5.2.2 导数的四则运算法则（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦导数的四则运算法则，通过质点运动距离、商品网购量等实际问题导入，衔接基本初等函数求导公式，搭建从简单到复合函数求导的学习支架。 其亮点在于以问题驱动猜想验证，如通过具体函数探究和差积商导数关系，培养数学思维；结合水位下降、动车加速度等实例应用法则，落实数学建模。小结梳理思想方法，助力学生提升运算能力，教师可借助清晰结构高效开展教学。

5.2.2　导数的四则运算法则 1 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则（数学运算）. 2.会用导数的四则运算法则求解相关问题（数学运算、数学建模）. 课标要求 　利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，但实际生活中所涉及到的函数模型多数为基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，如某质点的运动距离s与时间t的关系为s（t）＝ t2＋ ；某商品网购量x（件）与支付款y（元）之间的关系为y＝10x－ln x（x≥1）等.由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的函数该如何求导呢？ 情境导入 知识点一　f（x）±g（x）的导数 01 知识点二　f（x）g（x）和 的导数 02 知识点三　导数运算法则的应用 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 f（x）±g（x）的导数 01 PART 目 录 问题1　设f（x）＝x2，g（x）＝x，试计算f'（x），g'（x），[f（x） ＋g（x）]'以及[f（x）－g（x）]'，并猜想它们有什么关系？ 提示：f'（x）＝2x，g'（x）＝1，[f（x）＋g（x）]' ＝ ＝ （Δx＋2x＋1）＝2x＋1， 同理[f（x）－g（x）]'＝2x－1. 猜想[f（x）＋g（x）]'＝f'（x）＋g'（x），[f（x）－g（x）]'＝f' （x）－g'（x）. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 两个函数和或差的导数：[f（x）±g（x）]'＝ ⁠. 　　提醒：推广式[f1（x）±f2（x）±…±fn（x）]'＝f'1（x）±f'2 （x）±…±f'n（x）. f'（x）±g'（x）　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例1】　（链接教材P76例3）求下列函数的导数： （1）y＝x＋ cos x－2； 解：y'＝（x）'＋（ cos x）'－（2）'＝1－ sin x. （2）y＝2x＋ ； 解：y'＝（2x）'＋（ ）'＝2xln 2＋ . （3）y＝x2－2 sin cos . 解：y＝x2－2 sin cos ＝x2－ sin x， 则y'＝（x2）'－（ sin x）'＝2x－ cos x. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 应用加法、减法运算法则求导时的注意点 （1）判断函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，若 不是，应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式； （2）熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练1　求下列函数的导数： （1）y＝x5－x3＋ ； 解：y'＝（x5）'－（x3）'＋ '＝5x4－3x2－ . （2）y＝lg x－2 cos 2 . 解：＝lg x－ －1＝lg x－ cos x－1， 则y'＝（lg x）'－（ cos x）'－（1）'＝ ＋ sin x. 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点二 f（x）g（x）和 的导数 02 PART 目 录 问题2　试用f（x）＝x2，g（x）＝x，说明[f（x）g（x）]'与f'（x）g' （x），以及 与 是否相等？ 提示：f'（x）＝2x，g'（x）＝1， [f（x）g（x）]'＝（x3）'＝3x2≠2x·1； ＝（x）'＝1≠ ， 即[f（x）g（x）]'≠f'（x）g'（x）， ≠ . 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. [f（x）g（x）]'＝ ，特别地， [cf（x）]'＝ ⁠. 2. ＝ 　 （g（x）≠0）　，特别地， ＝ 　－ 　（f（x）≠0）. 　　提醒：注意求导的先后顺序，特别是商的导数. f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　 cf'（x）　 （g（x）≠0）　 － 　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例2】　（链接教材P77例4）求下列函数的导数： （1）y＝x2＋xln x； 解： y'＝（x2＋xln x）'＝（x2）'＋（xln x）'＝2x＋（x）'ln x＋x（ln x）'＝2x＋ln x＋x· ＝2x＋ln x＋1. （2）y＝ ； 解： y'＝ '＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 （3）y＝ ； 解：y'＝ '＝ ＝ . （4）y＝（2x2－1）（3x＋1）. 解：法一　y'＝ ' ＝（2x2－1）'·（3x＋1）＋（2x2－1）（3x＋1）' ＝4x（3x＋1）＋（2x2－1）×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 法二　∵y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1， ∴y'＝（6x3＋2x2－3x－1）'＝（6x3）'＋（2x2）'－（3x）'－（1）'＝ 18x2＋4x－3. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形 有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换 后求导等. 2. 利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求 导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练2　求下列函数的导数： （1）y＝（x2＋1）（x－1）； 解：∵y＝（x2＋1）（x－1）＝x3－x2＋x－1， ∴y'＝3x2－2x＋1. （2）y＝x2＋tan x； 解：∵y＝x2＋ ，∴y'＝（x2）'＋ ' ＝2x＋ ＝2x＋ . 数学·选择性必修第二册 目 录 （3）y＝ . 解：y'＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点三 导数运算法则的应用 03 PART 目 录 角度1　导数在实际生活中的应用 【例3】　（链接教材P77例5）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过 程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h （t）＝ ，当t＝3时，水面下降的速度为（　　） A. － cm/s B. cm/s 解析：　由题意得，h'（t）＝ ＝ ，所以h'（3）＝ ＝－ ，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B. C. － cm/s D. cm/s B 数学·选择性必修第二册 目 录 角度2　曲线的切线问题 【例4】　（1）曲线y＝ 在点（1，－1）处的切线方程为（　A　） A. y＝－2x＋1 B. y＝－3x＋2 C. y＝2x－3 D. y＝x－2 解析： y＝ 的导数为y'＝－ ，在点（1，－1）处的切线斜率k ＝y'｜x＝1＝－2，∴曲线y＝ 在点（1，－1）处的切线方程为y＋1＝－ 2（x－1），即y＝－2x＋1. A 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）若曲线f（x）＝x sin x在x＝ 处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂 直，则实数a＝（　D　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 解析：由题可得f'（x）＝ sin x＋x cos x，f'（ ）＝1.∴曲线f（x）＝x sin x在x＝ 处的切线的斜率为1.∵曲线f（x）＝x sin x在x＝ 处的切线与直 线ax＋2y＋1＝0互相垂直，且直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－ ，∴（－ ）×1＝－1，解得a＝2.故选D. D 数学·选择性必修第二册 目 录 角度3　含f'（c）函数的求导问题 【例5】　设函数f（x）的导数为f'（x），且f（x）＝x3＋f'（ ）x2－ x，则f'（1）＝ ⁠. 解析：因为f（x）＝x3＋f'（ ）x2－x，所以f'（x）＝3x2＋2f'（ ）x－ 1，所以f'（ ）＝3×（ ）2＋2f'（ ）× －1，则f'（ ）＝－1.所以f' （x）＝3x2－2x－1，故f'（1）＝0. 0　 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 解决有关切线问题的关注点 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素， 其他的条件可以转化为这三个要素间的关系； （2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解 题时的易错点. 2. 含f'（c）函数的求导问题的解题策略 含f'（c）函数在求导时一定要抓住f'（c）为常数这一特点，也就是 说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f'（c）一律充当 常系数处理. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练3　（1）若函数f（x）满足f（x）＝ －f'（1）·x2－x，则f'（1） ＝（　A　） A. 0 B. 2 C. 1 D. －1 解析： f'（x）＝x2－2f'（1）x－1，令x＝1，则f'（1）＝12－2f'（1）－ 1，解得f'（1）＝0.故选A. A 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）曲线y＝ （x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积 为 ⁠. 解析：由题意可知，y'＝ x·ex，y'｜x＝1＝2，∴切线方程为y＝2（x－ 1），即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲线y＝ （x －1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积S＝ ×2×1＝1. 1 数学·选择性必修第二册 目 录 1. 函数y＝x2 sin x的导数为（　　） A. y'＝2x＋ cos x B. y'＝x2 cos x C. y'＝2x cos x D. y'＝2x sin x＋x2 cos x 解析：　y'＝（x2 sin x）'＝（x2）'· sin x＋x2·（ sin x）'＝2x sin x＋x2 cos x. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 函数f（x）＝ 的导数f'（x）＝（　　） A. B. C. D. 解析：　f'（x）＝ '＝ ＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 某物体作直线运动，其运动规律是s＝t2＋ （t的单位：s，s的单位： m），则它在第4 s时的瞬时速度应该为 m/s. 解析：由题意得s＝t2＋ ，可得瞬时速度v＝s'＝2t－ ，故它在第4 s时 的瞬时速度应该为2×4－ ＝ （m/s）. ​ 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 若函数f（x）＝ f'（－1）x2－2x＋3，则f'（－1）＝ ⁠. 解析：因为f（x）＝ f'（－1）x2－2x＋3，所以f'（x）＝f'（－1）x－2. 所以f'（－1）＝f'（－1）×（－1）－2，所以f'（－1）＝－1. －1 数学·选择性必修第二册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）导数的四则运算法则； （2）导数四则运算法则的应用. 2. 应体会 导数四则运算法则的应用体现了转化与化归思想. 3. 避易错 对于函数求导，一般要遵循先化简、变形，再求导的基本原则. 数学·选择性必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 函数y＝ 的导数是（　　） A. y'＝－ B. y'＝－ sin x C. y'＝－ D. y'＝－ 解析：　y'＝ '＝ ＝ ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 已知函数f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，则x0＝（　　） A. e2 B. 1 C. ln 2 D. e 解析：　 f'（x）＝19＋ln x＋x· ＝20＋ln x，由f'（x0）＝20，得20＋ ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 曲线y＝ sin x＋ex在点（0，1）处的切线方程是（　　） A. x－3y＋3＝0 B. x－2y＋2＝0 C. 2x－y＋1＝0 D. 3x－y＋1＝0 解析：　y'＝（ sin x＋ex）'＝ cos x＋ex，当x＝0时，y'＝2，故曲线在点 （0，1）处的切线方程是y－1＝2（x－0），即2x－y＋1＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆 铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适 应高海拔低温环境.“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编 组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达 160千米，全列定额载客676人.假设“高原版”复兴号动车开出站一段时 间内，速度v 与行驶时间t 的关系为v＝1.4t＋0.3t2， t∈ ，则当t＝10 s时，“高原版”复兴号动车的加速度为（　　） A. 4.4 m/s2 B. 7.4 m/s2 C. 17 m/s2 D. 20 m/s2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：　因为v＝1.4t＋0.3t2，t∈ ，所以v'＝0.6t＋1.4，故当 t＝10时，v'＝6＋1.4＝7.4，即t＝10 s时，“高原版”复兴号动车的加速 度为7.4 m/s2，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 5. 已知f（x）＝ x2＋ sin ，f'（x）为f（x）的导函数，则f' （x）的大致图象是（　　） 解析：　∵f（x）＝ x2＋ sin ＝ x2＋ cos x，∴f'（x）＝ x－ sin x.易知f'（x）＝ x－ sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B、D. 由f' ＝ － ＜0，排除C，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 6. 〔多选〕若函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于y轴对称，则f （x）的解析式可能为（　　） A. f（x）＝3 cos x B. f（x）＝x＋ sin x C. f（x）＝x＋ D. f（x）＝ex＋x 解析： 　由题意可知，f'（x）必为偶函数.对于A选项，f'（x）＝－3 sin x为奇函数；对于B选项，f'（x）＝1＋ cos x为偶函数；对于C选项，f' （x）＝1－ 为偶函数；对于D选项，f'（x）＝ex＋1为非奇非偶函数.故 选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 7. 〔多选〕已知函数f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）· cos x＋2，其导 函数为f'（x），则（　　） A. f（0）＝－1 B. f'（0）＝1 C. f（0）＝1 D. f'（0）＝－1 解析：因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）· cos x＋2，所以f（0）＝2－f'（0）.因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）· sin x，所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 8. 已知函数f（x）＝ 若f'（a）＝12，则实数a ＝ ⁠. 解析：f'（x）＝ 若f'（a）＝12，则 或 解得a＝ 或a＝－4. 或－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 9. 曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 ⁠. 解析：设曲线y＝xln x在点（x0，y0）处的切线与直线x－y－2＝0平 行.∵y'＝ln x＋1，∴y' ＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切 点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线x－y－2＝0的距离为d＝ ＝ ，即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 10. 求下列函数的导数： （1）y＝ln x＋ ； 解： y'＝（ln x＋ ）'＝（ln x）'＋（ ）'＝ － . （2）y＝ ； 解： y'＝（ ）'＝ ＝－ . （3）y＝（x2＋9）（x－ ）； 解： y＝x3＋6x－ ，y'＝3x2＋ ＋6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （4）y＝ . 解： y'＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 11. 已知函数f（x）＝（x－2 023）（x－2 024）（x－2 025）（x－2 026），则f（x）的图象在x＝2 025处的切线方程为（　　） A. 2x＋y－4 050＝0 B. x＋y－2 025＝0 C. 2x－y－4 050＝0 D. x－y－2 025＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：　因为f（x）＝（x－2 023）（x－2 024）·（x－2 025）（x －2 026）＝（x－2 025）（x－2 023）·（x－2 024）（x－2 026），则 f'（x）＝（x－2 023）·（x－2 024）（x－2 026）＋ · '，所以f' ＝ 2×1× ＝－2，又f（2 025）＝0，所以f（x）的图象在x＝2 025处的 切线方程为y＝－2 ，即2x＋y－4 050＝0，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 12. 〔多选〕给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导 函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″ （x）＝[f'（x）]'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为 凸函数.以下四个函数在（0， ）上是凸函数的是（　　） A. f（x）＝ sin x＋ cos x B. f（x）＝ln x－2x C. f（x）＝－x3＋2x－1 D. f（x）＝xex √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：对于A，f（x）＝ sin x＋ cos x，f'（x）＝ cos x－ sin x，则f″（x）＝－ sin x－ cos x，当x∈（0， ）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于B，f（x）＝ln x－2x，f'（x）＝ －2，则f″（x）＝－ ，当x∈（0， ）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于C，f（x）＝－x3＋2x－1，f'（x）＝－3x2＋2，f″（x）＝－6x，当x∈（0， ）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于D，f（x）＝xex，f'（x）＝（x＋1）ex，f″（x）＝（x＋2）ex，则f″（x）＞0在x∈（0， ）上恒成立，故不是凸函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 13. 已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，直线y＝kx＋2与函数f （x）的图象相切，如图所示，则函数g（x）＝xf（x）的图象在点 （3，g（3））处的切线方程为 ⁠. y＝3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：因为直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，由图象 可知f（3）＝1，又点（3，1）在直线l上，所以3k＋2＝1，从而k＝－ ，所以f'（3）＝k＝－ ，因为g（x）＝xf（x），所以g（3）＝3f （3）＝3，g'（x）＝f（x）＋xf'（x），则g'（3）＝f（3）＋3f'（3）＝ 1＋3× ＝0，即函数g（x）＝xf（x）的图象在点（3，g（3））处 的切线斜率为0，所以函数g（x）＝xf（x）的图象在点（3，g（3））处 的切线方程为y＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 14. 已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0），其导函数f'（x）＝2x－8. （1）求a，b的值； 解： 因为f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0）， 所以f'（x）＝2ax＋b， 又f'（x）＝2x－8， 所以a＝1，b＝－8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）设函数g（x）＝ex sin x＋f（x），求曲线g（x）在x＝0处的切线 方程. 解： 由（1）可知g（x）＝ex sin x＋x2－8x＋3， 所以g'（x）＝ex sin x＋ex cos x＋2x－8， 所以g'（0）＝e0 sin 0＋e0 cos 0＋2×0－8＝－7， 又g（0）＝3，所以曲线g（x）在x＝0处的切线方程为y－3＝－7（x－ 0），即7x＋y－3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 15. 已知函数f（x）＝ ，且f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切. （1）求函数f（x）的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解：由题意得f'（x）＝ ＝ ＝ ， 因为f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切， 所以 解得 则f（x）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象 切于P点，求直线l的斜率k的取值范围. 解：由（1）可得，f'（x）＝ ， 所以直线l的斜率k＝f'（x0）＝ ＝4 ， 令t＝ ，则t∈（0，1]，所以k＝4（2t2－t）＝8 － ， 则在对称轴t＝ 处取到最小值－ ，在t＝1处取到最大值4， 所以直线l的斜率k的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $