第5章 培优课 两个经典不等式ex≥x＋1、ln x≤x－1的证明及应用 能力提升（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦两个经典不等式\(e^x \geq x + 1\)、\(\ln x \leq x - 1\)的证明及应用，从基础证明切入，通过例题、变式构建知识支架，衔接导数应用与不等式证明，帮助学生逐步掌握变形及综合应用。 其亮点是以逻辑推理和数学运算为核心，通过规律总结、递进训练提升数学思维，结合比较大小、恒成立等实例培养数学语言表达。小结系统梳理知识，助力学生构建体系，教师使用可高效开展培优教学。

培优课 两个经典不等式ex≥x＋1、ln x≤x－1的证明及应用 能力提升 1 1.熟悉常见的两类经典不等式ex≥x＋1和ln x≤x－1以及它们常见的几种变形形式（逻辑推理）. 2.掌握一般的证明不等式的方法（逻辑推理、数学运算）. 重点解读 一、经典不等式ex≥x＋1 【例1】　证明不等式ex≥x＋1. 证明：设f（x）＝ex－x－1，则f'（x）＝ex－1，由f'（x）＝0，得x＝ 0， 所以当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0， 所以f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增， 所以f（x）≥f（0）＝0，即ex－x－1≥0， 所以ex≥x＋1. 数学·选择性必修第二册 变式　证明不等式ex≥ex. 证明：设f（x）＝ex－ex， 则f'（x）＝ex－e，且f'（1）＝0， 当x＞1时，f'（x）＞0；当x＜1时，f'（x）＜0. ∴f（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， ∴f（x）min＝f（1）＝0，∴f（x）≥0，即ex≥ex. 数学·选择性必修第二册 【规律方法】 与ex有关的常用不等式 （1）ex≥x＋1（x∈R，当x＝0时，等号成立）； （2）ex≥ex（x∈R，当x＝1时，等号成立）； （3）ex≤ （x＜1，当x＝0时，等号成立）； （4）xex＝ex＋ln x≥x＋ln x＋1； （5） ＝ex－ln x≥x－ln x＋1. 数学·选择性必修第二册 训练1　设函数f（x）＝1－e－x，求证：当x＞－1时，f（x）≥ . 证明：当x＞－1时，由ex≥1＋x＞0（证明略），可得 ≤ .从而1－e －x≥1－ ，即1－e－x≥ ，所以f（x）≥ . 数学·选择性必修第二册 二、经典不等式ln x≤x－1 【例2】　证明不等式ln x≤x－1. 证明：由题意知x＞0，令f（x）＝x－1－ln x， 所以f'（x）＝1－ ＝ ， 所以当f'（x）＞0时，x＞1； 当f'（x）＜0时，0＜x＜1， 故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以f （x）有最小值f（1）＝0， 故有f（x）＝x－1－ln x≥f（1）＝0， 即ln x≤x－1成立. 数学·选择性必修第二册 变式　证明不等式ln（x＋1）≤x. 证明：由题意知x＞－1，令f（x）＝ln（x＋1）－x，所以f'（x）＝ －1＝ ， 所以当f'（x）＞0时，－1＜x＜0； 当f'（x）＜0时，x＞0， 故f（x）在（－1，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，所以f （x）有最大值f（0）＝0， 故有f（x）＝ln（x＋1）－x≤f（0）＝0， 即ln（x＋1）≤x成立. 数学·选择性必修第二册 【规律方法】 与ln x有关的常用不等式 （1） ≤ln x≤x－1（x＞0，当且仅当x＝1时，等号成立）； （2）ln x≤ （x＞0，当且仅当x＝e时，等号成立）； （3）ln x≤ （0＜x≤1，当且仅当x＝1时，等号成立）； （4）ln x≥ （x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立）； （5）x＋ln x＝ln（xex）≤xex－1； （6）x＋nln x＝ln（xnex）≤xnex－1. 数学·选择性必修第二册 训练2　求证：对任意正整数n，不等式ln（1＋n）－ln n＜ 都成立. 证明：因为当x＞0时，ln（x＋1）＜x（证明略）， 令x＝ （n≥1，n∈N*）， 得ln（1＋ ）＜ ，即ln（1＋n）－ln n＜ . 数学·选择性必修第二册 三、两个经典不等式的简单应用 【例3】　已知函数f（x）＝x2＋x－ln x.证明：对任意的x＞0，f（x） ＋ex＞x2＋x＋2. 证明：要证f（x）＋ex＞x2＋x＋2， 即证ex－ln x－2＞0，由ex＞x＋1，x＞0（证明略）， ∴ex－ln x－2＞x＋1－ln x－2＝x－ln x－1. 由ln x≤x－1，x＞0（证明略）， 可得x－ln x－1≥0， ∴ex－ln x－2＞0， 即f（x）＋ex＞x2＋x＋2成立. 数学·选择性必修第二册 【规律方法】 由ex＞x＋1＞x＞x－1≥ln x，可用该不等式通过放缩证明一些不等式. 　　提醒：在应用两个经典不等式时，要注意：①等号成立的条件；②对 于小题可直接应用，对于解答题要写出证明过程. 数学·选择性必修第二册 训练3　（1）若函数y＝ln（ex－x＋a）的值域为R，则实数a的取值范 围是（　　） A. （－∞，－1] B. （－∞，0] C. [0，＋∞） D. [1，＋∞） 解析：　欲使函数的值域为R，只需ex－x＋a能取遍所有正数，即最小 值小于等于0.令f（x）＝ex－x＋a，∵ex≥x＋1，∴ex－x＋a≥1＋ a，∴f（x）min＝1＋a≤0，∴a≤－1. √ 数学·选择性必修第二册 （2）已知函数f（x）＝ex－2－x，求证：f（x）＞ . 证明：要证明f（x）＞ ， 只需证明4ex－2－x＞xln x， 由ln x≤x－1（证明略），　① 只需证明4ex－2－x≥x（x－1）， 只需证明ex≥ ，只需证明 ≥ ， 由ex≥ex（证明略），得 ≥ ， 所以当x＞0时 ≥ 成立，　② 因为①②两式取等号时x的值不相等， 所以f（x）＞ . 数学·选择性必修第二册 1. 已知a＝ ，b＝ ，c＝ln ，则a，b，c的大小关系为 （　　） A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜a＜b D. b＜a＜c 解析：　由ex＞x＋1（x≠0），得b＝ ＞－ ＋1＝ ＞ ＝ a，由ln x＜x－1（x≠1），得c＝ln ＜ ＜b，又c＝ln ＝－ln ＞1－ ＝ ＝a，故c＞a，故b＞c＞a.故选B. √ 数学·选择性必修第二册 2. 已知正实数x，y满足 ＋2y－2＝ln x＋ln y，则xy＝ 　​ 　. 解析：ln x＋ln y＝ln ＋ln 2y≤（ －1）＋（2y－1）＝ ＋2y－2，当且 仅当 ＝1，2y＝1，即x＝2，y＝ 时，“＝”成立，此时xy＝ . 3. 已知x＞0，求证： ＜ln（1＋x）. 证明：由ln x≤x－1（证明略）， ∴ln ＜ －1（x＞0），即ln ＜ ， ∴ ＜ln（x＋1）. ​ 数学·选择性必修第二册 课堂小结 1. 理清单 （1）常见的几种经典不等式； （2）一般不等式的证明方法. 2. 应体会 不等式的证明应用了转化与化归思想及分类讨论思想. 3. 避易错 在证明不等式的转化过程中未做到等价转化. 数学·选择性必修第二册 课时作业 1. 已知m，n都是正整数，且em＋ln n＜m＋n，则（　　） A. n＞em B. m＞em C. n＜em D. m＞en 解析：　由em＋ln n＜m＋n得em－m＜n－ln n＝eln n－ln n.令f（x）＝ ex－x（x＞0），则f（m）＜f（ln n），∵f'（x）＝ex－1在（0，＋ ∞）上单调递增，f'（0）＝0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上 单调递增，∴m＜ln n，∴em＜n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 数学·选择性必修第二册 2. 若对于任意正实数x，y，不等式4ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立，则 实数a的最大值是（　　） A. － B. 0 C. D. 1 解析：　由ex＋y－2≥（x＋y－2）＋1，ex－y－2≥（x－y－2）＋1得ex＋y －2＋ex－y－2＋2≥（x＋y－2）＋1＋（x－y－2）＋1＋2＝2x≥4ax，所 以a≤ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 3. “x＞1”是“ln x＞ ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 解析：　不等式ln x＞ 等价于ln x－1＋ ＞0，令f（x）＝ln x－1＋ ，则f'（x）＝ － ＝ ，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f' （x）＞0，所以当x＝1时，f（x）取得最小值f ＝0，所以当x＞1 时，f（x）＞0，ln x＞ ，而当ln x＞ 时，x＞0且x≠1，所以“x＞ 1”是“ln x＞ ”的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 4. 已知实数a，b满足2ln a－e2b≥a2－2b－2（e为自然对数的底数），则 a＋2b＝（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：　由2ln a＝ln a2≤a2－1，e2b≥2b＋1得2ln a－e2b≤（a2－1） －（2b＋1）＝a2－2b－2，而2ln a－e2b≥a2－2b－2，故2ln a－e2b＝ a2－2b－2，此时a2＝1，2b＝0，解得a＝1（舍负），b＝0，所以a＋ 2b＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 5. 〔多选〕经研究发现：任意一个三次多项式函数f（x）＝ax3＋bx2＋ cx＋d（a≠0）的图象上都有且只有一个对称中心点（x0，f（x0）），其 中x0是f″（x）＝0的根，f'（x）是f（x）的导数，f″（x）是f'（x）的导 数.若函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b图象的对称中心点为（－1，2），且 不等式ex－mxe（ln x＋1）≥[f（x）－x3－3x2＋e]xe对任意x∈（1，＋ ∞）恒成立，则（　　） A. a＝3 B. b＝2 C. m的值可能是－e D. m的值不可能是－ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 解析： 　由题意可得f（－1）＝－1＋a－1＋b＝2，因为f'（x）＝ 3x2＋2ax＋1，所以f″（x）＝6x＋2a，所以f″（－1）＝－6＋2a＝0， 解得a＝3，b＝1，故f（x）＝x3＋3x2＋x＋1.因为x＞1，所以ex－mxe （ln x＋1）≥[f（x）－x3－3x2＋e]xe等价于m≤ .又x－eex ＝ ≥x－eln x＋1（当且仅当x＝e时，等号成立），从而 ≥ ＝－e，故m≤－e.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 6. 已知实数a，b，c满足ea＋c＋e2b－c－1≤a＋2b＋1（e为自然对数的底 数），则a2＋b2的最小值是 ⁠. 解析：∵ex≥x＋1，∴ea＋c≥a＋c＋1，e2b－c－1≥2b－c－1＋1，∴ea＋ c＋e2b－c－1≥（a＋c＋1）＋（2b－c－1＋1）＝a＋2b＋1，又∵ea＋c＋ e2b－c－1≤a＋2b＋1，∴ea＋c＋e2b－c－1＝a＋2b＋1，当且仅当a＋c＝ 0，2b－c－1＝0时成立，∴a2＋b2＝（－c）2＋（ ）2＝ c2＋ ＋ ， ∴（a2＋b2）min＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 7. 已知对任意的x＞0，不等式xex－ln x－ax≥1恒成立，则实数a的取值 范围为 ⁠. 解析：因为xex＝ex＋ln x≥ln x＋x＋1，当且仅当ln x＋x＝0时，“＝”成 立，所以不等式xex－ln x－ax≥1恒成立转化为xex≥ln x＋x＋1≥ln x＋ ax＋1对任意的x＞0恒成立，解得a≤1. （－∞，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 8. 已知函数f（x）＝ex－ln（x＋2），求证：f（x）＞0. 证明：要证f（x）＞0，即证ex－ln（x＋2）＞0， 由ex≥x＋1（证明略），　① 即证x＋1－ln（x＋2）≥0， 令h（x）＝x＋1－ln（x＋2）， 则h'（x）＝1－ ＝ （x＞－2）， 易知h（x）在（－2，－1）上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递增， ∴h（x）≥h（－1）＝0，即x＋1－ln（x＋2）≥0（当且仅当x＝－1 时，等号成立）.　② ∵①和②中的等号不同时成立， ∴由①和②得ex－ln（x＋2）＞0，即f（x）＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 9. 设函数f（x）＝ln x－x＋1. （1）讨论f（x）的单调性； 解： 依题意，f（x）的定义域为（0，＋∞）. f'（x）＝ －1，令f'（x）＝0，得x＝1. 所以当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 （2）证明：当x∈（1，＋∞）时，1＜ ＜x. 解： 证明：由（1）知f（x）在x＝1时取得最大值，且最大值f （1）＝0， 所以当x≠1时，ln x＜x－1. 故当x∈（1，＋∞）时， ＞1，将 代入ln x＜x－1，得ln ＜ －1， 即－ln x＜ －1⇔ln x＞1－ ⇔ln x＞ ⇔x＞ ， 故当x∈（1，＋∞）时恒有1＜ ＜x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 10. 已知函数f（x）＝ex－a. （1）若函数f（x）的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值； 解： f'（x）＝ex，∵函数f（x）的图象与直线y＝x－1相切， ∴令f'（x）＝1，即ex＝1，得x＝0， ∴切点坐标为（0，－1），则f（0）＝1－a＝－1，∴a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 （2）若f（x）－ln x＞0恒成立，求整数a的最大值. 解：先证明ex≥x＋1，设F（x）＝ex－x－1， 则F'（x）＝ex－1，令F'（x）＝0，则x＝0， 当x∈（0，＋∞）时，F'（x）＞0；当x∈（－∞，0）时，F'（x）＜0. ∴F（x）在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减， ∴F（x）min＝F（0）＝0，即F（x）≥0恒成立. ∴ex≥x＋1，从而ex－2≥x－1（x＝0时取等号）. 又ln x≤x－1（当x＝1时，等号成立）.∴ex－2＞ln x. 当a≤2时，ln x＜ex－2≤ex－a，f（x）－ln x＞0恒成立； 当a＞2时，存在x，使ex－a＜ln x，即ex－a＞ln x不恒成立. 综上，整数a的最大值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 THANKS 演示完毕 感谢观看 $