在实数解，求实数a的取值范围. 解： 由题意得，g（x）＝ln x－2x2＋2ax≥－1在 上存在 实数解. 化为a≥ 在 上存在实数解， 令h（x）＝ ， 则h'（x）＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 ∵在 上，2x2＋ln x＞0，得h'（x）＝ ＞0，故h（x）在 [1，＋∞）上单调递增， ∴h（x）的最小值为h（1）＝ ， ∴当a的取值范围为［ ，＋∞）时，不等式g（x）≥－1在 上 存在实数解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 18. （本小题满分17分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且 a2，a5，a14成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设数列{an}的公差为d， 由a2，a5，a14成等比数列，得 ＝a2a14， 即 ＝ ，即d2－2d＝0， 解得d＝0或d＝2. 当d＝0时，an＝1；当d＝2时，an＝a1＋ d＝2n－1. 综上所述，an＝1或an＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）当数列{an}的公差不为0时，记数列 的前n项和为Tn， 求证：Tn＜ . 解：证明：由（1）可知，当数列{an}的公差不为0时， an＝2n－1， ∴Sn＝ ＝n2， 则S2n－1＝（2n－1）2，S2n＋1＝（2n＋1）2， ∴ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 ＝ ， ∴Tn＝ ［ ＋ ＋ ＋…＋ ］ ＝ ＝ － ， 又n∈N*，∴Tn＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 19. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝2ax－a－1，g（x）＝ex－ ex. （1）讨论g（x）的单调性并求极值； 解： 因为g'（x）＝ex－e在R上单调递增， 所以当x＜1时g'（x）＜0，当x＞1时g'（x）＞0， 所以g（x）在 上单调递减，在 上单调递增， 所以g（x）的极小值为g ＝0，无极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）设函数h（x）＝g'（x）－f（x）（g'（x）为g（x）的导函数）， 若函数h（x）在 内有两个不同的零点，求实数a的取值范围. 解：因为h（x）＝g'（x）－f（x）＝ex－e－ ＝ex －2ax－e＋a＋1，所以h'（x）＝ex－2a， 当x∈ 时，ex∈ ， 所以当2a≤1或2a≥e时，h（x）在 上单调，至多只有一个零 点，不满足题意； 当1＜2a＜e时，由ex－2a＝0可得x＝ln ， 当x∈ 时，h'（x）＜0，h（x）单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 当x∈ 时，h'（x）＞0，h（x）单调递增， 所以要使函数h（x）在 内有两个不同的零点，则有 由 可得e－2＜a＜1，下面证明当e－2＜a＜1时h ＜0， 令m ＝h ＝3a－2aln －e＋1， 则m' ＝1－2ln ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 所以当a∈ 时，m' ＞0，m 单调递增， 当a∈ 时，m' ＜0，m 单调递减， 所以m ＝m ＝ －e＋1＜0， 所以当e－2＜a＜1时h ＜0， 综上，实数a的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 THANKS 演示完毕 感谢观看 $