第4章 培优课 数列的函数特征 能力提升（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦数列的函数特征，核心讲解数列周期性判断及应用、单调性判断与最大（小）项问题，通过实例递推公式计算前几项导入，引导学生观察项的重复或增减规律，搭建从数列基本概念到函数性质的学习支架。 其亮点在于以规律方法总结为核心，结合斐波那契数列拓展探究，通过逻辑推理（如周期性项的重复规律分析）和数学运算（如作差作商法判断单调性）培养核心素养。例题设计层层递进，如用两种方法求最大项，助力学生深化理解，对学生提升解题能力，对教师提供系统教学资源，提高教学效率。

培优课　数列的函数特征 能力提升 1 1.会判断数列的周期性，并会用数列的周期性求数列的项（逻辑推理、数学运算）. 2.会判断数列的单调性，并会用数列的单调性解决最大（小）项问题（逻辑推理、数学运算）. 重点解读 【例1】　已知数列{an}满足an＋1＝ ，且a1＝ ，则a2 025＝（　　） A. 3 B. C. D. －2 解析：　由数列{an}满足an＋1＝ ，且a1＝ ，得a2＝ ＝ ，a3＝ ＝3，a4＝ ＝－2，a5＝ ＝ ，由此可知数列{an}是周期为4的周 期数列，所以a2 025＝a4×506＋1＝a1＝ .故选C. 一、数列的周期性 √ 数学·选择性必修第二册 【规律方法】 　利用数列的周期性求数列中某一项的步骤 （1）根据已知的数列的递推公式，写出数列的前几项，观察项与项之间 的关系直至出现重复的项； （2）确定该数列的周期； （3）利用周期性求出要求的项. 数学·选择性必修第二册 训练1　在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝ ，则a2 025＝（　　） A. 2 B. C. 0 D. － 解析：　因为a1＝0，an＋1＝ ，所以a2＝ ＝ ，a3＝ ＝－ ，a4＝ ＝0，所以数列{an}是以3为周期的周期数列， 由2 025÷3＝675，则a2 025＝a3＝－ .故选D. √ 数学·选择性必修第二册 二、数列的单调性及其应用 角度1　数列单调性的判断 【例2】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n（n∈N*），判断该数 列的单调性. 解：法一　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1）， 则an＋1－an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0， 即an＋1＞an，故数列{an}是递增数列. 法二　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1）， 则 ＝ ＝ · ＞1. 又易知an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列. 数学·选择性必修第二册 【规律方法】 　解决数列的单调性问题的两种方法 （1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减 数列或是常数列； （2）作商比较法：根据 （an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断. 数学·选择性必修第二册 角度2　数列单调性的应用 【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋1）·（ ）n （n∈N*），试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项 数；若没有，说明理由. 解：法一　∵an＋1－an＝（n＋2）（ ）n＋1－（n＋1）·（ ）n＝ （ ）n· .∴当n＜8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝8时，a9－a8＝0，即a9＝a8； 当n＞8时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an； 故a1＜a2＜…＜a8＝a9＞a10＞a11＞…，∴数列{an}中最大项为第8项和第9项，其值为9·（ ）8，其项数为8或9. 数学·选择性必修第二册 法二　根据题意，令 即 解得8≤n≤9. 又n∈N*，则n＝8或n＝9. 故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝9·（ ）8. 数学·选择性必修第二册 【规律方法】 　求数列最大项与最小项的常用方法 （1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直 接确定最大（小）项，否则，利用作差法； （2）利用 （n≥2）确定最大项，利用 （n≥2）确定最小项. 数学·选择性必修第二册 训练2　（1）若数列{an}的通项公式为an＝ ，则此数列是（　A　） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 以上都不是 解析：因为an＝ ＝2－ ，所以当n≥2时，an－an－1＝（2－ ） －（2－ ）＝ － ＝ ＞0，所以数列{an}是递增数列. A 数学·选择性必修第二册 （2）已知数列{an}的通项公式为an＝ ，n∈N*，则数列{an}的最大 项与最小项之和为 ⁠. 解析：an＝ ＝ ＝1＋ ，当n≥11时， ＞0，且单调 递减；当1≤n≤10时， ＜0，且单调递减，所以数列{an}的最大项 为a11，最小值为a10，所以数列{an}的最大项与最小项之和为a11＋a10＝ ＋ ＝3－1＝2. 2 数学·选择性必修第二册 斐波那契数列 　通过教材P10阅读与思考我们知道，对于这样一列数：1，1，2，3，5， 8，13，21，34，…，从第3项起，每一个数都等于它前面两个数的和，此 数列称为“斐波那契数列”，其递推公式满足a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋ an－2（n＞2）. 【问题探究】 根据斐波那契数列，你能证明下列性质成立吗？ 数学·选择性必修第二册 （1）Sn＝ －1； 证明： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝（a3－a2）＋（a4－a3）＋（a5 －a4）＋…＋（an＋1－an）＋（an＋2－an＋1）＝an＋2－a2＝an＋2－1，即Sn ＝an＋2－1. （2）a1＋a3＋a5＋…＋ ＝ ； 证明：由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2n－1＝a2n－a2n－2，可 得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n. （3）a2＋a4＋a6＋…＋ ＝a2n＋1－1； 证明：由a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2n＝a2n＋1－a2n－1，可得a2＋a4 ＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－a1＝a2n＋1－1. 数学·选择性必修第二册 （4） ＋ ＋ ＋…＋ ＝anan＋1，即 ＝anan＋1. 证明：由斐波那契数列，有an＋2＝an＋1＋an， 则 ＝a2a1， ＝a2（a3－a1）＝a2a3－a2a1， ＝a3（a4－a2）＝a3a4－a2a3， …， ＝an（an＋1－an－1）＝anan＋1－anan－1， 所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＝anan＋1， 即 ＝anan＋1. 数学·选择性必修第二册 【迁移应用】 〔多选〕已知数列{an}为斐波那契数列，a1＝1，a2＝1，an－2＋an－1＝an （n≥3），Sn为其前n项和，则下列结论正确的是（　　） A. a14＝377 B. S12＝375 C. a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝a2 026 D. ＝a2 026 √ √ √ 数学·选择性必修第二册 解析： 对于A，写出数列的前14项为1，1，2，3，5，8，13，21， 34，55，89，144，233，377，故A正确；对于B，由性质S12＝a14－1＝ 376，故B错误；对于C，由性质a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n，故C正确； 对于D，由性质 ＋ ＋ ＋…＋ ＝anan＋1，故D正确. 数学·选择性必修第二册 1. 已知数列{an}满足an＞0，且an＋1＝ an，则数列{an}是（　　） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 以上都不是 解析：　因为 ＝ ＜1，an＞0，所以an＋1＜an，故数列{an}为递减 数列. √ 数学·选择性必修第二册 2. 已知数列{an}满足an＋1＝ ，若a1＝ ，则a2 025＝（　　） A. －1 B. C. 1 D. 2 解析：　由a1＝ ，an＋1＝ 得a2＝2，a3＝－1，a4＝ ，a5＝ 2，…，可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 025＝a3×675＝a3＝ －1. √ 数学·选择性必修第二册 3. 数列{－2n2＋29n＋3}中最大的项是（　　） A. 107 B. 108 C. 108 D. 109 解析：　因为－2n2＋29n＋3＝－2（n2－ n）＋3＝－2（n－ ）2＋ ，所以当n＝7时，－2n2＋29n＋3取得最大值108，故选B. √ 数学·选择性必修第二册 4. 已知数列{an}中， an＝k·（ ）n，若{an}是递增数列，则实数k的取 值范围为 ⁠. 解析：因为an＝k· ， {an}是递增数列，所以an＋1－an＝ k· －k· ＝ ·（ k－k）＝－ k· ＞0 对任意的n∈N*恒成立，所以－ k＞0，解得k＜0，所以实数k的取值范 围是（－∞，0）. （－∞，0） 数学·选择性必修第二册 课堂小结 1. 理清单 （1）数列的周期性； （2）判断数列的单调性； （3）数列的最大项与最小项问题. 2. 应体会 判断数列的单调性及求数列的最大、小项问题要注意函数思想的应用. 3. 避易错 利用作商法判断函数的单调性时，要注意an的符号. 数学·选择性必修第二册 课时作业 1. 已知数列{an}的通项公式为an＝ ，按项的变化趋势，该数列是 （　　） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 解析：　因为an＝ ＝ ，显然随着n的增大，2－ 是递增的，故 an是递减的，则数列{an}是递减数列，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 2. 对任意的a1∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足 an＋1＞an（n∈N*），则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） √ 解析：　根据题意，由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞ an，即函数y＝f（x）的图象上任意点（x，y）都满足y＞x.结合图象， 可知只有A满足，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 3. 若数列{an}满足anan＋1an＋2an＋3＝20，则a100＝（　　） A. a1 B. a2 C. a3 D. a4 解析：　由anan＋1an＋2an＋3＝20得an＋1an＋2an＋3an＋4＝20，所以an＝an＋ 4，于是数列{an}的周期为4，所以a100＝a4.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 4. 已知数列{an}的通项公式为an＝ ，其最大项和最小项的值分别为 （　　） A. 1，－ B. 0，－ C. ，－ D. 1，－ 解析：　因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝ ＜0，且单调递减； 当n≥4时，an＝ ＞0，且单调递减，所以最小项为a3＝ ＝－ ， 最大项为a4＝ ＝1.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 5. 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是递增数列，则实 数b的取值范围为（　　） A. [1，＋∞） B. [－2，＋∞） C. （－3，＋∞） D. （－ ，＋∞） 解析：　因为函数f（n）＝n2＋bn图象的对称轴方程为n＝－ ，结合 二次函数的图象可知当－ ＜ ，即b＞－3时，单调递增. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 6. 〔多选〕已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－n2＋8n，则（　　） A. {an}是递减数列 B. a10＝－11 C. 当n＞4时，an＞0 D. 当n＝4时，Sn取得最大值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 解析： 　数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，当n≥2时，an＝Sn－ Sn－1＝－n2＋8n－[－（n－1）2＋8（n－1）]＝－2n＋9，a1＝S1＝7满 足上式，因此an＝－2n＋9，对于A，an＋1－an＝－2＜0，即an＋1＜an， 因此{an}是递减数列，A正确；对于B，a10＝－11，B正确；对于C，当n ＞4时，an≤a5＝－1＜0，C错误；对于D，当n≤4时，an≥a4＝1＞0，数 列{an}前4项都为正，从第5项起都为负，因此当n＝4时，Sn取得最大值， D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 7. 〔多选〕若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），记数 列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是（　　） A. Tn无最大值 B. an有最大值 C. T2 025＝1 D. a2 025＝2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 解析： 　∵a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），∴a3＝2，a4＝1， a5＝ ，a6＝ ，a7＝1，a8＝2，…，因此数列{an}是周期为6的周期数 列，an＋6＝an，∴an有最大值2，a2 025＝a3＝2，又∵T1＝1，T2＝2，T3＝ 4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…，∴{Tn}是周期为6的周期 数列，Tn＋6＝Tn，∴Tn有最大值4，T2 025＝T3＝4.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 8. 已知数列{an}的通项公式为an＝｜n－ ｜，则an的最小项为 　 ， 此时n的值为 ⁠. 解析：因为an＝｜n－ ｜，所以当n＝1，2，3时，an＝ －n，此时an 的最小项为 ，对应的n＝3；当n＞3，n∈N*时，an＝n－ ，此时an的 最小项为 ，对应的n＝4.综上所述，an的最小项为 ，此时n＝3. ​ 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 9. 请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列； ②{an}为单调递增数列；③0＜an＜2.这个数列的通项公式可以是 ⁠ ⁠. 解析：因为函数an＝2－ 的定义域为N*，且an＝2－ 在N*上单调递增，0 ＜2－ ＜2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－ . an＝2 － （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 10. 在数列{an}中，已知an＝－ （n≥2，n∈N*）. （1）求证an＋2＝an； 解： 证明：当n≥1时，因为an＋2＝an＋1＋1＝－ ＝－ ＝an，所 以an＋2＝an成立. （2）若a4＝4，求a20的值； 解： 由（1）知数列{an}是以2为周期的周期数列，所以a20＝a4＝4. （3）若a1＝1，求a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7的值. 解： 因为a1＝1，所以a2＝－1，因为数列的周期为2，所以（a1＋ a2）＋（a3＋a4）＋（a5＋a6）＋a7＝a1＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 11. 已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1. （1）求a1，a2和an； 解：因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1，　① 当n＝1时，a1＝31－1＝2. 当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝3n－1－1，　② 由①－②得nan＝3n－3n－1＝2·3n－1，所以an＝ ， 当n＝1时，a1＝ ＝2，所以a1也满足an＝ ， 当n＝2时，a2＝ ＝3，故a1＝2，a2＝3，an＝ ，n∈N*. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 （2）证明：数列{an}为递增数列. 解：证明：由（1）知，an＝ ， 易知an＞0， 则 ＝ ＝ ， 又 －1＝ ＞0对一切n∈N*恒成立，所以 ＝ ＞1， 得到an＋1＞an对一切n∈N*恒成立，所以数列{an}为递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 12. 已知数列{an}中，an＝1＋ （n∈N*，a∈R且a≠0）. （1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； 解：当a＝－7时，an＝1＋ （n∈N*）. 结合函数f（x）＝1＋ 的单调性， 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N*）. ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 （2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围. 解：an＝1＋ ＝1＋ ， 已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立， 结合函数f（x）＝1＋ 的单调性， 可知5＜ ＜6， 即－10＜a＜－8， 即a的取值范围是（－10，－8）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第二册 THANKS 演示完毕 感谢观看 $