5.2.1 基本初等函数的导数（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数，通过高铁瞬时速度的情境导入，从导数定义求导的复杂性出发，引导学生推导并掌握求导公式，搭建从定义到公式应用的学习支架，衔接切线问题与实际应用。 其亮点在于以问题驱动推导公式培养数学思维，结合切线问题的几何意义发展直观想象，通过房价、电流等实例体现数学语言表达现实世界。采用例题变式与规律总结，帮助学生理解本质，教师可借助系统训练提升教学效率。

5.2.1　基本初等函数的导数 1 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的导数（数学运算）. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数（数学运算）. 课标要求 　　高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既 低碳又快捷.设一高铁走过的路程s（单位：m） 关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求 它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数 的定义，就是求当Δt→0时， 所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如y＝ sin x，y＝ln x很难运用定义求导数.是否有更简便的求导数的方法呢？ 情境导入 知识点一　基本初等函数的求导公式 01 知识点二　利用导数研究曲线的切线问题 02 知识点三　导数公式的实际应用 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 基本初等函数的求导公式 01 PART 目 录 问题　（1）导（函）数的定义式是什么？ 提示：f'（x）＝ . （2）利用导数的定义分别求解f（x）＝c，x，x2，x3， ， 的导数， 你发现了什么规律吗？ 提示：利用f'（x）＝ 分别代入： ①f（x）＝c⇒f'（x）＝ ＝0； 数学·选择性必修第二册 目 录 ②f（x）＝x⇒f'（x）＝ ＝1； ③f（x）＝x2⇒f'（x）＝ ＝ （2x＋Δx）＝2x； ④f（x）＝x3⇒f'（x）＝ ＝ [3x2＋3x·Δx＋ （Δx）2]＝3x2； ⑤f（x）＝ ⇒f'（x）＝ ＝ ＝－ ； ⑥f（x）＝ ⇒f'（x）＝ ＝ ＝ . 规律：幂函数y＝xα的导数为y'＝αxα－1. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝xα（α∈R，且α≠0） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ sin x f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ cos x f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ex f'（x）＝ ⁠ f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ln x f'（x）＝ ⁠ 0　 αxα－1　 cos x　 － sin x　 axln a　 ex　 　 　 数学·选择性必修第二册 目 录 　　提醒：对于根式f（x）＝ ，要先转化为f（x）＝ ， 所以f'（x）＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 【例1】　（链接教材P75例1）求下列函数的导数： （1）y＝ sin ；（2）y＝x0（x≠0）；（3）y＝ ； （4）y＝ ；（5）y＝log3x；（6）y＝2 cos 2 －1. 解：（1）y'＝0. （2）y＝x0＝1，即y'＝0. （3）y'＝ ln ＝－ ln 3. （4）y'＝ '＝－ ＝－ . （5）y'＝（log3x）'＝ . （6）∵y＝2 cos 2 －1＝ cos x，∴y'＝（ cos x）'＝－ sin x. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 求简单函数的导数的方法 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导； （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等 变换对解析式进行化简或变形后求导. 　　提醒：注意“ 与ln x”“ax与logax”“ sin x与 cos x”的导数的区别. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练1　（1）〔多选〕下列结论正确的为（　CD　） A. y＝ln 2，则y'＝ B. y＝（ ）x，则y'＝－ ln 2 C. y＝ ，则y'｜x＝3＝－ D. y＝log2x，则y'＝ 解析：由导数的运算公式可知，对于A，由y＝ln 2，则y'＝0，所以A错 误；对于B，由y＝（ ）x，则y'＝－（ ）xln 2，所以B错误；其他选项 均正确. CD 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）已知函数f（x）＝ 若f'（a）＝12，则实数a ＝ ⁠. 解析：f'（x）＝ 若f'（a）＝12，则 或 解得a＝ 或a＝－2. 或－2 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点二 利用导数研究曲线的切线问题 02 PART 目 录 【例2】　求曲线y＝ln x在点P（e，1）处的切线方程. 解：∵y'＝ ，∴切线的斜率k＝y'｜x＝e＝ ， ∴切线方程为y－1＝ （x－e），即x－ey＝0. 变式　（1）已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ ⁠； 解析：设切点坐标为（x0，y0），由题意得y' ＝ ＝k，又y0＝ kx0，且y0＝ln x0，从而可得x0＝e，y0＝1，则k＝ . 解：∵y'＝ ，∴切线的斜率k＝y'｜x＝e＝ ， ∴切线方程为y－1＝ （x－e），即x－ey＝0. ​ 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）求曲线y＝ln x过点O（0，0）的切线方程. 解：∵O（0，0）不在曲线y＝ln x上， ∴设切点为Q（x0，y0），则切线的斜率k＝ . 又切线的斜率k＝ ＝ ， ∴ ＝ ，即x0＝e，∴Q（e，1），∴k＝ ， ∴切线方程为y－1＝ （x－e），即x－ey＝0. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公 式进行求解. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练2　（1）若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，则切点P的坐标 为 ，b＝ ⁠； 解析：设P（x0，y0），由题意可知y' ＝ .所以 ＝1，即x0 ＝0，所以点P（0，1）.由点P（0，1）在直线y＝x＋b上可知b＝1. （0，1） 1 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）设P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离 为 ⁠. 解析：如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相 切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小.设直线l与曲 线y＝ex相切于点P（x0，y0）.因为y'＝ex，所以 ＝ 1，所以x0＝0.代入y＝ex，得y0＝1，所以P（0，1）. 所以点P到直线y＝x的最小距离为 ＝ . ​ 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点三 导数公式的实际应用 03 PART 目 录 【例3】　（链接教材P75例2）某城市近10年间房价年均上涨率为10%， 房价p（单位：万元）与时间t（单位：年）有如下函数关系：p（t）＝ p0（1＋10%）t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是 多少（精确到0.01万元/年）？（参考数据：1.15＝1.611，ln 1.1＝ 0.095） 解：由题意得p'（t）＝1.1tln 1.1，所以p'（5）＝1.15ln 1.1＝ 1.611×0.095≈0.15（万元/年），所以在第5个年头，该市房价上涨的速度 大约是0.15万元/年. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是 求相关函数在某点处的导数. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练3　从时刻t＝0开始的t（单位：秒）内，通过某导体的电量（单位： 库仑）可以由公式q＝ cos t表示，求第5秒和第7秒时的电流强度（单位： 安）. 解：由q＝ cos t得，q'＝－ sin t，所以q'（5）＝－ sin 5，q'（7）＝－ sin 7，即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－ sin 5安，－ sin 7安. 数学·选择性必修第二册 目 录 1. 若f（x）＝ sin x，则f' ＝（　　） A. － B. － C. D. 解析：　f'（x）＝ cos x，f' ＝ cos ＝ . √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 在经济学中，通常把生产成本关于产量的导函数称为边际成本.设生产x 个单位产品的总成本函数是C（x）＝ ，则生产4个单位产品时，边际成 本是（　　） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 解析：　C'（x）＝ ，C'（4）＝ ＝3.故选A. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 〔多选〕下列结论正确的是（　　） A. 若f（x）＝3，则f'（x）＝0 B. 若f（x）＝ ，则f'（x）＝－ C. 若f（x）＝ln x，则f'（e）＝ D. 若f（x）＝x，则f'（x）＝1 解析：只有B是错误的.因为f'（x）＝（ ）'＝ '＝－ ＝－ . √ √ √ 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 曲线y＝ 在点M（3，3）处的切线方程是 ⁠. 解析：因为y'＝－ ，所以y'｜x＝3＝－1，所以在点（3，3）处的斜率为－ 1，切线方程为y－3＝－（x－3），即x＋y－6＝0. x＋y－6＝0 数学·选择性必修第二册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）基本初等函数的求导公式； （2）利用导数研究曲线的切线问题； （3）导数公式的实际应用. 2. 应体会 利用导数研究曲线的切线方程时，应用了待定系数法和方程思想. 3. 避易错 求导前未先化简或变形成基本初等函数. 数学·选择性必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 下列求导运算正确的是（　　） A. （ cos ）'＝ sin B. （ ）'＝－ C. （lg x）'＝ D. （ ）'＝ 解析：　（ cos ）'＝0，故A不正确；（ ）'＝（x－3）'＝－3x－4，故 B不正确；（lg x）'＝ ，故C正确；（ ）'＝（ ）'＝ ，故D 不正确.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 函数y＝x4在点（1，1）处的切线方程为（　　） A. y＝4x－3 B. y＝4x＋3 C. y＝－4x－3 D. y＝－4x＋3 解析：　因为y'＝4x3，当x＝1时，y'＝4，故切线的斜率为4，切线方程 为y＝4x－3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 若f（x）＝ ，g（x）＝ln x，则使f'（1）＋g'（x）＝1的x的值为 （　　） A. B. C. D. 2 解析：　∵f'（x）＝ '＝（ ）'＝－ ，∴f'（1）＝－ ，又g' （x）＝ ，由f'（1）＋g'（x）＝1，得－ ＋ ＝1，∴x＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 不确定 解析：　∵f'（x）＝3x2，设切点为（x0，y0），则3 ＝1，得x0＝ ± ，即在点 和点 处有斜率为1的切线.∴有2条斜 率等于1的切线. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 5. 曲线y＝ 在点 处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面 积为（　　） A. B. 解析：　由题意可得y'＝ ，即y'｜x＝1＝ ，切线方程为2x－3y＋1＝ 0，与x轴的交点坐标为 ，与x＝2的交点坐标为 ，所以围 成三角形的面积为 × × ＝ .故选C. √ C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 6. 〔多选〕若曲线f（x）＝－ 上某点处的切线的倾斜角为 ，则该点的 坐标为（　　） A. （1，1） B. （－1，－1） C. （－1，1） D. （1，－1） 解析： 　切线的斜率k＝tan ＝1，f'（x）＝ ，设切点为（x0， y0），则f'（x0）＝1，所以 ＝1，所以x0＝1或x0＝－1，所以切点坐标为 （1，－1）或（－1，1）. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 7. 〔多选〕直线y＝ x＋b能作为下列函数图象的切线的有（　　） A. f（x）＝ B. f（x）＝x4 C. f（x）＝ sin x D. f（x）＝ex 解析： 函数f（x）＝ ，可得f'（x）＝－ ＝ 不成立，所以A不正确；f（x）＝x4，f'（x）＝4x3＝ 可以成立，所以B正确；f（x）＝ sin x，f'（x）＝ cos x＝ 可以成立，所以C正确；f（x）＝ex，f'（x）＝ex＝ 可以成立，所以D正确.故选B、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 8. 一物体沿一光滑斜面下滑，测得物体下滑速度满足v（t）＝log2t，则 该物体下滑的加速度a＝ ⁠. 解析：a＝v'（t）＝（log2t）'＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 9. 设b为实数，若直线y＝－x＋b为函数y＝ 图象的切线，则b＝ ⁠ ⁠. 解析：设切点坐标为（x0，y0），函数y＝ 的导函数为y'＝－ ，由直线 y＝－x＋b得到斜率为－1，所以－ ＝－1，解得x0＝±1，把x0＝－1代 入y＝ 中解得y0＝－1，把x0＝1代入y＝ 中解得y0＝1，所以切点坐标是 （－1，－1）或（1，1）.当切点坐标是（－1，－1）时，代入直线方程y ＝－x＋b，得b＝－2；当切点坐标是（1，1）时，代入直线方程y＝－x ＋b，得b＝2.综上所述，b＝2或－2. 2或 －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 10. 求下列函数的导数： （1）y＝ ；（2）y＝ ； （3）y＝－2 sin （1－2 cos 2 ）. 解：（1）y'＝（ ）'＝（ ）'＝ ＝ ＝ . （2）y'＝（ ）'＝（x－4）'＝－4x－4－1＝－4x－5＝－ . （3）∵y＝－2 sin （1－2 cos 2 ）＝2 sin （2 cos 2 －1）＝2 sin cos ＝ sin x，∴y'＝（ sin x）'＝ cos x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 11. 设f0（x）＝ sin x，f1（x）＝f'0（x），f2（x）＝f'1（x），…，fn＋1 （x）＝f'n（x），n∈N，则f2 026（x）＝（　　） A. sin x B. － sin x C. cos x D. － cos x 解析：　f0（x）＝ sin x，f1（x）＝f'0（x）＝（ sin x）'＝ cos x，f2 （x）＝f'1（x）＝（ cos x）'＝－ sin x，f3（x）＝f'2（x）＝（－ sin x）' ＝－ cos x，f4（x）＝f'3（x）＝（－ cos x）'＝ sin x，所以4为最小正周 期，故f2 026（x）＝f2（x）＝－ sin x. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 12. 已知函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak， ）处的切线与x轴交点 的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝ ⁠. 解析：∵y'＝2x，∴y＝x2（x＞0）的图象在点（ak， ）处的切线方程 为y－ ＝2ak（x－ak）.又该切线与x轴的交点为（ak＋1，0），∴ak＋1 ＝ ak，即数列{ak}是首项a1＝16，公比q＝ 的等比数列，∴a3＝4，a5＝ 1，∴a1＋a3＋a5＝21. 21　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 13. 已知A，B，C三点在曲线y＝ 上，其横坐标依次为1，m，4（1＜ m＜4），则当△ABC的面积最大时，m的值为 ⁠. 解析：如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使 △ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大， 可以将直线AC作平行移动，显然当直线AC与曲线相 切时，距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大.∵y'｜x＝m＝ ，点A坐标为（1，1），点C坐标为（4，2），∴kAC＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴m＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 14. 已知点P 在曲线f（x）＝ cos x上，直线l是以点P为切点的 切线. （1）求a的值； 解： 因为点P 在曲线f（x）＝ cos x上， 所以a＝ cos ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）求过点P且与直线l垂直的直线方程. 解： 因为f'（x）＝－ sin x， 所以kl＝f' ＝－ sin ＝－ . 又因为所求直线与直线l垂直， 所以所求直线的斜率为－ ＝ ， 所以所求直线方程为y－ ＝ ， 即y＝ x－ ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 15. 已知两条曲线y＝f（x）＝ sin x，y＝g（x）＝ cos x，这两条曲线 是否存在一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并 说明理由. 解：假设存在这样的公共点，并设这两条曲线的一个公共点为P（x0，y0）， ∴两条曲线在点P（x0，y0）处的切线斜率分别为 k1＝f'（x0）＝ cos x0，k2＝g'（x0）＝－ sin x0. 若使两条切线互相垂直，则有 cos x0·（－ sin x0）＝－1，即 sin x0· cos x0 ＝1，也就是 sin 2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在 这一点处的两条切线互相垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $