第4章 章末整合提升 体系构建 素养提升（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学数列单元复习课件系统梳理了数列的定义、公式、性质及等差等比数列核心内容，通过知识框架图将概念分类、通项与求和公式、递推关系等串联，构建“定义-公式-性质-应用”的逻辑脉络，帮助学生建立完整知识网络。 其亮点在于“考教衔接+分层变式”设计，结合教材原题与高考真题（如2024新高考Ⅱ卷、2025全国Ⅱ卷变式），通过基本量法与性质法对比训练发展数学思维，以实际应用问题（如利润计算）培养数学建模能力，分层练习覆盖基础运算到新定义问题，助力学生巩固方法，教师精准教学。

章末整合提升 体系构建 素养提升 1 体系构建 数学·选择性必修第二册 素养提升 一、等差、等比数列的基本运算和性质（考教衔接） 　　数列的基本运算和性质以小题居多，但也可作为解答题第一问命题， 主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及 前n项和等. 教材原题　（1）（教材P25习题2题）已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5 ＝105，a2＋a4＋a6＝99.求a20； （2）（教材P37练习3题）设等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知a2＝6， 6a1＋a3＝30.求an和Sn. 数学·选择性必修第二册 变式1　等差数列的基本运算和性质 （2024·新高考Ⅱ卷12题）记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3＋a4＝7， 3a2＋a5＝5，则S10＝ ⁠. 95 数学·选择性必修第二册 解析：法一（基本量法）　因为数列{an}为等差数列， 则由题意得 解得 则S10＝10a1＋ d＝10×（－4）＋45×3＝95. 法二（下标和性质法）　设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2 ＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝ ＝3，a6＝11，则S10＝ ×10＝5（a5＋a6）＝5×19＝95. 数学·选择性必修第二册 变式2　等比数列前n项和的性质 〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷9题）Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an} 的公比，q＞0，S3＝7，a3＝1，则（　　） A. q＝ B. a5＝ C. S5＝8 D. an＋Sn＝8 √ √ 数学·选择性必修第二册 解析： 　由已知条件S3＝a1＋a2＋a3＝ ＋ ＋a3＝ ＋ ＋1＝7⇒ ＋ －6＝0⇒（ ＋3）·（ －2）＝0，又q＞0，则 ＝2⇒q＝ ，故a1 ＝ ＝4，an＝4×（ ）n－1＝（ ）n－3，Sn＝8－（ ）n－3，a5＝a3q2＝ ，S5＝8－（ ）2≠8，an＋Sn＝（ ）n－3＋8－（ ）n－3＝8，综上A、D 正确. 数学·选择性必修第二册 变式3　等差数列与等比数列的综合运算 （2022·新高考Ⅱ卷17题）已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数 列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. （1）证明：a1＝b1； 解： 证明：设等差数列{an}的公差为d， 由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1，由a2－b2＝ b4－a4得a1＋d－2b1＝8b1－（a1＋3d），即a1＝5b1－2d， 将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1. 数学·选择性必修第二册 （2）求集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数. 解： 由（1）知an＝a1＋（n－1）d＝a1＋（n－1）×2b1＝（2n－ 1）a1，bn＝b1·2n－1， 由bk＝am＋a1得b1·2k－1＝（2m－1）a1＋a1， 由a1＝b1≠0得2k－1＝2m， 由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2，3，4，…，10，共9 个数，即集合{k｜bk＝am＋a1，1≤m≤500}＝{2，3，4，…，10}中元素 的个数为9. 数学·选择性必修第二册 【反思感悟】 在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个 量：a1，an，n，d（q），Sn，可通过列方程组的方法，知三求二.在利 用Sn求an时，要注意验证n＝1时是否成立. 数学·选择性必修第二册 二、数列的通项公式 　　数列的通项公式在命题中多以递推公式的形式或与Sn的关系给出条 件，然后通过构造等差数列或等比数列，求出通项公式an. 【例1】 （1）在数列{an}中，a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有am ＋n＝am＋an＋mn，则an＝ ⁠； ​ 解析：对于任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，令m＝1，得an ＋1＝an＋n＋1，则an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an －an－1＝n，∴（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝2＋3＋4 ＋…＋n，即an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，又a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋ n＝ . 数学·选择性必修第二册 （2）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*， 则数列{an}的通项公式为 ⁠. 解析：因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1＋1＝2（Sn＋ 1）.因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比 数列，所以Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， a1＝1也满足此式，所以an＝2n－1，n∈N*. 2n－1 数学·选择性必修第二册 【反思感悟】 求数列通项公式的常用方法 （1）由Sn与an的关系求通项公式：当n≥2且n∈N*时，an＝Sn－Sn－1； 当n＝1时，a1＝S1； （2）累加法：适用于形如“an＋1－an＝f（n）”，an＝a1＋（a2－a1） ＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）； （3）累乘法：适用于形如“ ＝f（n）”，an＝ a1· · ·…· ； 数学·选择性必修第二册 （4）构造法：①形如“an＝kan－1＋b（k，b为常数，k≠0，k≠1， n≥2，n∈N*）”，可令an＋t＝k（an－1＋t），结合已知条件可得t＝ ，构造等比数列{an＋ }； ②取倒数法：形如“an＝ （n≥2，n∈N*，k，m，p均为常 数，m≠0）”，可在等式两边取倒数，转化为等差数列{ }或转化为类 型①. 数学·选择性必修第二册 三、等差、等比数列的判定与证明 　　判断等差或等比数列是数列中的重点内容，对给定条件进行变形是解 题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列. 数学·选择性必修第二册 【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝ . （1）求b1，b2，b3； 解：由条件可得an＋1＝ an. 将n＝1代入，得a2＝4a1＝4. 将n＝2代入，得a3＝3a2＝12. 所以b1＝1，b2＝2，b3＝4. 数学·选择性必修第二册 （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； 解：{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得 ＝ ， 即bn＋1＝2bn，又b1＝1， 所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. （3）求数列{an}的通项公式. 解：由（2）可得 ＝2n－1，所以an＝n·2n－1，n∈N*. 数学·选择性必修第二册 变式　已知数列{an}满足a1＝ ，且当n＞1，n∈N*时，有 ＝ . （1）求证：数列{ }为等差数列； 解：证明：当n≥2时，由 ＝ ，得an－1－an＝4an－1an， 两边同除以an－1an，得 － ＝4， 所以数列{ }是首项为 ＝5，公差为d＝4的等差数列. 数学·选择性必修第二册 （2）试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请 说明理由. 解：由（1）得 ＝ ＋（n－1）d＝4n＋1，所以an＝ ，所以a1a2 ＝ × ＝ ， 假设a1a2是数列{an}中的第t项， 则at＝ ＝ ， 解得t＝11∈N*， 所以a1a2是数列{an}中的第11项. 数学·选择性必修第二册 【反思感悟】 判断（证明）数列是等差（比）数列的方法 （1）定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an（或 ）为与正 整数n无关的常数； （2）等差（比）中项法：①若2an＝an－1＋an＋1（n∈N*，n≥2），则 {an}为等差数列；②若 ＝an－1·an＋1（n∈N*，n≥2且an≠0），则 {an}为等比数列； （3）通项公式法：an＝kn＋b（k，b是常数）⇔{an}是等差数列；an＝ c·qn（c，q为非零常数）⇔{an}是等比数列； （4）前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn（A，B为常数，n∈N*）⇔{an}是 等差数列；Sn＝Aqn－A（A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1， n∈N*）⇔{an}是公比不为1的等比数列. 数学·选择性必修第二册 四、数列求和（考教衔接） 　　根据题目所给条件，会使用分组转化法、错位相减法、裂项相消法和 并项转化法求和. 教材原题　（教材P56复习参考题11题）已知等差数列{an}的前n项和为 Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝3n－1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn. 数学·选择性必修第二册 变式1　错位相减法求和 （2024·全国甲卷理18题）记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an ＋4. （1）求{an}的通项公式； 解：因为4Sn＝3an＋4，　① 所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4，　② 则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1. 当n＝1时，由4Sn＝3an＋4得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0， 所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列， 所以an＝4×（－3）n－1. 数学·选择性必修第二册 （2）设bn＝（－1）n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：因为bn＝（－1）n－1nan＝（－1）n－1n×4×（－3）n－1＝4n·3n－ 1， 所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n－1， 所以3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n， 两式相减得－2Tn＝4＋4（31＋32＋…＋3n－1）－4n·3n＝4＋ 4× －4n·3n＝－2＋（2－4n）·3n， 所以Tn＝1＋（2n－1）·3n. 数学·选择性必修第二册 变式2　裂项相消法求和 （2022·新高考Ⅰ卷17题）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1， 是公差为 的等差数列. （1）求{an}的通项公式； 解：法一　因为a1＝1，所以 ＝1， 又 是公差为 的等差数列， 所以 ＝1＋（n－1）× ＝ . 数学·选择性必修第二册 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 所以 ＝ （n≥2），所以 ＝ （n≥2），整理得 ＝ （n≥2）， 所以 × ×…× × ＝ × ×…× × ＝ （n≥2）， 所以Sn＝ （n≥2）， 数学·选择性必修第二册 又S1＝1也满足上式， 所以Sn＝ （n∈N*）， 则Sn－1＝ （n≥2）， 所以an＝ －＝ （n≥2）， 又a1＝1也满足上式，所以an＝ （n∈N*）. 数学·选择性必修第二册 法二　因为a1＝1，所以 ＝1， 又 是公差为 的等差数列， 所以 ＝1＋（n－1）× ＝ ， 所以Sn＝ an. 因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ an－ an－1，所以 an－1＝ an （n≥2）， 所以 ＝ （n≥2）， 数学·选择性必修第二册 所以 × ×…× × ＝ × × ×…× × ＝ （n≥2）， 所以an＝ （n≥2）， 又a1＝1也满足上式，所以an＝ （n∈N*）. 数学·选择性必修第二册 （2）证明： ＋ ＋…＋ ＜2. 解：证明：因为an＝ ，所以 ＝ ＝2 ，所以 ＋ ＋…＋ ＝2［ ＋ ＋…＋ ＋ ］＝ 2 ＜2. 数学·选择性必修第二册 变式3　分组转化法求和 （2023·新高考Ⅱ卷18题）已知{an}为等差数列，bn＝ 记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝ 32，T3＝16. 数学·选择性必修第二册 （1）求{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 因为bn＝ 且S4＝32，T3＝16， 所以 解得 所以an＝5＋2（n－1）＝2n＋3. 数学·选择性必修第二册 （2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 解：证明：由（1）可知， Sn＝ ＝ ＝n2＋4n. 由an＝2n＋3，得bn＝ 若n为偶数，则 Tn＝（b1＋b3＋…＋bn－1）＋（b2＋b4＋…＋bn）＝（a1－6＋a3－6 ＋…＋an－1－6）＋（2a2＋2a4＋…＋2an）＝（5＋9＋…＋2n＋1－ 3n）＋2（7＋11＋…＋2n＋3）＝ －3n＋ 2× ＝ n2＋ n. 数学·选择性必修第二册 所以当n＞5时，Tn－Sn＝ n2＋ n－（n2＋4n）＝ n2－ n＝ n（n－ 1）＞0， 即Tn＞Sn. 若n为奇数，则n－1为偶数，则 Tn＝Tn－1＋bn＝ （n－1）2＋ （n－1）＋2n＋3－6＝ n2＋ n－5. 所以当n＞5时， Tn－Sn＝ n2＋ n－5－（n2＋4n）＝ n2－ n－5＝ （n2－3n－10）＝ （n＋2）（n－5）＞0，即Tn＞Sn. 综上可得，当n＞5时，Tn＞Sn. 数学·选择性必修第二册 【反思感悟】 数列求和的常用方法 （1）公式法：等差、等比数列直接用求和公式求解； （2）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列； （3）裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过 程中消去中间项，只剩有限项再求和； （4）错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的 数列求和. 数学·选择性必修第二册 五、数列的实际应用及新定义问题 　　数列的实际应用一般是利用数列知识解决现实生活中的问题；数列的 新定义问题通常考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满 足新定义的数列有某些新性质，此时需要理解新性质，结合已学过的数列 知识解决问题. 数学·选择性必修第二册 【例3】 （1）小王2025年1月初向银行借了无息贷款10 000元，用于自己 的农产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求.据测 算，每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底需缴房租800元和水 电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2025年小王 的农产品加工厂的年利润为（取1.211≈7.5，1.212≈9）（　C　） A. 25 000元 B. 26 000元 C. 32 000元 D. 36 000元 C 数学·选择性必修第二册 解析：设1月底小王手中有现款a1＝（1＋20%）×10 000－800－400＝ 10 800（元），n月底小王手中有现款an元，（n＋1）月底小王手中有现 款an＋1元，则an＋1＝1.2an－1 200，即an＋1－6 000＝1.2（an－6 000）， ∴数列{an－6 000}是首项为4 800，公比为1.2的等比数列，∴a12－6 000 ＝4 800×1.211，即a12＝4 800×1.211＋6 000≈42 000，∴年利润为42 000－ 10 000＝32 000（元）. 数学·选择性必修第二册 （2）在一个数列中，如果对∀n∈N*，都有an ＝k（k为常 数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an} 是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12 ＝ ⁠. 解析：因为数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，所以a1a2a3 ＝8，所以a3＝4，同理可得a4＝1，a5＝2，a6＝4，…，所以数列{an}是周 期为3的数列，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4（a1＋a2＋a3）＝4×（1＋2 ＋4）＝28. 28 数学·选择性必修第二册 【反思感悟】 求解数列新定义问题的策略 （1）准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂“新定义”的本质 含义，将题目所给条件转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相 混淆； （2）方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，认真仔细地从 前几项的特殊处、简单处体会题意，从而找到恰当的解决方法. 数学·选择性必修第二册 THANKS 演示完毕 感谢观看 $