4.4 数学归纳法（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“数学归纳法”，通过“公鸡归纳法”故事导入，对比不完全归纳法的局限性，自然引出数学归纳法原理，进而展开证明等式、不等式及“归纳—猜想—证明”的应用，构建完整知识脉络。 其亮点在于以生动情境培养数学抽象，通过归纳奠基与递推步骤强化逻辑推理，如数列通项猜想证明体现数学表达。题型丰富且小结清晰，助力学生掌握方法，教师可高效开展教学，提升学生数学思维与探究能力。

4.4　*数学归纳法 1 1.了解数学归纳法的原理（数学抽象）. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题（逻辑推理）. 课标要求 　清华大学数学系赵访熊教授（1908—1996）给大学一年级学生 讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学 归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事： 某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡 则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃到米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”. 情境导入 知识点一　数学归纳法 01 知识点二　用数学归纳法证明等式 02 知识点三　用数学归纳法证明不等式 03 课时作业 05 目录 知识点四　归纳—猜想—证明 04 4 知识点一 数学归纳法 01 PART 目 录 问题　（1）如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判 断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示：不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳 法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜 想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能 否成立，只能留给你们了. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示：要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块 倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能 倒下.像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推 理方法叫做数学归纳法.它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个 字，但其结论是正确的. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成 立，这种证明方法称为数学归纳法. 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 证明形式：记P（n）是一个关于正整数n的命题. 条件：（1）P（n0）为真；（2）若P（k）（k∈N*，k≥n0）为真，则 P（k＋1）也为真. 结论：P（n）为真. 　　提醒：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程 中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清 由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项. 数学·选择性必修第二册 目 录 【例1】 （1）用数学归纳法证明不等式2n＞（n＋1）2（n∈N*）时，初 始值n0应等于（　D　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 解析：由题意，得当n＝1时，21＜（1＋1）2；当n＝2时，22＜（2＋1） 2；当n＝3时，23＜（3＋1）2；当n＝4时，24＜（4＋1）2；当n＝5时，25 ＜（5＋1）2；当n＝6时，26＞（6＋1）2，所以用数学归纳法证明不等式 2n＞（n＋1）2（n∈N*）时，初始值n0应等于6. D 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）设S1＝12，S2＝12＋22＋12，S3＝12＋22＋32＋22＋12，…，Sn＝12＋ 22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12，用数学归纳法证明“Sn＝ ”的过 程中，第二步从k到k＋1应添加的项为 ⁠. 解析：当n＝k时，Sk＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12；当n＝k＋1时，Sk＋ 1＝12＋22＋…＋k2＋（k＋1）2＋k2＋…＋22＋12，可见，从k到k＋1应添 加的项是（k＋1）2＋k2. （k＋1）2＋k2 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 数学归纳法的三个关键点 （1）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一 定是1； （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数 的变化，弄清式子两边的构成规律； （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练1　对于不等式 ＜n＋1（n∈N*），某同学用数学归纳法的证 明过程如下： （1）当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立. （2）假设当n＝k（k≥1且k∈N*）时，不等式成立，即 ＜k＋ 1，则当n＝k＋1时， ＝ ＜ ＝ ＝（k＋1）＋1，所以当n＝k＋ 1时，不等式成立. 数学·选择性必修第二册 目 录 A. 过程全部正确 B. n＝1验证不正确 C. 归纳假设不正确 D. 从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析：在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法. 则上述证法（　　） √ 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点二 用数学归纳法证明等式 02 PART 目 录 【例2】 （链接教材P47例2）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋ （2n－1）× ＝2n（2n－3）＋3（n∈N*）. 证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2×（2－3）＋3＝1，左边＝右 边，所以等式成立. （2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立， 即1＋3×2＋5×22＋…＋（2k－1）×2k－1＝2k（2k－3）＋3， 则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋（2k－1）×2k－1＋（2k＋1） ×2k＝2k（2k－3）＋3＋（2k＋1）×2k ＝2k（4k－2）＋3＝ [2（k＋1）－3]＋3， 即当n＝k＋1时，等式也成立. 由（1）（2）知，等式对任何n∈N*都成立. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： （1）n＝n0时，等式的结构； （2）n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k 时的代数式增加（或减少）的项. 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项（哪一个数）开始，即第一项； ②代数式相邻两项之间的变化规律； ③代数式中最后一项（最后一个数）与n的关系. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练2　用数学归纳法证明：（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（n2＋n）＝ n （n＋1）（n＋2）（n∈N*）. 证明：当n＝1时，左边＝2，右边＝ ×1×2×3＝2，等式成立. （2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立， 即（12＋1）＋（22＋2）＋…＋（k2＋k）＝ k（k＋1）·（k＋2）， 那么当n＝k＋1时， 数学·选择性必修第二册 目 录 （12＋1）＋（22＋2）＋…＋（k2＋k）＋[（k＋1）2＋（k＋1）]＝ k （k＋1）（k＋2）＋（k＋1）2＋（k＋1）＝ k（k＋1）（k＋2）＋ （k＋1）（1＋k＋1）＝ （k＋1）·（k＋2）（k＋3）＝ （k＋1） [（k＋1）＋1][（k＋1）＋2]，即当n＝k＋1时，等式也成立. 根据（1）和（2）可知，等式对任意正整数n都成立. 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点三 用数学归纳法证明不等式 03 PART 目 录 【例3】 用数学归纳法证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ （n≥2， n∈N*）. 证明：（1）当n＝2时，左边＝ ＝ ，右边＝1－ ＝ ，∵ ＜ ，∴不 等式成立. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立， 即 ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ . 则当n＝k＋1时， ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＜1－ ＋ ＝1－ ＝1 － ＜1－ ＝1－ . ∴当n＝k＋1时，不等式也成立. 根据（1）和（2）知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 （1）适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不 容易证，则可考虑应用数学归纳法； （2）关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使 用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基 本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练3　用数学归纳法证明： ＋ ＋…＋ ＞ （n≥2，n∈N*）. 证明：（1）当n＝2时， 左边＝ ＋ ＋ ＋ ＞ ，不等式成立. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时不等式成立， 即 ＋ ＋…＋ ＞ ， 则当n＝k＋1时， ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋…＋ ＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋（3× － ）＝ ， 所以当n＝k＋1时不等式也成立. 由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立. 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点四 归纳—猜想—证明 01 PART 目 录 【例4】 在数列{an}中，a1＝ ，an＋1＝ （n＝1，2，3，…）. （1）求a2，a3，a4； 解： a2＝ ＝ ＝ ， a3＝ ＝ ＝ ， a4＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 解：猜想数列{an}的通项公式为an＝ ， 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，左边＝a1＝ ，右边＝ ＝ ，结论成立. ②假设当n＝k（k≥1）时，结论成立，即ak＝ ， 那么ak＋1＝ ＝ ＝ ， 即当n＝k＋1时结论也成立， 根据①和②可知，结论对任意正整数n都成立，即an＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 1. “归纳—猜想—证明”的一般环节 数学·选择性必修第二册 目 录 2. “归纳—猜想—证明”的主要题型 （1）已知数列的递推公式，求通项或前n项和； （2）由一些恒成立的等式、不等式改编的探究性问题，以及求使命题成 立的参数值问题； （3）给出一些简单的命题（n＝1，2，3，…），猜想并证明对任意正整 数n都成立的一般性命题. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练4　试比较2n＋2与n2的大小（n∈N*），并用数学归纳法证明你的 结论. 解：当n＝1时，21＋2＝4＞12＝1， 当n＝2时，22＋2＝6＞22＝4， 当n＝3时，23＋2＝10＞32＝9， 当n＝4时，24＋2＝18＞42＝16， 由此可以猜想，2n＋2＞n2（n∈N*）. 数学·选择性必修第二册 目 录 （1）当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边＞右边，所以原不 等式成立； 当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边＞右边，所以原不等 式成立； 当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边＞右边，所以原不等式成立. 下面用数学归纳法证明： 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）假设当n＝k（k≥3，且k∈N*）时，不等式成立，即2k＋2＞k2. 那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2（2k＋2）－2＞2k2－2. 又因为2k2－2－（k＋1）2＝k2－2k－3＝（k－3）·（k＋1）≥0， 即2k2－2≥（k＋1）2，故2k＋1＋2＞（k＋1）2成立. 根据（1）和（2），原不等式对于任意n∈N*都成立. 数学·选择性必修第二册 目 录 1. 用数学归纳法证明：1＋2＋…＋（2n＋1）＝（n＋1）·（2n＋1）， 在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是（　　） A. 1 B. 1＋3 C. 1＋2＋3 D. 1＋2＋3＋4 解析：　当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故选C. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一 步证明中的起始值n0应取（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 解析：　当n取1，2，3，4时，2n＞n2＋1都不成立，当n＝5时，25＝32 ＞52＋1＝26，所以第一个能使2n＞n2＋1成立的n的值为5.故起始值n0应 取5. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则当n＝k＋1时，左 端在n＝k时的左端加上 ⁠. 解析：n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3 ＋…＋k2＋（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2. （k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2 数学·选择性必修第二册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）数学归纳法的概念； （2）数学归纳法的应用； （3）归纳—猜想—证明. 2. 避易错 （1）对n0取值的问题易出错； （2）增加或减少的项数易出错. 数学·选择性必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－2）π”时，归纳奠基 中n0的取值应为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步 是（　　） A. 假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确 B. 假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确 C. 假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确 D. 假设n＝k（k≥1），再推n＝k＋2时正确（以上k∈N*） 解析：　因为n为正奇数，根据数学归纳法证明步骤，第二步应先假设 第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1时正确，再推第（k＋1）个正 奇数即n＝2k＋1时正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－ ＋ － ＋…＋ ＝2（ ＋ ＋…＋ ）时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时命题为真，则 还需要再证（　　） A. n＝k＋1时等式成立 B. n＝k＋2时等式成立 C. n＝2k＋2时等式成立 D. n＝2（k＋2）时等式成立 解析：　由数学归纳法的证明步骤可知，假设n＝k（k≥2，k为偶数） 时命题为真，还需要再证明下一个偶数，即n＝k＋2时等式成立.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 利用数学归纳法证明不等式1＋ ＋ ＋…＋ ＜n（n≥2，n∈N*） 的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了（　　） A. 1项 B. k项 C. 2k－1项 D. 2k项 解析：　当n＝k时，不等式左边的最后一项为 ，而当n＝k＋1时， 最后一项为 ＝ ，并且不等式左边每一项分母的变化规律是每 一项比前一项加1，故增加了2k项. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 5. 〔多选〕已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*）及其证明： （1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立. （2）假设n＝k（k∈N*）时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成 立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝ ＝ －1，所 以n＝k＋1时等式也成立.由（1）（2）知，对任意的正整数n等式都成 立.则（　　） A. 命题正确 B. 命题不正确 C. 推理都正确 D. 推理不正确 解析： 　推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结 论，由等比数列求和公式知命题正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 6. 〔多选〕用数学归纳法证明不等式 ＋ ＋ ＋…＋ ＞ －1 （n∈N*，n≥2）时，以下说法正确的是（　　） A. 第一步应该验证当n＝1时不等式成立 B. 从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 C. 从“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项 D. 当n＝2时不等式左边是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 解析： 第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确；因为 ＋ ＋ ＋…＋ －（ ＋ ＋ ＋…＋ ）＝ ＋ ＋…＋ （k∈N*），所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 ＋ ＋…＋ ，所以B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，所以C正确；当n＝2时， ＝ ，不等式左边是 ，所以D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 7. 用数学归纳法证明不等式1＋ ＋ ＋…＋ ＞ （n∈N*）成立，其 初始值至少应取 ⁠. 解析：已知可转化为 ＞ ，整理得2n＞128，解得n＞7，故原 不等式的初始值为8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 8. 设f（n）＝1＋ ＋ ＋…＋ （n∈N*），那么f（n＋1）－f （n）＝ ⁠. 解析：注意末项与首项，所以f（n＋1）－f（n）＝ ＋ ＋ . ＋ ＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 9. 若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n＝1，2，3，…），则a5 ＝ ，归纳猜想an＝ ⁠. 解析：因为an＋1＝2an＋1（n＝1，2，3，…），且a1＝1，所以a2＝2×1 ＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.猜想an ＝2n－1.用数学归纳法证明：①当n＝1时，显然猜想成立；②假设n＝k 时，ak＝2k－1，则ak＋1＝2ak＋1＝2×（2k－1）＋1＝2k＋1－1.故n＝k＋ 1时，猜想也成立.综上，对所有正整数n，都有an＝2n－1. 31 2n－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 10. 用数学归纳法证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝1－ （n∈N*）. 证明：（1）当n＝1时，左边＝ ，右边＝1－ ＝ ，等式成立. （2）假设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝1－ ， 那么当n＝k＋1时，左边＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＝1－ ＋ ＝1－ ＝1－ .所以当n＝k＋1时，等式也成立. 根据（1）和（2）可知，等式对任意n∈N*都成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 11. 平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表 达式为（　　） A. n＋1 B. 2n 解析：　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋ （1＋2）＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋（1＋2＋3）＝7个区 域；…；n条直线最多可将平面分成1＋（1＋2＋3＋…＋n）＝1＋ ＝ 个区域. C. D. n2＋n＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 12. 〔多选〕已知一个命题p（k），k＝2n（n∈N*），若当n＝1， 2，…，1 000时，p（k）成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正 确的是（　　） A. p（k）对k＝528成立 B. p（k）对每一个自然数k都成立 C. p（k）对每一个正偶数k都成立 D. p（k）对某些偶数可能不成立 解析： 　由题意知p（k）对k＝2，4，6，…，2 002成立，当k取其他 值时不能确定p（k）是否成立，故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 13. 用数学归纳法证明n3＋5n（n∈N*）能被6整除的过程中，当n＝k＋1 时，（k＋1）3＋5（k＋1）式子应变形为 ⁠ ⁠. 解析：（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝（k3＋5k）＋ 3k2＋3k＋6＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.∵k（k＋1）为偶数，∴3k （k＋1）能被6整除，∴（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为（k3＋5k）＋3k （k＋1）＋6. （k3＋5k）＋3k（k＋1）＋ 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 14. 已知n＞2，n∈N*.用数学归纳法证明：1＋ ＋ ＋…＋ ＞ . 证明：（1）当n＝3时，左边＝1＋ ＋ ，右边＝ ＝2，左边＞右 边，不等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式成立， 即1＋ ＋ ＋…＋ ＞ . 当n＝k＋1时，1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＞ ＋ ＝ ＝ ＞ ＝ ＝ ，所以1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＞ ， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 由（1）（2）知对一切n＞2，n∈N*，不等式恒成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 15. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）. （1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； 解：∵a1＝1，Sn＝n2an，∴S1＝a1＝1； 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4a2，可得a2＝ ，S2＝1＋ ＝ ； 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝9a3，可得a3＝ ，S3＝1＋ ＋ ＝ ； 当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得a4＝ ，S4＝ .猜想Sn＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. 解：①当n＝1时，猜想显然成立. ②假设当n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即Sk＝ ， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＝（k＋1）2ak＋1＝（k＋1）2·（Sk＋1－Sk）， ∴（k2＋2k）Sk＋1＝（k＋1）2Sk＝（k＋1）2· ， ∴Sk＋1＝ .故当n＝k＋1时，猜想也成立. 由①和②可知，对于任意的n∈N*都有Sn＝ . 又∵Sn＝n2an，∴an＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $