第5章 培优课 利用导数研究不等式 能力提升（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦利用导数研究不等式，通过例题解析（如证明f(x)=eˣ-e(lnx+1)≥0）、规律方法总结（构造函数研究单调性）、训练题巩固（如证x³-3lnx≤x³+2/x-3），搭建从导数应用到不等式问题的学习支架，衔接单调性与最值知识。 其亮点在于突出逻辑推理与数学运算素养，通过“例题示范-方法提炼-检测反馈”闭环，如恒成立问题转化为求函数最值，培养学生转化思想。资料含随堂检测和课时作业，学生能掌握解题策略，教师可直接用于培优教学提升效率。

培优课　利用导数研究不等式 能力提升 1 1.会利用导数证明不等式（逻辑推理、数学运算）. 2.利用导数研究恒成立问题（逻辑推理、数学运算）. 重点解读 一、利用导数证明不等式 【例1】　已知函数f（x）＝ex－e（ln x＋1），求证：f（x）≥0恒成立. 证明：由题意知f'（x）＝ex－ ＝ （x＞0）， 设F（x）＝xex－e（x＞0），则F（x）在（0，＋∞）上单调递增，且 F（1）＝0.当x∈（0，1）时，F（x）＜0， ∴f'（x）＝ ＜0，f（x）单调递减； 当x∈（1，＋∞）时，F（x）＞0， ∴f'（x）＝ ＞0，f（x）单调递增. ∴f（x）min＝f（1）＝0，∴f（x）≥0恒成立. 数学·选择性必修第二册 【规律方法】 证明不等式f（x）＞g（x），x∈（a，b）的方法 （1）将要证明的不等式f（x）＞g（x）移项可以转化为证明f（x）－g （x）＞0； （2）构造函数F（x）＝f（x）－g（x），研究F（x）的单调性； （3）若 '＞0，说明函数F（x）＝f（x）－g（x）在 （a，b）上是增函数，只需保证F（a）≥0； （4）若 '＜0，说明函数F（x）＝f（x）－g（x）在 （a，b）上是减函数，只需保证F（b）≥0. 数学·选择性必修第二册 训练1　已知函数f（x）＝x3－3ln x，g（x）＝x3＋ －3，证明：f （x）≤g（x）. 证明：因为f（x）＝x3－3ln x，g（x）＝x3＋ －3， 所以要证f（x）≤g（x），即证x3－3ln x≤x3＋ －3，即证ln x＋ － 1≥0， 令h（x）＝ln x＋ －1，x＞0， 则h'（x）＝ － ＝ ， 数学·选择性必修第二册 令h'（x）＜0，得0＜x＜1；令h'（x）＞0，得x＞1. 所以h（x）在 上单调递减，在 上单调递增，则h（x） ≥h ＝ln 1＋1－1＝0， 即ln x＋ －1≥0恒成立， 所以f（x）≤g（x）. 数学·选择性必修第二册 二、利用导数研究不等式恒成立问题 【例2】　已知函数f（x）＝ln x＋ax－a2x2（a＞0）.若f（x）＜0在定 义域内恒成立，求实数a的取值范围. 解：f（x）的定义域为（0，＋∞）， 令f'（x）＝ ＝0， 得x1＝－ （舍去），x2＝ ， 所以x，f'（x），f（x）的变化情况如下表， 数学·选择性必修第二册 x （0， ） ​ （ ，＋∞） f'（x） ＋ 0 － f（x） 单调递增 ln 单调递减 所以f（x）max＝f（ ）＝ln ＜0，所以a＞1. 所以a的取值范围是（1，＋∞）. 数学·选择性必修第二册 【规律方法】 由不等式恒成立求参数的取值范围的策略 （1）求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数最值的问题； （2）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f（x）max或a＜f （x）min的形式，通过导数的应用求出f（x）的最值，即得参数的取值 范围. 数学·选择性必修第二册 训练2　已知函数f（x）＝xln x，若对于所有x≥1都有f（x）≥ax－1， 求实数a的取值范围. 解：依题意，得f（x）≥ax－1在[1，＋∞）上恒成立，即不等式a≤ln x ＋ 在x∈[1，＋∞）上恒成立，亦即a≤ ，x∈[1，＋∞）. 设g（x）＝ln x＋ （x≥1），则g'（x）＝ － ＝ . 令g'（x）＝0，得x＝1. 当x≥1时，g'（x）≥0，故g（x）在[1，＋∞）上单调递增. 所以g（x）在[1，＋∞）上的最小值是g（1）＝1. 故a的取值范围是（－∞，1]. 数学·选择性必修第二册 1. 已知函数f（x）＝ x4－2x3＋3m，x∈R，若f（x）＋9≥0恒成立， 则m的取值范围是（　　） A. m≥ B. m＞ C. m≤ D. m＜ √ 数学·选择性必修第二册 解析：　f'（x）＝2x3－6x2＝2x2（x－3），令f'（x）＝0得x＝0或x＝ 3，验证可知x＝3是函数的最小值点，故f（x）min＝f（3）＝3m－ ， 由f（x）＋9≥0恒成立得f（x）≥－9恒成立，即3m－ ≥－9，所以 m≥ . 数学·选择性必修第二册 2. 若不等式ax2≥ln x恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A. ［ ，＋∞） B. （ ，＋∞） C. （－∞， ］ D. （－∞， ） 解析：　由题设知，a≥ 恒成立，令f（x）＝ 且x＞0，则f'（x） ＝ ＝ ，∴当0＜x＜ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x＞ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.∴f（x）≤f（ ）＝ ， 故a≥ . √ 数学·选择性必修第二册 3. 当x＞0时，证明：不等式ln（x＋1）＞x－ x2. 证明：设f（x）＝ln（x＋1）－x＋ x2， 则f'（x）＝ －1＋x＝ . 当x∈（－1，＋∞）时，f'（x）＞0， 所以f（x）在（－1，＋∞）上是增函数. 于是当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0， 所以当x＞0时，不等式ln（x＋1）＞x－ x2成立. 数学·选择性必修第二册 课堂小结 1. 理清单 （1）利用导数证明不等式； （2）利用导数研究不等式恒成立问题. 2. 应体会 利用导数证明不等式及解决不等式的恒成立问题应用了转化与化归、分类 讨论思想. 3. 避易错 不能正确的将问题转化为函数的单调性问题或者最值问题来解决. 数学·选择性必修第二册 课时作业 1. 若x∈ ，则下列不等式一定成立的是（　　） A. ln x2＞ln x B. 2x≥x2 C. x2＞x D. x＞ sin x 解析：　A选项，当x＝1时，ln x2＝ln x＝ln 1＝0，所以A选项错 误.B选项，当x＝3时，23＝8，32＝9，23＜32，所以B选项错误.C选 项，当x＝1时，x2＝x＝1，所以C选项错误.D选项，构造函数f（x）＝ x－ sin x ，f'（x）＝1－ cos x≥0，f（x）在区间（0，＋∞） 上单调递增，f ＝0，所以当x＞0时，f（x）＞0，所以x＞ sin x，所 以D选项正确.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 2. 若对任意的实数x＞0，xln x－x－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是 （　　） A. （－∞，－1] B. （－∞，1] C. [－1，＋∞） D. [1，＋∞） 解析：　令f（x）＝xln x－x－a，x∈（0，＋∞），则f'（x）＝ln x，令f'（x）＝0⇒x＝1，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x） ＞0.所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递 增，所以f（x）min＝f（1）＝－1－a，由对任意的实数x＞0，xln x－x －a≥0恒成立，所以f（x）min＝－1－a≥0⇒a≤－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 3. 已知函数f（x）＝ －ln x－1，若f（x）≤0，则a的取值范围是 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 解析：　f（x）≤0等价于2a≤x ，令h（x）＝x ， 则h'（x）＝ln x＋2，当x∈ 时，h'（x）＜0，h（x）单调递减； 当x∈ 时，h'（x）＞0，h（x）单调递增.所以h（x）min＝ h ＝－ ，所以只需2a≤h（x）min＝－ ，即a≤－ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 4. 已知f（x）＝mex－x－1，若∃x0∈ ，使f（x0）＞0，则实数 m的取值范围为（　　） A. （0，＋∞） B. C. （1，＋∞） D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 解析：　依题意可得不等式m＞ 在 内有解，设g（x）＝ ，x∈ ，则g'（x）＝ ＝－ ，令g'（x）＜0，得0 ＜x≤1，令g'（x）＞0，得－1≤x＜0，所以g（x）在[－1，0）上单调 递增，在（0，1]上单调递减，因为g（－1）＝0，g（1）＝ ，所以g （x）min＝g（－1）＝0，所以m＞0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 5. 〔多选〕已知函数f（x）＝－x2ln x，则（　　） A. f（x）≤0恒成立 B. f（x）在（0，＋∞）上单调递减 C. f（x）在x＝ 处得到极大值 D. f（x）只有一个零点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 解析： 　因为f（x）＝－x2ln x，该函数的定义域为（0，＋∞），f' （x）＝－2xln x－x＝－x（2ln x＋1）.当0＜x＜ 时，f'（x）＞0， 此时函数f（x）单调递增，当x＞ 时，f'（x）＜0，此时函数f（x） 单调递减，所以f（x）极大值＝f（ ）＝－e－1ln ＝ ，故B选项错 误，C选项正确；当0＜x＜1时，ln x＜0，此时f（x）＝－x2ln x＞0， 故A选项错误；由f（x）＝－x2ln x＝0，可得ln x＝0，解得x＝1，故D 选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 6. 〔多选〕已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f' （x）.若f ＝5，且f（x）－f'（x）＞2，则使不等式f（x）≤3ex＋2 成立的x的值可能为（　　） A. －2 B. 1 C. － D. 2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 解析： 　由题意，设F（x）＝ ，x∈R，则F'（x）＝ ，∵f（x）－f'（x）＞2，∴f'（x）－f（x）＋2＜0， ∴F'（x）＜0，即F（x）在定义域R上单调递减.∵f ＝5，∴F ＝ 3，∴不等式f（x）≤3ex＋2等价于 ≤3，即F（x）≤F ，解 得x≥0，结合选项可知，只有B、D符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 7. 设函数h（t）＝－t3＋t－1.若h（t）＜－2t＋m对t∈（0，2）恒成 立，则实数m的取值范围为 ⁠. 解析：令g（t）＝h（t）－（－2t＋m）＝－t3＋3t－1－m，由g'（t） ＝－3t2＋3＝－3（t2－1）＝0，得t＝1或t＝－1（不合题意，舍去）.当t 变化时，g'（t），g（t）的变化情况如下表： t （0，1） 1 （1，2） g'（t） ＋ 0 － g（t） 单调递增 1－m 单调递减 （1，＋∞） 所以g（t）在（0，2）内有最大值g（1）＝1－m.h（t）＜－2t＋m在 （0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，即等价于1－m ＜0，所以m＞1.所以实数m的取值范围为（1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 8. 已知函数f（x）＝aex－2x＋1.若f（x）＞0对x∈R恒成立，求实数a 的取值范围. 解：f（x）＞0对x∈R恒成立， 即为a＞ 对任意x∈R恒成立， 设g（x）＝ ，则a＞g（x）max， g'（x）＝ ＝ ， 令g'（x）＝0，解得x＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 当x＞ 时，g'（x）＜0，当x＜ 时，g'（x）＞0， 故函数g（x）在（－∞， ）上单调递增，在（ ，＋∞）上单调递减， ∴g（x）max＝g（ ）＝ ＝2 ， 故实数a的取值范围为（2 ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 9. 已知a∈R，f（x）＝（a＋x）ex在[－3，＋∞）上单调递增. （1）求实数a的最小值； 解： 由题意可得f'（x）＝（x＋a＋1）ex≥0在[－3，＋∞）上恒 成立， 所以x＋a＋1≥0在x∈[－3，＋∞）上恒成立，所以－3＋a＋1≥0，解 得a≥2. 故实数a的最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 （2）当实数a取最小值时，若存在x使不等式f（x）－ke2x≥0成立，求 实数k的取值范围. 解：当a＝2时，存在x使不等式f（x）－ke2x≥0，即ex（x＋2－ kex）≥0成立，又ex＞0，所以存在x使不等式x＋2－kex≥0成立，即存 在x使不等式k≤ 成立. 不妨令g（x）＝ ，则问题转化为k≤g（x）max， g'（x）＝－ ，令g'（x）＞0，得x＜－1，令g'（x）＜0，得x＞－1， 所以g（x）在区间（－∞，－1）上单调递增，在（－1，＋∞）上单调 递减，从而g（x）的最大值为g（－1）＝e，即k≤e， 故实数k的取值范围为（－∞，e]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 10. 已知函数f（x）＝ln x－ax，a∈R. （1）讨论y＝f（x）的单调性； 解： 函数f（x）＝ln x－ax中，x＞0，求导得f'（x）＝ －a， 当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，x∈ 时，f'（x）＞0，x∈ 时，f'（x）＜0， 函数f（x）在 上单调递增，在 上单调递减. 综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； 当a＞0时，函数f（x）在 上单调递增，在 上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 （2）当a＞0时，求证：f（x）≤ －2. 解： 证明：由（1）知，当a＞0时， f（x）max＝f ＝ln －1， 设g（x）＝ln x－x＋1，x＞0， 求导得g'（x）＝ －1， 当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＜0， 所以函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，g （x）≤g（1）＝0， 因此ln x－x＋1≤0⇔ln x≤x－1⇔ln x－1≤x－2，则ln －1≤ －2， 所以f（x）≤ －2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学·选择性必修第二册 THANKS 演示完毕 感谢观看 $