4.4 数学归纳法-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数学选择性必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P L.在等比数列{a.}中，S。是它的前n项和，若 是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两 Sn=3×2+a,则a= ( 项的和为24，则此等比数列的项数为() A.3 B.2 C.-2 D.-3 A.12 B.10 2.已知等比数列{am}的公比为2，且其前5项和 C.8 D.6 为1，那么{a.}的前10项和等于 4.设等比数列{an}的前n项和为Sm,若q=2, A.31 B.33 C.35 D.37 S1o=36,则a1十a4十a5十…十ag= 3.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和 提示完成Ps课时作业（十）和P培优训练（二） 4.4* 数学归纳法 [学习目标]了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题，发展数学抽象、逻辑推理和 数学运算的核心素养. 必备知识基础落实 答案见P 要点数学归纳法 以把数学归纳法证明的形式改写如下： 1.定义 条件：(1)P()为真；(2)若P(k)(k∈N,k≥ 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可 )为真，则P(k+1)也为真.结论：P(n)为真. 按下列步骤进行 辨析 (1)归纳奠基：证明当n=n(∈N)时命题 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×” 成立： (1)用数学归纳法证明题目时可以只证明归纳 (2)归纳递推：以“当n=k(k∈N,k≥)时命 递推 () 题成立”为条件，推出“当 时命题也 (2)数学归纳法证明3≥n(n≥3，n∈N”)的 成立” 第一步是验证n=3. () 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称 3)设=是+中+2十…十则 为数学归纳法。 S=+十中2十中3十中++ >思考：数学归纳法的第一步的初始值是否 一定为1？ (k+1)+(k+1) () (④)利用数学归纳法证明不等式1十号十号+ }+号++2<n≥2，且n∈N)的过 2.改写形式 程中，由n=k变到n=k十1时，左边增加了 记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可 2项 () ·34 第四章数列 关键能力素养提升 答案见P 探究一 用数学归纳法证明等式 【变式1】用数学归纳法证明等式1一22+32一 4++(-1)m=(-1)-nn+1 2 误区防错 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的 情况： (2)弄清从n=k到n=k十1时等式两端增加 了哪些项，减少了哪些项： (3)证明n=k十1时结论也成立，要设法将待 证式与归纳假设建立联系，并向一k十1时 探究二用数学归纳法证明不等式 要证明目标的表达式变形 【例题】用数学归纳法证明等式及3十及十 22 规律总结 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式 3 5X7十+ nn+G∈N (21-1)(21+1)2(2+1) 难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法 证明的第二步，即已知f(k)>g(k),求证 f(k十1)>g(k十1)时应注意灵活运用证明 不等式的一般方法（比较法、分析法、综合 法).具体证明过程中要注意以下两点： (1)先凑假设，作等价变换： (2)瞄准当n=k十1时的递推目标，有目的地 放缩、分析直到凑出结论 【例题2】用数学归纳法证明1+<1+号+ 35 数学选择性必修第二册课堂学案 【变式2】试用数学归纳法证明1+2十号十十 【例题3】已知数列以☆77010之B… 2-≥2aeN (3n-2)(3m+的前n项和为S。,计算S, S2,S,S,根据计算结果，猜想Sm的表达式， 并用数学归纳法进行证明， 【变式3】已知数列{a.}的前n项和为S。,且满足 a1=3,S=aw-1十2十1(n≥2)，求a2,ag,a4 的值，猜想数列{an}的通项公式并用数学归 探究三归纳一猜想一证明 纳法证明. 规律总结 (1)“归纳一猜想一证明”的一般环节 计算 根据条件，准晚计算出前若千项，这 是归钠、绮退的丞确 (归纳 通过规察、分祈、比较、综合、联想， 猜想 猜想出一般的钻论 证明】 对一般结论用数学归纳法进行证明 (2)“归纳一—猜想一证明”的主要题型：①已知 数列的递推公式，求通项或前n项和：②由一 些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命 题成立的参数值是否存在：③给出一些简单 的命题(=1,2,3，…)，猜想并证明对任意正 整数n都成立的一般性命题， ·36· 第四章数列 随堂检测学以致用 答案见Pm 1.用数学归纳法证明3>3n2+3m+1这一不等 3用数学归纳法证明f)=十是十…十是的 式时，应注意n必须为 ( 过程中，f(k十1)-f(k) A.n∈N B.n∈N°，n≥2 C.n∈N°，≥3 D.n∈N',n≥4 4用数学归纳法证明2十子十…十 n+1)2 2.用数学归纳法证明1十a十a2+…十a= 2十2假设n=k时，不等式成立，则当m 1 1 1-a+ 1-a (a≠1，n∈N),在验证n=1时，左边 k十1时，应推证的目标不等式是 计算所得的式子是 提示完成P,课时作业（十一） 章未复习方案 知识网络体系构建 赠双列 为小竹丁的管物 以种一筑蹦序 递减致列 的变北为分 百项公式 类标菲 0.-80 比场必回 常数剑 穷政 4产Dm产 以叫数为 无穷效列」 分类何 半比巾项 列去法 虫木量的汁算 四项公式 的析法 公谁 滋推公因 钢 等比数列 图除法 性圆而 定义8，-，= 到 前项利 a小-①≠1小 公式S= 1-4 1a-(w=1 4n经2d为节数 通顶公：. $■ 哥a产w 州件圆 江木甲型 nadq=1) a+(a-1M! 公式5=matL= 简单应用 2 中网 not ag-1 地州性庆 等光收列 公式推 的前项和 W本显的川纹 知识整合融会贯通 答案见Pg 探究一等差（比）数列的基本运算 【真题1】(1)(2024·全国甲)等差数列{an}的前 L.数列的基本运算以选择、填空题形式出现居 n项和为S。,若S=So,a5=1,则a1= 多，但也可作为解答题的第一问进行考查，主 要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数 A.-2 R C.1 D.2 列中的项、公差、公比及前项和等，一般试题 难度较小 (2)(2024·新课标Ⅱ)记S为等差数列{a.}的 2.通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运 前n项和，若a十a=7,32十山=5，则S。= 算、逻辑推理等核心素养 ·37·随堂检测·学以致用 [变式2]由已知条件可得S.=21+41+616+. 1.C 解当x=1时,S=n;当x1且x0时,S (2n+)-(2+4+6++2n)+(+1. 故选C项. 1[1-()门] 2.C 设等比数列a)的公比为o,由a一3a。十4a:得 )_(22) -3^{}十4,解得?}一4,因为数列{a。)的各项均为正数,所 -# 以q-2,又a+a+a+a=a(1+q+q+q)=a(1+2+ # $$+8)-15,所以a-1,所以a=a^{}-4.故选C . 3.B 设等比数列(a。)的公比为g(q0),因为4a,2a. [例题3]方法一 设每个月还贷a元,第1个月后欠款为 a成等差数列,所以4a}-4a{+a,所以4q-4+^{},所以q 2.所以a.-2-,所以S=a+a+a-1+2+4-7.故选B$ a。元,以后第n个月还货a元后,还剩下欠款a。元(1<n 6),则a-10 o00,a-1.0la-a,a-1.0laì-- 4.解因为a.=n×2”,所以S.-1×2+2×2+3×2+..十 1.01a-(1+1.01)a,..,a-1.0la-a-.=1.0la- nX2 ①,所以2$.=1×2+2×2+..+(n-1)×2+ n2*1②,①-②得-S.-2+2+2+.+2-nx (1+1.01+..+1.01)a.由题意可知a=0,即1.0la- (1+1.01+.-+1.01)a-0即-1.01×10} 1.01-1·因为 1.01~1.061,所以a~1.061×10{ 所以S-(n-1)21+2(n-N). ~1739.故每月应支付 1.061-1 答案(n-1)2I+2(nN) 1739元. 第2课时 等比数列前”项和的性质及应用 方法二一方面,借款10000元,将此借款以相同的条件 必备知识·基础落实 存储6个月,则它的本利和为S-10(1十0.01)*-10*$ 1.01^{}(元);另一方面,设每个月还贷a元,分6个月还清 要点一 指数 y-A-A 正比例 y-ax 到货款还清时,其本利和为S=a(1十0.0l)十a(1十 [辨析]解(1)正确,等比数列的前n项和公式可以写成S。 1.01-1 A”一A(q-1)的形式,所以该数列是等比数列. 10 (元).由S-S,得a-1.01×10{ (2)错误二 1.01-0以下解法同方法一. 所以a~1739,故每月应支付1739元. (3)错误.若a-1,q--1,则S-0,S-S=0,S-S [变式3]A 设共有工只猴子,第n只猴子取栗子的个数 0.不成等比数列. 为a。,则第”只猴子取粟子后,所剩栗子的个数为a。-2 (4)错误,当a<0,0<q1时,等比数列{a。)是递增数列, 故a-(a.-2)+1-- 寸.故a,-a. 此时a。<0,从而(S.)是递减数列,结论错误. (1)(2)×(3)×(4)× (),又a.-2,所以2-a·(),得a-2”,由题 关键能力·素养提升 意得400 a+a+..+a800,即400<2+2+..十 [例题1](1)因为a。)为等比数列,所以S,S一S,S 2<800.即4002(2-1)800,即2012401,易知当 S. 也为等比数列,即4,2,S.-6成等比数列,所以S。-6 且仅当x一8时,符合题意,故选A项。 1.即S一7.故选A项. (2)设r-a:十a:+a+..十aso,y=a+a十a:十.+as 随堂检测·学以致用 1.D解设等比数列a.)的首项为a,公比为q,易知ql 则--3,即x-3y.又x+y-S-32,所以4x-32, 解得:-24. 1-? (1)A(2)24 3×2十a,所以a--3.故选D项. 2.B 解设(a)的公比为q,由题意,o-2,a十a+a+a [变式1](1)由题意知S.+S=-240,S.-S=80,所 -l,则a+a+a+a。+ao-q (a+a+a+a +a) Sx一2.故选D项. 以$$--80,S--160,所以q -2-32,所以S。-1+32-33.故选B$ . 3.C 由题意可知q-2.设该数列为a,a,.,a,则a。十 (2)因为S.-3+1-2k-3×3”-2h,且{a.)为等比数列,所 a1-24.又a-1,所以+-24,即21+2-24,解 得n一4.故项数为8.故选C项. 器(1)D(2)3 4.设a+as+a+.+an=S,则a+a:+as+.十 ao-2S.因为So-36,所以S+2$-36,所以S-12,所以 [例题2]解析(1)设等比数列(a.)的公比为g(o>0),因为 a+a+a+.+a-12 12 $a+2a;-,所以8aìq+2aìq-aìq{,又a-2,所以8+ $^=,解得}=4,所以q-2所以a。=a=2”,$ 4.4* 数学归纳法 N. (2)由(1)知b.-2+2n,所以T.-(2 +2)+(2+4)十 必备知识·基础落实 (2+6)+.+(2+2n)=(2+2+2+..+2)+(2十 要点 4+6 .+2n)=2(2-1)+(2n+2)_21+n+n-2. 1.(2)n-b十1 2 [思考]提不一定,如证明n边形的内角和为(n一2)·180②。 所以数列(b的前n项和为T.-2}+”}+n-2,nN. 第一个值n。-3. ·142. [辨析](1)错误,数学归纳法的两个步骤缺一不可 #10-0.5-10十10×13-1.可以看出,上面表示四 (2)正确,由数学归纳法的归纳奠基知第一步是验证n-3. (3)错误 $-1++2+.+2+21+20+1) 个结果的分数中,分子与项数”一致,分母可用项数n表示 (4)正确,由归纳递推可知左边增加了2*项. (1)X(2)(3)×(4) 明这个猜想 关键能力·素养提升 1,猜想成立. 1 2 (2)假设当一时等式成立,即有3+3+ (2)假设当n-k(N)时猜想成立,即4++ 1 0十1) 14+4×7+710+10×13+.+(3-2)(3+1)+ 10 1 3 (十1) (十1) 1 (1)(十2),即当n一十1时等式也 1. 1 (十)2 [3(+1)-2][3(+1)+1]31+(3+10(3+4) 1。 (2+1)(2+3) 2(2+3) (3十1)(十1) 3^{②}+4+1 3+(3+4)(3+1)(+4-3),所以当 1 成立,综上,由(1)(2)可得,对于任意的nN等式都成立. [变式1]匪明(1)当n-1时,左边-1*-1-右边。 n-h十1时猜想也成立。 (2)假设当n-k(kl,kN*)时等式成立,即有1}-2}+$ 根据(1)和(2)可知,猜想对任意”N都成立. 3-4 +.(-1)- -(-1)- (1),那么,当n一 [变式3]当n-2时,S-a;+2+1,即3十a-8,解得 2r a-5;当n-3时,S-a+3{+1,即3+5+a-15,解得 b+1时,1-2+3-4+.+(-1)*-1+(-1)*(+$ a-7;当n-4时,S.-a+4+1,即3+5+7+a.-24,解 1)(-1)-.(1)十(-1)*·(+1):-(-1)*(+ 得a-9.猜想a.一2n十1,下面用数学归纳法证明:当n-l 2 1)·(+1-)-(-1)*.(+1)(+2),所以当-十 时,a-2x1+1-3,猜想成立;假设当n-k(-N )时, 2 2 1时,等式也成立. 则当n-+1时,S,-a十(+1)+1,所以S+a1= 由(1)(2)知,对任意nN',都有1-2+3-4十..十 a十(+1)+1,所以a-a+(+1)+1-S -2+ (-1)-1*-(-1)~1n(n+1) 1+(+1)*+1-(+2)-2( 十1)十1,所以猜想成立. 综上所述,对于任意nN,a.一2n十1均成立. [例题2](1)当n=1时,3<1+1<3,命题成立. 随堂检测·学以致用 1.D 解当n-1,n-2,n-3时,显然不等式不成立,当”-4 时,不等式64 61成立,故用数学归纳法证明^一3r^+ #1+1.<十人成立,则当一-+十1时,1十 3n+1这一不等式时,应注意”必须为n4,nN.故选 D项. 2.解当n-1时,左边的最高次数为1,即最后一项为a,所以 左边是1十a. 智1十a 3.依题意得/()-1+1++1,/(kh+1)一+ 2+2+2十3+.+-2<寸++2·1-号+(从+ 1).即当n一十1时,命题也成立,由(1)和(2)可知,命题对 所有的nN都成立. [变式2](1)当-2时,1+-<2-1-3,命 4.解析从不等式的结构看,当n一k十1时,不等式左边的最后 题成立。 一项为(十2),前面的分母的底数是连续的整数,右边的式 # 则当一+1时,1+一+寸.+1+(+1)2一 ###1# -2- 章末复习方案 r十1 [真题1](1)由So-S=a+a,+a+a+ao=5as=0, 则a-0,则等差数列{a)的公差l-as-一 由(1),(2)知原不等式在nN,n2时均成立. .143.