5.2.2 导数的四则运算法则 学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学学案聚焦导数的四则运算法则核心知识点，通过上一小节函数乘积导数的例题导入，衔接基本初等函数导数公式，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生系统掌握法则内容。 学案注重法则推导培养逻辑推理素养，结合净化费用瞬时变化率等实际问题渗透数学应用意识，分层习题覆盖基础求导到切线问题，提升数学运算能力，有效巩固知识深化理解。

第五章 一元函数的导数及其应用 5.2.2·导数的四则运算法则 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、掌握导数的四则运算法则 2、能运用导数的四则运算法则，解决与函数求导相关的问题 3、理解导数四则运算法则的推导过程 通过学习导数的四则运算法则，培养数学抽象、逻辑推理素养；运用法则求函数导数，提升数学运算素养 重点 导数的四则运算法则 利用基本初等函数的导数公式和四则运算法则，求简单函数的导数 难点 导数四则运算法则的推导 灵活运用导数的四则运算法则，对复杂函数进行求导 新知导入 在上一小节的例 2 中，当 时， ．这时，求 关于 的导数可以看成求函数 与 乘积的导数．一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢？ 知识清单 知识点一 导数的四则运算法则 1.函数和、差的求导法则：对于两个函数和，_____________； 2.函数积、商的求导法则：对于两个函数和，_____________； __________________. 常数与函数的积的导数：_____________. 例题讲解 例1 求下列函数的导数： （1）；（2）. 例2 求下列函数的导数： （1）；（2）. 例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1 t水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为 . 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）；（2）. 试题练习 1.已知函数，则( ) A. B. C. D. 2.已知函数，则( ) A. B. C. D. 3.函数，则( ) A. B. C. D. 4.函数的图象在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 5.曲线在点处的切线的斜率为________. 课后练习 1.若，则( ) A.3 B.8 C. D. 2.下列求导数运算正确的是( ) A. B. C. D. 3.已知函数的导函数为，且满足，则( ) A. B. C. D. 4.设，且，则______. 5.已知函数若，则实数a的值为__________. 6.已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_________. 7.设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）证明曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 答案以及解析 知识清单 1. 2. 例题讲解 例题1 解（1）. （2）. 例题2 解（1）. （2） 例题3 解 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数. . （1）因为，所以，净化到纯净度为时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨. （2）因为，所以，净化到纯净度为时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨. 课堂练习 1.答案：A 解析：函数，求导得， 所以. 故选：A. 2.答案：D 解析：由函数， 可得. 故选：D. 3.答案：D 解析：因为， 所以， 所以. 故选：D. 4.答案：C 解析：因为，所以. 所以，而. 所以切线方程为，即. 故选：C. 5.答案：1 解析：因为，所以， 当时，，所以曲线在点处的切线的斜率为1. 故答案为：1. 课后练习 1.B ，把代入得.故选B. 2.B ，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选B. 3.C 因为，所以，解得.故选C. 4.1 由题意知，则，得，故. 5.答案：或-4 解析：若，则 或解得或-4. 6.答案： 解析：设曲线在点P处的切线的斜率为k，则.因为，所以由基本不等式，得，当且仅当，即时，等号成立.又，所以，即，所以. 7.答案：（1）（2）证明见解析，面积为定值 解析：（1）.因为曲线在点处的切线方程为，所以即解得 所以的解析式为. （2）设点为曲线上任意一点，则在该点处的切线的斜率，切线方程为，令，得.由得 所以曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积，为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $