5.3.2 第2课时 函数的最大（小）值（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数最值，涵盖概念、求法及参数问题。通过“群山山峰峡谷”情境导入，衔接上节课极值知识，搭建从极值到最值的认知支架，引导学生建立知识联系。 亮点在于融合数学眼光（图象观察极值与最值关系）、数学思维（含参问题分类讨论）、数学语言（表格分析单调性），如例2用表格清晰呈现解题步骤。助力学生发展运算能力与推理意识，教师可通过分层训练提升教学效果。

第二课时　函数的最大（小）值 1 1.理解函数最值的概念，会求某闭区间上函数的最值（数学抽象、数学运算）. 2.能利用导数求简单的含参数的函数的最值问题（数学运算）. 3.能根据最值求参数的值或取值范围（数学运算）. 课标要求 　　同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受 了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓 要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯 视一切的雄心和气魄，拿出“会当凌绝顶，一览 众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸 怀，更要有“上九天揽月，下五洋捉鳖”的勇气，这就是我们今天要探究的函数的最值. 情境导入 知识点一　极值与最值的关系 01 知识点二　求函数的最值 02 课时作业 03 目录 4 知识点一 极值与最值的关系 01 PART 目 录 问题　如图为y＝f（x），x∈[a，b]的图象. （1）观察[a，b]上函数y＝f（x）的图象，你能找出它的极大值、极小 值吗？ 提示：极大值为f（x1），f（x3），极小值为f（x2），f（x4）. （2）结合图象判断，函数y＝f（x）在区间[a，b]上是否存在最大值， 最小值？若存在，分别为多少？ 提示：存在，f（x）min＝f（a），f（x）max＝f（x3）. 数学·选择性必修第二册 目 录 （3）结合图象，你认为函数y＝f（x）在[a，b]上的最值与极值有什么 关系？ 提示：函数的最值是函数的极值或函数y＝f（x）在[a，b]端点处的函 数值. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 函数最值的定义 （1）一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不 断的曲线，那么它必有 和 ⁠； 最大值　 最小值　 （2）对于函数f（x），给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f （x）≥f（x0），则称f（x0）为函数f（x）在区间I上的最小值；若对 任意x∈I，存在x0∈I，使得f（x）≤f（x0），则称f（x0）为函数f （x）在区间I上的最大值. 数学·选择性必修第二册 目 录 　　提醒：函数的极值与最值的区别与联系：（1）极值是对某一点附近 （局部）而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言；（2）在函数 的定义区间[a，b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大 （小）值只有一个；（3）函数f（x）的极值点不能是区间的端点，而最 值点可以是区间的端点；（4）对于在闭区间如图象连续不断的函数，函 数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得. 数学·选择性必修第二册 目 录 【例1】　如图是函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象，写出函数的极 大值、极小值、最大值和最小值. 解：由题图可知，y＝f（x）在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大 值，所以极小值为f（x1），f（x3），极大值为f（x2）；比较极值和端点 值可知函数的最小值是f（x3），最大值在b处取得，最大值为f（b）. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 正确理解极值与最值的关系是解题的关键. 2. 一般情况下，唯一的极值应该也是最值，在（a，b）内，若f（x0）为 极小值，则其为最小值；若f（x0）为极大值，则其为最大值. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练1　（1）设f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可 导，则下列结论中正确的是（　C　） A. f（x）的极值点一定是最值点 B. f（x）的最值点一定是极值点 C. f（x）在区间[a，b]上可能没有极值点 D. f（x）在区间[a，b]上可能没有最值点 解析：根据函数的极值与最值的概念知，f（x）的极值点不一定是最值 点，最值点不一定是极值点.连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以 选项A、B、D都不正确；若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则函数f （x）在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确. C 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）〔多选〕如图所示，函数f（x）导函数的图象是一条直线，则 （　BC　） A. 函数f（x）有最大值 B. 函数f（x）没有最大值 C. 函数f（x）有最小值 D. 函数f（x）没有最小值 BC 解析：由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小 值，没有最大值. 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点二 求函数的最值 02 PART 目 录 角度1　求不含参数的函数的最值 【例2】　 （链接教材P93例6）求下列函数的最值： （1）f（x）＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]； 解： f'（x）＝6x2－12x＝6x（x－2）. 令f'（x）＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示： x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2 （2，4） 4 f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） －37 单调递增 极大 值3 单调递减 极小值 －5 单调递增 35 ∴当x＝4时，f（x）取得最大值35； 当x＝－2时，f（x）取得最小值－37. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）f（x）＝ . 解：f（x）＝ 的定义域为R. f'（x）＝ ＝ ， 当f'（x）＝0时，x＝2.当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示. x （－∞，2） 2 （2，＋∞） f'（x） ＋ 0 － f（x） 单调递增 ​ 单调递减 ∴f（x）在（－∞，2）上单调递增，在（2，＋∞）上单调递减， ∴f（x）无最小值，且当x＝2时，f（x）max＝f（2）＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 求不含参数的函数的最值的步骤 （1）确定函数的定义域，对函数进行求导，并检验f'（x）＝0的根是否在 给定区间内； （2）判断函数的单调性，研究函数的极值； （3）比较函数的极值与端点函数值的大小，确定函数的最大值或最小值. 数学·选择性必修第二册 目 录 角度2　求含参数的函数的最值 【例3】　若a＞0，求函数f（x）＝－x3＋3ax（0≤x≤1）的最大值. 解：f'（x）＝－3x2＋3a＝－3（x2－a）. 因为a＞0，则令f'（x）＝0，解得x＝± . 因为x∈[0，1]，所以只考虑x＝ 的情况. （1）若0＜ ＜1，即0＜a＜1，则当x变化时，f'（x），f（x）的变化 情况如下表： x 0 （0， ） ​ （ ，1） 1 f'（x） ＋ 0 － f（x） 0 单调递增 2a 单调递减 3a－1 由表可知，当x＝ 时，f（x）有最大值f（ ）＝2a . 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）若 ≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f'（x）≥0，此时函数f（x） 在[0，1]上单调递增，所以当x＝1时，f（x）有最大值f（1）＝3a－1. 综上可知，在区间[0，1]上， 若0＜a＜1，则x＝ 时，f（x）有最大值2a ； 若a≥1，则x＝1时，f（x）有最大值3a－1. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 求含参函数的最值的步骤 （1）求函数的导函数f'（x）； （2）求方程f'（x）＝0的全部实根，同时根据参数的范围，判断f'（x）＝ 0的根是否在区间 内； （3）根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值； （4）将函数的极值与端点处的函数值进行比较，得到函数的最大值、最 小值. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练2　（1）函数y＝x－ sin x，x∈［ ，π］的最大值是（　　） A. π－1 B. －1 C. π D. π＋1 解析：y'＝1－ cos x，当x∈［ ，π］时，y'＞0，则函数在区间［ ， π］上单调递增，所以ymax＝π－ sin π＝π，故选C. C　 数学·选择性必修第二册 目 录 ①当a＞0时，f（x）在[0，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增. 所以f（x）min＝f（a）＝－a3. （2）已知函数f（x）＝x3－ax2－a2x，求函数f（x）在[0，＋∞）上的 最小值. 解：f'（x）＝3x2－2ax－a2＝（3x＋a）（x－a）， 令f'（x）＝0，得x1＝－ ，x2＝a. ②当a＝0时，f'（x）＝3x2≥0， f（x）在[0，＋∞）上单调递增， 所以f（x）min＝f（0）＝0. 数学·选择性必修第二册 目 录 ③当a＜0时，f（x）在［0，－ ）上单调递减，在［－ ，＋∞）上单 调递增. 所以f（x）min＝f（－ ）＝ a3. 综上所述，当a＞0时，f（x）的最小值为－a3； 当a＝0时，f（x）的最小值为0； 当a＜0时，f（x）的最小值为 a3. 数学·选择性必修第二册 目 录 提能点｜由函数的最值求参数 【例4】　（1）函数f（x）＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是 3，则a＝（　B　） A. 3 B. 1 C. 2 D. －1 解析： f'（x）＝3x2－2x－1，令f'（x）＝0，解得x＝－ （舍去）或x＝ 1，又f（0）＝a，f（1）＝a－1，f（2）＝a＋2，则f（2）最大，即a ＋2＝3，所以a＝1. B 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）已知函数f（x）＝ln x－ax存在最大值0，则a＝ ⁠. 解析：∵f'（x）＝ －a，x＞0，∴当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，故函 数f（x）是增函数，不存在最大值；当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ ，∴当x∈（0， ）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈ （ ，＋∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）max＝f （ ）＝ln －1＝0，解得a＝ . ​ 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思 维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值，根 据已知最值列方程（不等式）解决问题. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练3　（1）设函数f（x）＝ x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f （x）＞m恒成立，则实数m的取值范围是 ⁠； 解析： f'（x）＝xex＋ x2ex＝ ·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝0 或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2 f'（x） 0 － 0 ＋ f（x） ​ 单调递减 0 单调递增 2e2 （－∞，0） ∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2，2]恒 成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）已知函数h（x）＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k，2]上的最大值是28， 则实数k的取值范围为 ⁠. 解析：∵h（x）＝x3＋3x2－9x＋1，∴h'（x）＝3x2＋6x－9.令h'（x） ＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如 下表： x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞） h'（x） ＋ 0 － 0 ＋ h（x） 单调递增 28 单调递减 －4 单调递增 （－∞，－3] ∴当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.而h（2）＝3＜h （－3）＝28，如果h（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤－3.∴k 的取值范围为（－∞，－3]. 数学·选择性必修第二册 目 录 1. 下列结论正确的是（　　） A. 若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B. 若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C. 若f（x）在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得 D. 若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定存在最大值和最小值 解析：　函数f（x）在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是 极值，极值一定不会在端点处取得，而连续函数在[a，b]上一定存在最大 值和最小值. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 设函数f（x）＝ ，x∈[1，4]，则f（x）的最大值为 　​ 　，最小 值为 ⁠. 解析：由f（x）＝ 得f'（x）＝ ，令f'（x）＞0，则1－ln x＞0，解 得0＜x＜e；令f'（x）＜0，则1－ln x＜0，解得x＞e.∴函数f（x）在 [1，e]上单调递增，在[e，4]上单调递减，且f（1）＝0，f（4）＝ ＞ 0，∴f（x）的最大值为f（e）＝ ＝ ，f（x）的最小值为f（1）＝0. ​ 0 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 若函数f（x）＝x3＋ x2＋m在[－2，1]上的最大值为 ，则m ＝ ⁠. 解析：f'（x）＝3x2＋3x＝3x（x＋1），令f'（x）＝0，得x＝0或x＝－ 1，∵f（－2）＝m－2，f（－1）＝m＋ ，f（0）＝m，f（1）＝m＋ ，比较知f（1）最大，∴m＋ ＝ ，m＝2. 2 数学·选择性必修第二册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）极值与最值的关系； （2）求函数的最值； （3）根据最值求参数的值（范围）. 2. 应体会 求含参数的函数的最值时注意分类讨论思想的应用. 3. 避易错 分类讨论解决含参的问题时要做到不重不漏. 数学·选择性必修第二册 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 设M，m分别是函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝ m，则f'（x）（　　） A. 等于0 B. 小于0 C. 等于1 D. 不确定 解析：　因为M＝m，所以f（x）为常数函数，故f'（x）＝0，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 函数f（x）＝x3－3x（｜x｜＜1）（　　） A. 有最大值，但无最小值 B. 有最大值，也有最小值 C. 无最大值，但有最小值 D. 既无最大值，也无最小值 解析：　f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当x∈（－1，1） 时，f'（x）＜0，所以f（x）在（－1，1）上是减函数，无最大值和最小 值，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 函数f（x）＝x＋2 cos x在区间 上的最小值是（　　） A. － B. 2 解析：　f'（x）＝1－2 sin x，因为x∈ ，所以 sin x∈[－1， 0]，所以－2 sin x∈[0，2].所以f'（x）＝1－2 sin x＞0在 上恒成 立，所以f（x）在 上单调递增.所以f（x）min＝f（－ ）＝－ ＋2 cos ＝－ . C. ＋ D. ＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 若函数f（x）＝－x3＋mx2＋1（m≠0）在区间（0，2）内的极大值为 最大值，则m的取值范围是（　　） A. （0，3） B. （－3，0） C. （－∞，－3） D. （3，＋∞） 解析：　由题得f'（x）＝－3x2＋2mx，令f'（x）＝0，得x＝ 或x＝ 0，因为f（x）在区间（0，2）上的极大值为最大值，所以0＜ ＜2，所 以0＜m＜3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 5. 已知f（x）＝ x3－x2＋a，g（x）＝x2－3x，定义域均为[1，＋ ∞），并且f（x）的图象始终在g（x）图象的上方，则实数a的取值范 围是（　　） A. （0，＋∞） B. （－∞，0） C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：　设h（x）＝f（x）－g（x）＝ x3－x2＋a－x2＋3x，则h' （x）＝x2－4x＋3＝（x－3）（x－1），所以当x∈[1，3）时，h（x） 单调递减；当x∈（3，＋∞）时，h（x）单调递增.当x＝3时，h（x） 取得极小值也是最小值.因为f（x）的图象始终在g（x）的图象上方，所 以h（x）min＞0，即h（3）＝a＞0，所以a的取值范围是（0，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 6. 〔多选〕若函数f（x）＝2x3－ax2（a＜0）在 上有最大值， 则a的取值可能为（　　） A. －6 B. －5 C. －4 D. －3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析： 　令f'（x）＝2x（3x－a）＝0，得x1＝0，x2＝ （a＜0）， 当 ＜x＜0时，f'（x）＜0；当x＜ 或x＞0时，f'（x）＞0，则f（x）的 增区间为 ，（0，＋∞），减区间为 ， 从而f（x）在x ＝ 处取得极大值f ＝－ ，由f（x）＝－ ，得 ＝ 0，解得x＝ 或x＝－ ，又f（x）在 上有最大值，所以 ＜ ≤－ ，即a≤－4，故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 7. 〔多选〕已知函数f（x）＝xln x，则（　　） A. f（x）的单调递增区间为（e，＋∞） B. f（x）在（0， ）上单调递减 C. 当x∈（0，1]时，f（x）有最小值－ D. f（x）在定义域内无极值 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析： 　因为f'（x）＝ln x＋1（x＞0）.令f'（x）＝0，解得x＝ .当 x∈（0， ）时，f'（x）＜0；当x∈（ ，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f （x）在（0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，x＝ 是极小 值点，所以A错误，B正确；当x∈（0，1]时，根据单调性可知，f（x） min＝f（ ）＝－ ，故C正确；显然f（x）有极小值f（ ），故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 8. （2025·南京质检）若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大 值、最小值分别为m，n，则m－n＝ ⁠. 解析：∵f'（x）＝3x2－3，∴当x∈[1，3]时，f'（x）≥0；当x∈[0，1] 时，f'（x）≤0.∴f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递 增.∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f（0）＝－a，f （3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）.∴f（x）max＝f（3）＝18－a＝m， ∴m－n＝18－a－（－2－a）＝20. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 9. 当x＞1时，kx＞ln x＋4x恒成立，则整数k的最小值为 ⁠. 解析：由题意得，k＞ ＋4在（1，＋∞）上恒成立，设g（x）＝ ＋ 4，x∈（1，＋∞），则k＞g（x）max，g'（x）＝ ，当x∈（1， e）时，g'（x）＞0，当x∈（e，＋∞）时，g'（x） ＜0，所以g（x）在 （1，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，g（x）max＝g（e）＝ ＋4∈（4，5），所以整数k≥5，则整数k的最小值为5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 10. 已知函数f（x）＝2x＋1－4ln x. （1）求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程； 解：因为f（x）＝2x＋1－4ln x，x＞0， 所以f'（x）＝2－ ，所以f（1）＝3，f'（1）＝－2. 所以f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y－3＝－2（x－ 1），即2x＋y－5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值. 解： 由（1）知f'（x）＝2－ ＝ ，x∈[1，3]， 令f'（x）＞0，则2＜x≤3；令f'（x）＜0，则1≤x＜2. 所以f（x）在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增.所以f（x）min ＝f（2）＝5－4ln 2， 又f（1）＝3，f（3）＝7－4ln 3，f（1）－f（3）＝4（ln 3－1）＞0，所 以f（x）max＝3. 所以f（x）在[1，3]上的最大值与最小值分别为3与5－4ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 11. 已知函数f（x）＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2都 有｜f（x1）－f（x2）｜≤t，则实数t的最小值是（　　） A. 20 B. 18 解析：　因为f'（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1），x∈[－3，2]， 所以f（x）在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增.f （－3）＝－19，f（－1）＝1，f（1）＝－3，f（2）＝1，所以在区间 [－3，2]上，f（x）max＝1，f（x）min＝－19，又在[－3，2]上｜f （x1）－f（x2）｜≤f（x）max－f（x）min＝20，所以t≥20，故选A. C. 3 D. 0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 12. 已知直线x＝t分别与函数f（x）＝ex＋x和g（x）＝3x－1的图象交 于点A，B，则｜AB｜的最小值为（　　） A. ln 2 B. 2ln 2 解析：　当x＝t时，｜AB｜＝｜f（t）－g（t）｜＝｜et＋t－3t＋1｜ ＝｜et－2t＋1｜.令h（t）＝et－2t＋1，则h'（t）＝et－2.令h'（t）＝ 0，得t＝ln 2，当t ＜ln 2时，h'（t）＜0，当t＞ln 2时，h'（t）＞0， ∴h（t）在（－∞，ln 2）上单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递 增，则h（t）min＝h（ln 2）＝3－2ln 2＞0，∴｜AB｜的最小值为3－ 2ln 2. √ C. 2－ln 2 D. 3－2ln 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 13. 已知函数f（x）＝ ，若函数在区间（a，a＋ ）（其中a＞0） 内存在最大值，则实数a的取值范围为 ⁠. 解析：由题意知函数f（x）＝ 的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝ － ，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f' （x）＜0，f（x）单调递减，即f（x）在区间（0，1）上单调递增，在 （1，＋∞）上单调递减，所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值，即为 最大值，因为函数f（x）在区间（a，a＋ ）（其中a＞0）内存在最大 值，所以 解得 ＜a＜1. （ ，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 14. 已知函数f（x）＝ ＋kln x，k＜ ，求函数f（x）在 上的 最大值和最小值. 解：f'（x）＝ ＋ ＝ . ①若k≤0，则在 上恒有f'（x）＜0， 所以f（x）在 上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 ②若0＜k＜ ，则f'（x）＝ ＝ ， 由k＜ ，得 ＞e，则x－ ＜0在 上恒成立， 所以 ＜0在 上恒成立，所以f（x）在 上单调递减. 综上，当k＜ 时，f（x）在 上单调递减， 所以f（x）min＝f（e）＝ ＋k－1， f（x）max＝f（ ）＝e－k－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 15. 已知函数f（x）＝（ax－2）ex在x＝1处取得极值. （1）求a的值； 解：f'（x）＝aex＋（ax－2）ex＝（ax＋a－2）ex. 由已知得f'（1）＝0，即（2a－2）e＝0， 解得a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）求函数f（x）在区间[m，m＋1]上的最小值. 解： 由（1）得f（x）＝（x－2）ex， 则f'（x）＝ex＋（x－2）ex＝（x－1）ex. 令f'（x）＝0，得x＝1， 当x∈（－∞，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. ①当m≥1时，f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，f（x）min＝f （m）＝（m－2）em； ②当0＜m＜1时，m＜1＜m＋1，f（x）在区间[m，1]上单调递减，在 [1，m＋1]上单调递增，f（x）min＝f（1）＝－e； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 ③当m≤0时，m＋1≤1，f（x）在区间[m，m＋1]上单调递减，f（x） min＝f（m＋1）＝（m－1）em＋1. 综上，f（x）在区间[m，m＋1]上的最小值为 f（x）min＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $