第5章 章末检测（五） 一元函数的导数及其应用（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了一元函数导数的概念、运算及应用，通过选择、填空、解答题从导数定义、求导法则到单调性、极值、实际应用逐步递进，帮助学生构建完整的导数知识体系。 其亮点在于分层设计练习，基础题巩固概念（如导数定义计算题），综合题提升能力（如第17题利润最值问题培养数学眼光，第7题构造函数培养逻辑推理），详细解析助力个性化复习，让学生有效巩固知识，教师也能精准把握学情提高复习效率。

章末检测（五）　一元函数的导数及其应用 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数f（x）＝ sin x＋4x，则 ＝（　　） A. 12 B. 6 解析：　由题可得f'（x）＝ cos x＋4，∴f'（π）＝3， ∴ ＝2 ＝2f'（π）＝6. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C. 3 D. √ 数学·选择性必修第二册 2. 下列求导运算正确的是（　　） A. （ex）'＝xex－1 B. （x3）'＝x3ln x C. （2 025x）'＝2 025xln 2 025 D. （ln x）'＝ 解析：　由题意（ex）'＝ex，（x3）'＝3x2，（2 025x）'＝2 025xln 2 025，（ln x）'＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 3. 曲线f（x）＝x3＋1在点（－1，f（－1））处的切线方程为（　　） A. y＝－3x－1 B. y＝3x＋1 C. y＝3x＋3 D. y＝－3x－3 解析：　f（－1）＝－1＋1＝0，f'（x）＝3x2，故f'（－1）＝3，所以f （x）＝x3＋1在点（－1，f（－1））处的切线方程为y＝3（x＋1），即 y＝3x＋3.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 4. 设f（x）＝x2－2x－4ln x，则f（x）的单调递增区间为（　　） A. （0，＋∞） B. （－1，0）∪（2，＋∞） C. （2，＋∞） D. （－1，0） 解析：　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝2x－2－ ＝ ＝ ，由f'（x）＞0，可得x＞2，所以f（x）的单调 递增区间为（2，＋∞）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 5. 函数f（x）＝x sin x的导函数f'（x）在区间[－π，π]上的图象大致为 （　　） 解析：　因为f（x）＝x sin x，所以f'（x）＝ sin x＋x cos x，所以f'（－ x）＝－ sin x－x cos x＝－f'（x），所以f'（x）为奇函数，由此可排除 A、B、D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 6. 若函数f（x）＝ x2－x＋aln x有两个不同的极值点，则实数a的取值 范围是（　　） A. （ ，＋∞） B. （－ ，0） 解析：　因为f（x）＝ x2－x＋aln x有两个不同的极值点，所以f' （x）＝x－1＋ ＝ ＝0在（0，＋∞）上有2个不同的零点，所以 x2－x＋a＝0在（0，＋∞）上有2个不同的零点，所以 解得0＜a＜ . C. （－∞， ） D. （0， ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 7. 已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f（1）＝1，f'（x）＞1，则f （x）＞x的解集是（　　） A. （0，1） B. （－1，0）∪（0，1） C. （1，＋∞） D. （－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析：　设g（x）＝f（x）－x，因为f（1）＝1，f'（x）＞1，所以g （1）＝f（1）－1＝0，g'（x）＝f'（x）－1＞0，所以g（x）在R上是增 函数，且g（1）＝0.所以f（x）＞x的解集即是g（x）＞0的解集（1， ＋∞）.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 8. 已知f（x）是定义在区间（0，＋∞）上的函数，其导函数为f'（x）， 且不等式xf'（x）＜2f（x）恒成立，则（　　） A. 4f（1）＜f（2） B. 4f（1）＞f（2） C. f（1）＜4f（2） D. f（1）＞4f（2） 解析：设函数g（x）＝ （x＞0），则g'（x）＝ ＝ ＜0，所以函数g（x）在（0，＋∞）上为减函数，因此g（1）＞g（2），即 ＞ ，所以4f（1）＞f（2）.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分. 9. 已知函数f（x）＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c的值 可以为（　　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析： 因为f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），所以f（x）的 单调递增区间为（－∞，－1），（1，＋∞），单调递减区间为（－1， 1），所以f（x）的极大值为f（－1），极小值为f（1）.又f（x）＝x3 －3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，所以只需满足f（－1）＝0或f （1）＝0，即c＝－2或2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 10. 已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f（x）的 导函数f'（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的结论正确的有 （　　） x －1 0 2 4 5 f（x） 1 2 0 2 1 A. 函数f（x）的极大值点有2个 B. 函数f（x）在（0，2）上单调递减 C. 若x∈[－1，t]，f（x）的最大值是2，则t的最大值为4 D. 当1＜a＜2时，函数y＝f（x）－a有4个零点 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析：　由导数的正负性可知，函数y＝ f（x）的单调递增区间为（－1，0），（2， 4），单调递减区间为（0，2），（4，5），B 正确；函数f（x）有2个极大值点，A正确； 当x∈[－1，5]时，函数y＝f（x）的最大值是2，t的最大值为5，而不是4，C错误；作出函数y＝f（x）的图象如图所示，由图可知， 当1＜a＜2时，函数y＝a与函数y＝f（x）的图象有4个交点，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 11. 定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动 点”，则下列函数只有一个“新不动点”的是（　　） A. g（x）＝x·2x B. g（x）＝－ex－2x C. g（x）＝ln x D. g（x）＝ sin x＋2 cos x √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 解析： 　对于A，g'（x）＝2x＋x·2x·ln 2，由g（x）＝g'（x），得 x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，解得x＝ ，∴g（x）只有一个“新不动点”； 对于B，g'（x）＝－ex－2，由g（x）＝g'（x），得－ex－2x＝－ex－ 2，解得x＝1，∴g（x）只有一个“新不动点”；对于C，g'（x）＝ ， 易知y＝ln x和y＝ 的图象在第一象限内只有一个交点，∴g（x）只有一 个“新不动点”；对于D，g'（x）＝ cos x－2 sin x，由 sin x＋2 cos x＝ cos x－2 sin x，得3 sin x＝－ cos x，即tan x＝－ ，易知方程tan x＝－ 有 无数个解，∴g（x）有无数个“新不动点”.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数f（x）＝2e·f'（e）·ln x－ ，则f（e）＝ ⁠. 解析：因为f（x）＝2e·f'（e）·ln x－ ，则f'（x）＝ － ，所以f' （e）＝2f'（e）－ ，所以f'（e）＝ ，故f（x）＝2ln x－ ，因此f（e） ＝2ln e－1＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 13. 若函数f（x）＝（－x2＋ax）ex在区间（－1，1）上存在单调递减区 间，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：f（x）＝（－x2＋ax）ex，则f'（x）＝ex（－x2＋ax－2x＋ a），函数f（x）＝（－x2＋ax）ex在区间（－1，1）上存在单调递减区 间，只需－x2＋ax＋a－2x＜0在区间（－1，1）上有解，记g（x）＝－ x2＋（a－2）x＋a，对称轴为直线x＝ ，开口向下，g（－1）＝－1 －（a－2）＋a＝1＞0，只需g（1）＜0，所以－1＋a－2＋a＜0，解得 a＜ . （－∞， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 14. 若函数f（x）＝ sin x－x＋1，则不等式f（x＋1）＋f（2－2x）＞2 的解集为 ⁠. 解析：设g（x）＝f（x）－1＝ sin x－x，x∈R，则g'（x）＝ cos x－ 1≤0，所以函数g（x）在R上为减函数，又g（－x）＝ sin （－x）－ （－x）＝－ sin x＋x＝－g（x），所以函数g（x）为奇函数，由f（x ＋1）＋f（2－2x）＞2，可得f（x＋1）－1＋f（2－2x）－1＞0，即g （x＋1）＋g（2－2x）＞0，即g（x＋1）＞－g（2－2x），即g（x＋ 1）＞g（2x－2），所以x＋1＜2x－2，解得x＞3，所以不等式的解集为 （3，＋∞）. （3，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 15. （本小题满分13分）在区间（－2，1）内，函数f（x）＝－x3＋ax2＋ bx在x＝－1处取得极小值，在x＝ 处取得极大值. （1）求a，b的值； 解：因为f（x）＝－x3＋ax2＋bx，所以f'（x）＝－3x2＋2ax＋b， 又由已知得f'（－1）＝0，f' ＝0， 所以－3×（－1）2＋2a×（－1）＋b＝0，－3× ＋2a× ＋b＝0， 联立求解得a＝－ ，b＝2，经验证，符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）讨论f（x）在（－∞，＋∞）上的单调性. 解： 由（1）知f'（x）＝－3x2－x＋2 ＝－3 ， 当f'（x）＞0，解得－1＜x＜ ， 当f'（x）＜0，解得x＜－1或x＞ ， 所以函数f（x）的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 16. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝x2ex. （1）求函数f（x）的单调区间； 解： f'（x）＝2xex＋x2ex＝x（x＋2）ex， 由f'（x）＞0可解得，x＜－2或x＞0；由f'（x）＜0可解得，－2＜x＜0. 故函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－2）和（0，＋∞）； 函数f（x）的单调递减区间为（－2，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）若对∀x∈[－1，2]，f（x）－m＞0恒成立，求实数m的取值范围. 解： f（x）－m＞0等价于m＜f（x），依题意，需求函数f（x） 在区间[－1，2]上的最小值. 由（1）知，函数f（x）在区间（－1，0）上单调递减，在区间（0，2） 上单调递增， 故f（x）min＝f（0）＝0，所以m＜0. 即实数m的取值范围为（－∞，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 17. （本小题满分15分）某口罩生产企业每月生产x万件N95口罩的利润函 数为p（x）＝ （单位：万元）. （1）当0＜x＜6时，求企业月利润的最大值； 解： 当0＜x＜6时，p（x）＝－x2＋10x－16＝－（x－5）2＋9， 当x＝5时，p（x）取到最大值9，即企业月利润的最大值为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）当月产量为多少万件时，企业的月利润最大？请为企业生产经营提 一些合理建议. 解： 当x≥6时，p（x）＝13－ln x－ ，p'（x）＝－ ＋ ＝ ， 若6≤x≤e3，则p'（x）≥0，p（x）单调递增；若x＞e3，则p'（x）＜ 0，p（x）单调递减，所以x＝e3时，p（x）取到最大值p ＝9. 由（1）知x＝5时，p（x）也取到最大值9， 综上可知当月产量为5万件或e3万件时，企业的月利润最大. 建议：当月产量为5万件或e3万件时，利润最大，考虑时间成本和原料成 本，建议月产量为5万件最为合适. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 18. （本小题满分17分）设函数f（x）＝ln（a－x），已知x＝0是函数y ＝xf（x）的极值点. （1）求a的值； 解： 由题意得y＝xf（x）＝xln（a－x）， 则y'＝ln（a－x）＋x[ln（a－x）]'. 因为x＝0是函数y＝xf（x）的极值点， 所以y'｜x＝0＝ln a＝0，所以a＝1，经检验a＝1符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）设函数g（x）＝ ，证明：g（x）＜1. 解：证明：由（1）可知，f（x）＝ln（1－x），其定义域为{x｜x＜1}， 当0＜x＜1时，ln（1－x）＜0，此时xf（x）＜0， 当x＜0时，ln（1－x）＞0，此时xf（x）＜0. 易知g（x）的定义域为{x｜x＜1且x≠0}， 故要证g（x）＝ ＜1，只需证x＋f（x）＞xf（x）， 即证x＋ln（1－x）－xln（1－x）＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 令1－x＝t，则t＞0且t≠1，则只需证1－t＋ln t－（1－t）ln t＞0，即证 1－t＋tln t＞0. 令h（t）＝1－t＋tln t，则h'（t）＝－1＋ln t＋1＝ln t， 所以h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以h （t）＞h（1）＝0， 即g（x）＜1成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 19. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝ . （1）当a＞0时，求y＝f（x）的单调区间； 解：函数f（x）＝ 的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝ ＝ ＝ ， 令f'（x）＝0，即 ＝0，解得x＝e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 当0＜x＜e时，1－ln x＞0，ax2＞0，则f'（x）＞0，函数f（x）在（0， e）上单调递增； 当x＞e时，1－ln x＜0，ax2＞0，则f'（x）＜0，函数f（x）在（e，＋ ∞）上单调递减. 综上，函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，＋ ∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 （2）若g（x）＝f（x）－x有两个零点，求a的取值范围. 解： 由题意f（x）－x＝0在（0，＋∞）上有两个不同的根. －x＝0可化为a＝ ， 令h（x）＝ ，x∈（0，＋∞），则问题转化为y＝a与y＝h（x）的 图象有两个交点. h'（x）＝ ＝ ＝ ， 令h'（x）＝0，则1－2ln x＝0，x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 当0＜x＜ 时，1－2ln x＞0，x3＞0，则h'（x）＞0，函数h（x）在 （0， ）上单调递增； 当x＞ 时，1－2ln x＜0，x3＞0，则h'（x）＜0，函数h（x）在（ ， ＋∞）上单调递减， 所以h（x）在x＝ 处取得极大值，也是最大值，h（ ）＝ ＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 当x→0＋时，ln x→－∞，x2→0＋， 则h（x）＝ →－∞， 当x→＋∞时，ln x的增长速度远慢于x2的增长速度，所以h（x）＝ →0. 因为y＝a与y＝h（x）的图象有两个交点，所以0＜a＜ . 综上，a的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册 THANKS 演示完毕 感谢观看 $