第4章 培优课 等差数列 能力提升（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦等差数列能力提升，核心涵盖利用前n项和求项的比值、构造等差数列、求数列{|an|}的前n项和三大模块。通过复习等差数列基本概念与前n项和公式导入，逐步过渡到复杂问题，搭建从基础到培优的学习支架。 其亮点在于以逻辑推理和数学运算为核心素养，通过例题解析（如构造数列{1/(an-2)}）和分类讨论（如{|an|}分段求和），培养学生数学思维与表达能力。采用讲练结合模式，学生能提升解题技巧，教师可直接用于培优教学，提高课堂效率。

培优课　等差数列 能力提升 1 1.能利用等差数列前n项和求解项的比值问题（数学运算）. 2.掌握简单的构造等差数列问题（逻辑推理、数学运算）. 3.会求数列{｜an｜}的前n项和（数学运算）. 重点解读 【例1】　（1）已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn， 若 ＝ ，则 ＝（　B　） A. B. C. D. 解析：利用等差数列前n项和的性质得 ＝ ＝ ＝ . B 一、利用等差数列前n项和求解项的比值问题 数学·选择性必修第二册 （2）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若 ＝ ，则 ＝（　B　） A. B. C. D. 解析：因为数列{an}，{bn}均为等差数列，故由 ＝ ，可设Sn＝n （2n＋1）k，Tn＝n（3n－1）k，则a7＝S7－S6＝105k－78k＝27k，b5 ＝T5－T4＝70k－44k＝26k，则 ＝ ＝ .故选B. B 数学·选择性必修第二册 【规律方法】 若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则 ＝ ， ＝ · . 数学·选择性必修第二册 训练1　（1）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若 ＝ ，则 ＝（　C　） A. B. C. D. 解析： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .故选C. C 数学·选择性必修第二册 （2）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且 ＝ ，则 ＝ 　​ 　. 解析： ＝ × ，即 ＝ × ，所以 ＝ × ＝ . ​ 数学·选择性必修第二册 二、构造等差数列的应用 【例2】　已知数列{an}满足an＋1＝ ，且a1＝3（n∈N*）. （1）求证：数列{ }是等差数列； 解：证明：由题意得 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ ， 所以 － ＝ ，故数列{ }是等差数列. （2）求数列{an}的通项公式. 解：由（1）知 ＝ ＋（n－1）× ＝ ，所以an＝ . 数学·选择性必修第二册 【规律方法】 　当已知数列{an}不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列， 利用等差数列的通项公式，求出含an的式子与n的关系式，进而求出an.由 递推公式转化为等差数列的常见形式如下： （1）转化为（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝常数，则数列{an＋1－an} 是等差数列； （2）转化为 － ＝常数，则数列{ }是等差数列； （3）转化为 － ＝常数，则数列{ }是等差数列； （4）转化为 － ＝常数，则数列{ }是等差数列； （5）转化为 － ＝常数，则数列{ }是等差数列. 数学·选择性必修第二册 训练2　在数列{an}中，若a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0（n≥2， n∈N*），求数列{an}的通项公式. 解：由已知3anan－1＋an－an－1＝0， 在等式两侧同除以anan－1，得3＋ － ＝0⇒ － ＝3， 即数列{ }是以1为首项，3为公差的等差数列， 故有 ＝1＋3（n－1）⇒an＝ . 数学·选择性必修第二册 三、求数列{｜an｜}的前n项和 【例3】　已知数列{an}中，a1＝ ，an＝2－ （n≥2，n∈N*），数 列{bn}满足bn＝ （n∈N*）. （1）证明{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式； 数学·选择性必修第二册 解：证明：bn－bn－1＝ － ＝ － ＝ － ＝1， 又b1＝ ＝－ ，∴数列{bn}是以－ 为首项，1为公差的等差数列. ∴bn＝b1＋（n－1）×1＝n－ . 数学·选择性必修第二册 （2）令Tn＝｜b1｜＋｜b2｜＋｜b3｜＋…＋｜bn｜，求Tn. 解：记{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝ ， 由bn＝n－ ≥0，得n≥ ，即n≤13时，bn＜0；n≥14时，bn＞0， ①n≤13时，Tn＝｜b1｜＋｜b2｜＋｜b3｜＋…＋｜bn｜＝－b1－b2－b3 －…－bn＝－Sn＝ . 数学·选择性必修第二册 ②n＞13时Tn＝｜b1｜＋｜b2｜＋｜b3｜＋…＋｜bn｜＝－b1－b2－b3 －…－b13＋b14＋b15＋b16＋…＋bn＝Sn－2S13＝ . ∴Tn＝ 数学·选择性必修第二册 【规律方法】 　求数列{｜an｜}的前n项和的步骤 （1）解不等式an≥0（或an≤0）寻找{an}的正负项分界点； （2）求和：①若{an}各项均为正数（或均为负数），则{｜an｜}各项的 和等于{an}的各项的和（或其相反数）；②若a1＞0，d＜0（或a1＜0，d ＞0），这时数列{an}只有前面有限项为正数（或负数），可分段求和再 相加. 数学·选择性必修第二册 训练3　已知等差数列{an}的前n（n∈N*）项和为Sn，且a2＝3，S8＝64. （1）求数列{an}的通项公式an； 解：设等差数列{an}的公差为d. ∵a2＝3，S8＝64， ∴ 即 解得 ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1. 数学·选择性必修第二册 （2）设bn＝｜9－an｜，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由（1）得bn＝｜9－an｜＝｜9－（2n－1）｜＝｜10－2n｜，设cn ＝10－2n，{cn}的前n项和为Pn， 则Pn＝ ×n＝－n2＋9n， 当1≤n≤5时，bn＝cn，Tn＝－n2＋9n. 当n≥6时，bn＝－cn， Tn＝（c1＋c2＋…＋c5）－（c6＋c7＋…＋cn）＝P5－（Pn－P5）＝2P5 －Pn＝n2－9n＋40， 综上，Tn＝ 数学·选择性必修第二册 1. 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对一切自然数n，都有 ＝ ，则 ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　∵S13＝ ＝13a7，T13＝ ＝13b7， ∴ ＝ ＝ .故选D. √ 数学·选择性必修第二册 2. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{｜an｜}的前10项和 为（　　） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 解析：　因为Sn＝n2－5n＋2，所以当n≥2时，Sn－1＝（n－1）2－5n ＋7，则an＝Sn－Sn－1＝2n－6（n≥2），当n＝1时，a1＝S1＝－2，不满 足上式，故an＝ 则数列{an}从第2项开始成等差数列， 且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，所以数列{｜an｜}的前10 项和为－a1－a2＋a3＋…＋a10＝4＋ ＝60. √ 数学·选择性必修第二册 3. 若在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋ ＋ ，则a7＝ ⁠. 解析：因为an＋1＝an＋ ＋ ＝（ ＋ ）2，所以 － ＝ ， 即{ }是首项为 ＝1，公差为 的等差数列，可求得an＝ （n＋1） 2，故a7＝ ＝16. 16 数学·选择性必修第二册 课堂小结 1. 理清单 （1）利用等差数列前n项和求解项的比值问题； （2）构造等差数列的应用； （3）求数列{｜an｜}的前n项和. 2. 应体会 求数列{｜an｜}的前n项和要注意分类讨论思想的应用. 3. 避易错 求数列{｜an｜}的前n项和时分类错误. 数学·选择性必修第二册 课时作业 1. 已知数列{an}满足an＋1－an－2＝0，a1＝－5，则a6＝（　　） A. 5 B. 9 C. 15 D. 18 解析：　an＋1－an－2＝0，即an＋1－an＝2，可得数列{an}是等差数列， 公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以a6＝5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝ ，则 ＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数 列，设S3＝k，S6＝4k（k≠0），则S9－S6＝5k，S12－S9＝7k，S12＝ 16k，所以 ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 3. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜ a10｜＝（　　） A. 68 B. 67 C. 65 D. 56 解析：　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n－[（n－1）2－4（n－ 1）]＝2n－5；当n＝1时，a1＝S1＝－3符合上式，所以an＝2n－5.所 以 ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝｜－3｜＋｜－1｜＋1＋3＋5＋…＋15 ＝68. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 4. 已知数列{an}的首项a1＝0，an＋1＝an＋2 ＋1，则a20＝ （　　） A. 99 B. 101 C. 399 D. 401 解析：　由an＋1＝an＋2 ＋1，可得an＋1＋1＝（ ＋ 1）2，故 － ＝1，所以{ }是以1为首项，1为 公差的等差数列，所以 ＝n，即an＝n2－1，故a20＝202－1＝ 399，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 5. 〔多选〕等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn， ＝ ， n∈N*，则下列说法正确的有（　　） A. 数列 是递增数列 B. ＝ C. ＝ D. ＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 解析： 　 ＝ ＝ ＝2－ ，所以 是递增数列，A选 项正确； ＝ ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ，B选项正确； ＝ ＝ ，C选项错误；当n＝1时， ＝ ＝ ≠ ，D选项错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 6. 〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn＝33n－n2，则下列说法正确的 是（　　） A. an＝34－2n B. 仅有S16为Sn的最小值 C. ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝272 D. ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝450 √ √ 解析：A选项，Sn＝33n－n2中，当n＝1时，a1＝33－12＝32，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝33n－n2－33（n－1）＋（n－1）2＝－2n＋34，显然a1＝32满足an＝34－2n，故an＝34－2n，A正确；B选项，因为当 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 1≤n≤16时，an＞0，a17＝0，当n≥18时，an＜0，故S16，S17为Sn 的最大值，B错误；C选项，a16＝34－32＝2，故｜a1｜＋｜a2｜＋… ＋｜a16｜＝a1＋a2＋…＋a16＝ ＝272，C正确；D选项，a17＝0，a30＝34－60＝－26，｜a17｜＋｜a18｜＋…＋｜a30｜ ＝－（a17＋a18＋…＋a30）＝－ ＝182，由C知，｜a1｜ ＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝272，故｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝272 ＋182＝454，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 7. 已知数列{an}的通项公式为an＝｜19－2n｜，n∈N*，则其前20项的和 为 ⁠. 解析：由an＝｜19－2n｜，当n≤9时，an＝19－2n，当n≥10时，an＝ 2n－19，所以S20＝a1＋a2＋…＋a9＋a10＋a11＋…＋a20＝17＋15＋…＋1 ＋1＋3＋…＋21＝ ＋ ＝202. 202 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 8. 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，且 ＝ ＋ （n≥2， n∈N*），则当 取得最大值时，n的值为 ⁠. 2 解析：因为 ＝ ＋ （n≥2，n∈N*），所以2nan＝（n－1）an －1＋（n＋1）an＋1（n≥2，n∈N*），所以数列{nan}是等差数列，又a1 ＝1，a2＝4，所以数列{nan}是以1为首项，2×a2－1×a1＝7为公差的等 差数列，所以nan＝7n－6，所以 ＝ ＝ － ＝－6（ － ）2＋ ，因为n∈N*，1＜ ＜2，且 ＝ － ＝1， ＝ － ＝2，2＞1， 所以当n＝2时， 取得最大值2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 9. 设数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn－an＝n2，n∈N*. （1）证明：数列{an＋an＋1}是等差数列； 解：证明：∵2Sn－an＝n2， ∴当n≥2时，2Sn－1－an－1＝（n－1）2， 两式相减得2Sn－an－（2Sn－1－an－1）＝n2－（n－1）2＝2n－1， 又∵2Sn－an－（2Sn－1－an－1）＝2Sn－2Sn－1－an＋an－1＝2an－an＋an－ 1＝an＋an－1.∴an＋an－1＝2n－1， 故（an＋1＋an）－（an＋an－1）＝[2（n＋1）－1]－（2n－1）＝2，且 a2＋a1＝3，∴数列{an＋1＋an}是以3为首项，2为公差的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 （2）求S20. 解：由（1）知an＋an－1＝2n－1（n≥2）， ∴S20＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋（a5＋a6）＋…＋（a19＋a20） ＝3＋7＋11＋…＋39＝ ＝210. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 10. 在等差数列{an}中，a100＝－100，且a50＋a200＝0. （1）求{an}的通项公式； 解： 设{an}的公差为d.因为a50＋a200＝0，所以a125＝0. 因为a100＝－100，所以 解得 故an＝－496＋（n－1）×4＝4n－500. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 （2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn. 解： 设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n2－498n. 当n≤125时，Tn＝｜Sn｜＝498n－2n2； 当n≥126时，Tn＝－（a1＋a2＋…＋a125）＋a126＋…＋an＝Sn－2S125＝ 2n2－498n＋62 000. 故Tn＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 11. 已知正项数列{an}满足a1＝1， ＋ ＝2 ，且a4－a2＝ . （1）求数列{ }的通项公式； 解： 由已知得， － ＝ － ， 所以数列{ }是等差数列，设其公差为d. 由a4－a2＝ ，得 － ＝2. 所以2d＝2，即d＝1， 所以 ＝ ＋（n－1）d＝n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 （2）求满足不等式an＋5＋1＜2an的正整数n的最小值. 解： 由an＞0，得an＝ ， 所以原不等式可化为 ＋1＜2 ， 两边平方可得n＋6＋2 ＜4n，即2 ＜3n－6， 所以4（n＋5）＜（3n－6）2，整理得（n－4）（9n－4）＞0， 解得n＞4或n＜ . 因为n∈N*，故n的最小值为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册 THANKS 演示完毕 感谢观看 $