5.2.3 简单复合函数的导数（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦简单复合函数的导数，涵盖概念、求导法则及应用。课堂导入以笛卡尔名言引发思考，从基本初等函数过渡到复合函数，搭建新旧知识支架，帮助学生衔接已有导数知识。 其亮点在于通过问题链抽象概念，例题分层示范求导步骤，应用结合切线问题与实际情境（如潮水高度、放射性衰变）。体现数学抽象、数学运算和数学建模素养，助力学生理解本质提升能力，为教师提供系统教学资源。

5.2.3　简单复合函数的导数 1 1.了解复合函数的概念（数学抽象）. 2.掌握复合函数的求导法则，能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数（数学运算、数学建模）. 课标要求 　　法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”.我们学习了较简单的基本初等函数，还可以把两个或几个函数进行“复合”，怎样复合呢？那么，对于复合后的函数如何求导呢？我们是否也有简单的方法？ 情境导入 知识点一　复合函数的概念 01 知识点二　复合函数的导数 02 知识点三　复合函数求导的应用 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 复合函数的概念 01 PART 目 录 问题1　我们常说y＝ cos x为“余弦函数”，而y＝ cos 2x为“余弦型函 数”，那么y＝ cos 2x是由哪些初等函数构成的？ 提示：记u＝2x，则y＝ cos 2x可以看作余弦函数y＝ cos u和u＝2x两个 初等函数以一种“嵌套”的方式组成. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u， y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x） 的复合函数，记作y＝ ⁠. 　　提醒：复合函数中，把函数y＝f（u）称为外层函数，把u＝g（x） 称为内层函数，内层函数和外层函数通常为基本初等函数. f（g（x））　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例1】　〔多选〕下列哪些函数是复合函数（　　） A. y＝xln x B. y＝（3x＋6）2 C. y＝e sin x D. y＝ sin 解析：A不是复合函数；B、C、D都是复合函数. BCD 【规律方法】 若f（x）与g（x）均为基本初等函数，则函数y＝f（g（x））或函数y ＝g（f（x））均为复合函数，而f（x），g（x）不是复合函数. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练1　判断下列哪些函数是复合函数，并说明是如何复合的： （1）y＝log2（2x＋1）；（2）y＝2x2－ ； （3）y＝2ln x；（4）y＝ cos （3x－ ）. 解：（1）y＝log2（2x＋1）是复合函数，可以看作是由y＝log2u和u＝ 2x＋1复合而成的函数. （2）y＝2x2－ 不是复合函数. （3）y＝2ln x是复合函数，可以看作是由y＝2u和u＝ln x复合而成的函数. （4）y＝ cos （3x－ ）是复合函数，可以看作是由y＝ cos u和u＝3x－ 复合而成的函数. 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点二 复合函数的导数 02 PART 目 录 问题2　（1）我们知道y＝ sin 2x＝2 sin x cos x，利用导数的运算法则求y ＝ sin 2x的导数，求导结果是什么（以y'x表示y对x的导数）？ 提示：y＝ sin 2x＝2 sin x cos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y'x＝2 cos 2x－2 sin 2x＝2 cos 2x. （2）如果令y＝ sin u，u＝2x，则y＝ sin u和u＝2x导数分别是什么（以 y'u表示y对u的导数，u'x表示u对x的导数）？ 提示：y'u＝ cos u，u'x＝2. （3）比较（1）、（2）的运算结果，你能得到什么结论？ 提示：从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝ sin u，它的导数y'u＝ cos u，内层函数是u＝2x，它的导数是u'x＝2，发现y'x＝y'u·u'x. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 一般地，对于由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g （x）），它的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x ＝ .即y对x的导数等于 的导数与 ⁠的导数 的乘积. 　　提醒：（1）中间变量的选择应是基本初等函数的结构；（2）求导由 外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；（3）求每层函数 的导数时，注意分清是对哪个变量求导. y'u·u'x　 y对u　 u对x　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例2】　（链接教材P79例6）求下列函数的导数： （1）y＝ ；（2）y＝ cos （x2）； 解：（1）令u＝1－3x，则y＝ ＝u－4， 所以y'u＝－4u－5，u'x＝－3. 所以y'x＝y'u·u'x＝12u－5＝ . （2）令u＝x2，则y＝ cos u， 所以y'x＝y'u·u'x＝－ sin u·2x＝－2x sin （x2）. 数学·选择性必修第二册 目 录 解： （3）设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y'x＝y'u·u'x＝ ＝ . （4）设y＝eu，u＝3x＋2， 则y'x＝y'u·u'x＝（eu）'·（3x＋2）'＝3eu＝3e3x＋2. （3）y＝log2（2x＋1）；（4）y＝e3x＋2. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 求复合函数的导数的步骤 数学·选择性必修第二册 目 录 训练2　求下列函数的导数： （1）y＝ ； 解：（1）y＝ ，设y＝ ，u＝1－2x， 则y'x＝（ ）'·（1－2x）'＝ ·（－2） ＝（1－2x . 数学·选择性必修第二册 目 录 解： （2）设y＝10u，u＝2x＋3， 则y'x＝y'u·u'x＝（10u）'（2x＋3）'＝10uln 10×2＝2ln 10·102x＋3. （3）y'x＝（e－x）' sin 2x＋e－x·（ sin 2x）' ＝－e－x sin 2x＋2e－x cos 2x. （2）y＝102x＋3；（3）y＝e－x· sin 2x； 数学·选择性必修第二册 目 录 （5）因为y＝ sin 4x＋ cos 4x ＝（ sin 2x＋ cos 2x）2－2 sin 2x· cos 2x ＝1－ sin 22x＝1－ （1－ cos 4x）＝ ＋ cos 4x， 所以y'＝ '＝－ sin 4x. 解： （4）y'x＝ ＝ ＝ . （4）y＝ ；（5）y＝ sin 4x＋ cos 4x. 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点三 复合函数求导的应用 03 PART 目 录 【例3】　（1）已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相 切的直线方程为 ⁠； 解析：设切点坐标为（t，e2t）.∵f（x）＝e2x，∴f'（x）＝2e2x，∴f' （t）＝2e2t，∴曲线y＝f（x）在点（t，e2t）处的切线方程为y－e2t＝ 2e2t（x－t）.∵该直线过原点，∴－e2t＝－2te2t，解得t＝ ，∴过原点 且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为2ex－y＝0. 2ex－y＝0 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）（链接教材P80例7）某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关 系式s（t）＝3 sin （ t＋ ）（0≤t≤24），其中s的单位是m，t的单 位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义. 解：设f（x）＝3 sin x，x＝φ（t）＝ t＋ ， ∴s'（t）＝f'（x）·φ'（t）＝3（ cos x）· ＝ cos ， 将t＝18代入s'（t），得s'（18）＝ cos ＝ （m/h）. s'（18）表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 求解与复合函数有关的切线问题的两个关键 （1）正确求复合函数的导数，这是解题的前提条件，要注意把复合函数 逐层分解，求导时不要有遗漏； （2）求切线方程，注意切线所过的点是否为切点. 2. 将复合函数的求导与问题中的实际意义结合，函数在某点处的导数反映 了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练3　（1）（2025·江门月考）已知函数f（x）＝xex－a，曲线y＝f （x）在点（a，f（a））处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝ （　B　） A. －4 B. －2 C. 2 D. 4 解析：由题意得f'（x）＝（x＋1）ex－a，所以f'（a）＝a＋1＝3，所以a ＝2，所以f（x）＝xex－2，所以f（2）＝2e2－2＝2，所以切点为（2， 2），将（2，2）代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2. B 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航 天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰 变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系N （t）＝ N0，其中N0为t＝0时钍234的含量.已知t＝24时，钍234含量 的瞬时变化率为－8ln 2，则N（96）＝ 贝克. 24 解析：由N（t）＝ ·N0得N'（t）＝ ·N0×ln 2×（－ ），当 t＝24时，N'（24）＝ ·N0×ln 2×（－ ）＝－8ln 2，解得N0＝ 384，所以N（t）＝384× .当t＝96时，N（96）＝384× ＝ 384×2－4＝24. 数学·选择性必修第二册 目 录 1. 函数y＝ sin （2x－1）如果看成复合函数y＝f（φ（x）），下列式子 正确的是（　　） A. φ（x）＝2x B. φ（x）＝ sin x C. φ（x）＝2x－1 D. φ（x）＝ sin （2x－1） 解析：　y＝ sin （2x－1）是由函数y＝ sin u和u＝2x－1复合而成，可 见φ（x）＝2x－1. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 设f（x）＝ cos 2x－3x，则f'（ ）＝（　　） A. －5 B. －3 C. －4 D. － 解析：　f'（x）＝－2 sin 2x－3，f'（ ）＝－2 sin π－3＝－3. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是（　　） A. B. 2 C. 3 D. 0 解析：　设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y ＋3＝0平行.∵y'＝ ，∴y' ＝ ＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln （2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线2x－y＋3＝ 0的距离为d＝ ＝ ，即曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x －y＋3＝0的最短距离是 . √ 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 求下列函数的导数： （1）y＝（－2x＋1）2； 解： 设y＝u2，u＝－2x＋1， 则y'＝y'u·u'x＝2u·（－2）＝－4（－2x＋1）＝8x－4. （2）y＝23x＋2； 解： 设y＝2u，u＝3x＋2， 则y'＝y'u·u'x＝2uln 2·3＝3ln 2·23x＋2. （3）y＝ . 解： 设y＝ ，u＝5x＋4， 则y'＝y'u·u'x＝ ·5＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）复合函数的概念； （2）复合函数的求导法则； （3）复合函数的导数的应用. 2. 应体会 复合函数求导时要注意转化法、代入（代换）法的应用. 3. 避易错 求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求 导；计算结果复杂化. 数学·选择性必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 函数y＝（x2－1）n的复合过程正确的是（　　） A. y＝un，u＝x2－1 B. y＝（u－1）n，u＝x2 C. y＝tn，t＝（x2－1）n D. y＝（t－1）n，t＝x2－1 解析：　由复合函数求导法则知A正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 设f（x）＝ln（3x＋2）＋3x2，则f'（0）＝（　　） A. 1 B. C. －1 D. －2 解析：　f'（x）＝ ＋6x，故f'（0）＝ ＋0＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 设曲线y＝e2ax在点 处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a＝ （　　） A. － B. C. 1 D. －1 解析：　由y＝e2ax可得y'＝e2ax·（2ax）'＝2a·e2ax，所以在点 处的切线斜率为k＝y'｜x＝0＝2ae0＝2a，又因为切线与直线2x－y＋1＝0 垂直，即可得2a×2＝－1，因此a＝－ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断 减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量 M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系M（t）＝ 600· ，则铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为（　　） A. －10ln 2太贝克/年 B. 300ln 2太贝克/年 C. －300ln 2太贝克/年 D. 10ln 2太贝克/年 解析：　依题意，M（t）＝600· ，所以M'（t）＝－ ×600× ln 2＝－20× ln 2，所以铯137的含量M在t＝30时的瞬时 变化率为M'（30）＝－20×2－1ln 2＝－10ln 2（太贝克/年），故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 5. （2025·温州质检）对于三次函数y＝f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d （a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f' （x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为 函数y＝f（x）的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都 有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断函数f （x）＝ x3－ x2＋3x－ 的对称中心为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：　依题意，得f'（x）＝x2－x＋3，∴f″（x）＝2x－1，由f″ （x）＝0，即2x－1＝0，得x＝ ，又f ＝1，∴函数f（x）＝ x3－ x2＋3x－ 的对称中心为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 6. 〔多选〕下列结论中正确的是（　　） A. 若y＝ cos ，则y'＝－ sin B. 若y＝ sin x2，则y'＝2x cos x2 C. 若y＝ cos 5x，则y'＝－5 sin 5x D. 若y＝ x sin 2x，则y'＝x sin 2x 解析： 　对于A，y＝ cos ，则y'＝ sin ，故错误；对于B，y＝ sin x2，则y'＝2x cos x2，故正确；对于C，y＝ cos 5x，则y'＝－5 sin 5x，故正 确；对于D，y＝ x sin 2x，则y'＝ sin 2x＋x cos 2x，故错误.故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 7. 〔多选〕曲线y＝e2x cos 3x在点（0，1）处的切线与其平行直线l的距 离为 ，则直线l的方程可能为（　　） A. y＝2x＋6 B. y＝2x－4 C. y＝3x＋1 D. y＝3x－4 解析： 　y'＝e2x（2 cos 3x－3 sin 3x），∴y'｜x＝0＝2，则所求的切线 方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则 ＝ ，解得 b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 8. 设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据： x 1 2 3 4 f（x） 2 3 4 1 f'（x） 3 4 2 1 g（x） 3 1 4 2 g'（x） 2 4 1 3 则f（g（1））＝ ；函数f（g（x））在x＝1处的导数值是 ⁠. 解析：令h（x）＝f（g（x）），则h（1）＝f（g（1））＝f（3）＝ 4，h'（x）＝f'（g（x））·g'（x），所以h'（1）＝f'（g（1））·g' （1）＝f'（3）·g'（1）＝2×2＝4. 4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 9. 已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ，则x＞0 时，f（x）＝ ，f（1）＋f'（1）＝ ⁠. 解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ，∴令x＞ 0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－ ＝－f（x），∴f（x）＝－ex＋ ， x＞0.∴f'（x）＝－ex－ ，x＞0，∴f'（1）＝－e－1，f（1）＝－e＋ 1，∴f（1）＋f'（1）＝－e＋1－e－1＝－2e. －ex＋ －2e　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 10. 求下列函数的导数： （1）y＝102x＋3；（2）y＝ sin （－2x＋ ）； （3）y＝－2e3x sin 2x. 解：（1）原函数可以看作y＝10u和u＝2x＋3的复合函数，则y'x＝ y'u·u'x＝102x＋3×ln 10×2＝2ln 10·102x＋3. （2）原函数可以看作y＝ sin u和u＝－2x＋ 的复合函数，则y'x＝ y'u·u'x＝ cos u·（－2）＝－2 cos （－2x＋ ）＝－2 cos （2x－ ）. （3）原函数可以看作y＝－2u（x）·v（x），其中u（x）可以看作u ＝em和m＝3x的复合函数，v（x）可以看作v＝ sin p和p＝2x的复合函 数，则y'＝－2（3e3x sin 2x＋2e3x cos 2x）＝－2e3x（3 sin 2x＋2 cos 2x）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 11. （2025·湖州期末）曲线f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直 线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：　依题意得f'（x）＝e－2x·（－2）＝－2e－ 2x，f'（0）＝－2e－2×0＝－2.所以曲线f（x）＝e－2x＋1 在点（0，2）处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x ＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0 与y＝x的图象，如图所示.易求得直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是（ ， ），直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是（1，0），所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为 ×1× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 12. 〔多选〕设函数f（x）＝ cos （ x＋φ）（0＜φ＜2π），若f（x） ＋f'（x）是奇函数，则φ的可能取值为（　　） A. B. 解析： f'（x）＝－ sin （ x＋φ），f（x）＋f'（x）＝ cos （ x＋φ）－ sin （ x＋φ）＝2 sin （ x＋φ＋ ）.若f（x）＋f' （x）为奇函数，则f（0）＋f'（0）＝0，即0＝2 sin ，因此φ＋ ＝kπ（k∈Z）.又因为φ∈（0，2π），所以φ＝ 或φ＝ . C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 13. 已知点P在曲线y＝ 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α 的取值范围为 ⁠. 解析：因为y＝ ，所以y'＝ ＝ ＝ .因为ex＞ 0，所以ex＋ ≥2（当且仅当x＝0时取等号），所以y'∈[－1，0），所以 tan α∈[－1，0）.又因为α∈[0，π），所以α∈ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 14. （1）已知f（x）＝eπx sin πx，求f'（x）及f' ； 解： ∵f（x）＝eπx sin πx， ∴f'（x）＝πeπx sin πx＋πeπx cos πx ＝πeπx（ sin πx＋ cos πx）. ∴f' ＝π ＝π . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）在曲线g（x）＝ 上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求 切线方程. 解： 设切点坐标为P（x0，y0）， 由题意可知g'（x0）＝0.又g'（x）＝ ， ∴g'（x0）＝ ＝0. 解得x0＝0，此时y0＝1. 即该点的坐标为P（0，1），切线方程为y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 15. （1）已知函数f（x）在R上满足f（x）＝2f（2－x）－x2＋8x－8， 求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； 解：法一　f'（x）＝2f'（2－x）（2－x）'－2x＋8＝－2f'（2－x） －2x＋8，则f'（1）＝－2f'（1）－2＋8，得f'（1）＝2. 又f（1）＝2f（1）－1＋8－8，得f（1）＝1， 故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－1＝2（x－1）， 即y＝2x－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 法二　∵f（x）＝2f（2－x）－x2＋8x－8，　　① ∴f（2－x）＝2f（x）－（2－x）2＋8（2－x）－8. ② 把②代入①得f（x）＝x2， ∴f（1）＝1，f'（x）＝2x， ∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝f'（1）＝2， 故所求切线方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解：由y＝ex＋x得y'＝ex＋1， 当x＝0时，y'＝e0＋1＝2， 故曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1. 由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝ ， 设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a）， 由两曲线有公切线得 ＝2，解得x0＝－ ，则切点为 ， 切线方程为y＝2 ＋a－ln 2＝2x＋1＋a－ln 2， 根据两切线重合，得a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. （2）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $