4.1.2 数列的递推公式（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦数列的递推公式，系统涵盖递推公式含义、由递推公式求通项公式及an与Sn的关系。通过智力测试数列规律和钢管堆放问题导入，从现实情境出发搭建学习支架，衔接已有数列知识与新递推关系。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以情境问题（如钢管堆放）培养观察能力，用归纳法、累加法等多样化方法（如例2三种解法）发展逻辑推理，规范符号表达（如Sn与an分段讨论）强化数学语言。小结突出易错点，学生能提升运算与推理能力，教师可借助结构化内容高效教学。

第二课时　数列的递推公式 1 1.了解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的项（逻辑推理）. 2.理解数列的前n项和Sn与an的关系（数学运算）. 课标要求 观察某次智力测试中的一道题，数列1，3，6，10，15，…中数字出现的规律是： 　　a2－a1＝3－1＝2， 　　a3－a2＝6－3＝3， 　　a4－a3＝10－6＝4， 　　a5－a4＝15－10＝5， 　　…… 　　你能用an＋1与an的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？这就是这节课我们要学习的内容. 情境导入 知识点一　数列的递推公式 01 知识点二　由递推公式求通项公式 02 知识点三　an与Sn的关系 03 课时作业 04 目录 4 知识点一 数列的递推公式 01 PART 目 录 问题1　观察如图所示的钢管堆放示意图： （1）如果最上面一层为第一层，记第n层的钢管数为an，你能写出an的一 个表达式吗？ 提示：an＝n＋3（1≤n≤7）. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层 之间的关系？ 提示：自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1＝4，a2＝5 ＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：an＝an－1＋1 （2≤n≤7）. 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 如果一个数列的 两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 　　提醒：（1）与数列通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公 式；（2）注意通项公式反映的是an与n之间的关系，递推公式反映的是项 与项之间的关系. 相邻　 数学·选择性必修第二册 目 录 【例1】　（链接教材P6例5）已知数列{an}中，a1＝1，且满足an＝3an－1 ＋ （n∈N*，且n＞1），写出数列{an}的前5项. 解：由题意，得a2＝3a1＋ ， 而a1＝1，所以a2＝3×1＋ ＝ . 同理a3＝3a2＋ ＝10，a4＝3a3＋ ＝ ，a5＝3a4＋ ＝ 91. 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 　由递推公式写出数列的项的方法 （1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关 系，依次代入计算即可； （2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项 的形式. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练1　（1）在数列{an}中，an＋1＝ 若a1＝ ，则a4 ＝（　C　） A. B. C. D. 解析：因为an＋1＝ a1＝ ，所以a2＝2a1－1＝ ，a3＝ 2a2－1＝ ，a4＝2a3＝ . C 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）已知数列{an}满足an＋1＝ ，a5＝2，则a1＝ 　​ 　. 解析：因为an＋1＝ ，a5＝2，令n＝4，2＝ ，所以a4＝ ，令n＝ 3， ＝ ，所以a3＝－1，令n＝2，－1＝ ，所以a2＝2，令n＝1， 2＝ ，所以a1＝ . ​ 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点二 由递推公式求通项公式 02 PART 目 录 问题2　通项公式与递推公式都是表示数列的常见方法，你能比较一下它 们的异同吗？ 提示：相同点：都可以求出数列的任何一项. 不同点：通项公式给定任何一个序号n即可求项an；递推公式要求任一 项，需先确定它的前后项. 数学·选择性必修第二册 目 录 【例2】　（1）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋ － ，则an＝ （　B　） A. B. C. D. B 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：法一（归纳法）　数列的前5项分别为a1＝1，a2＝1＋1－ ＝2－ ＝ ，a3＝ ＋ － ＝2－ ＝ ，a4＝ ＋ － ＝2－ ＝ ，a5＝ ＋ － ＝2－ ＝ ，所以an＝2－ ＝ （n≥2），又a1＝1满足上式，由此可 得数列的一个通项公式为an＝ . 法二（迭代法）　a2＝a1＋1－ ，a3＝a2＋ － ，…，an＝an－1＋ － （n≥2），则an＝a1＋1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝2－ ＝ （n≥2）.又a1＝1也适合上式，所以an＝ （n∈N*）. 数学·选择性必修第二册 目 录 法三（累加法）　an＋1－an＝ － ，a1＝1，a2－a1＝1－ ，a3－a2＝ － ，a4－a3＝ － ，…，an－an－1＝ － （n≥2），以上各式相加 得an＝1＋1－ ＋ － ＋…＋ － .所以an＝ （n≥2）.因为a1＝ 1也适合上式，所以an＝ （n∈N*）. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ an（n∈N*），则an＝ （　D　） A. n＋1 B. n C. D. D 数学·选择性必修第二册 目 录 解析：法一（累乘法）　因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ an （n∈N*），所以 ＝ ，所以an＝ · ·…· · ·a1＝ × ×…× × ×1＝ . 法二（构造特殊数列法）　因为an＋1＝ an（n∈N*），所以（n＋1） ＝nan，所以数列{nan}是常数列，所以nan＝1·a1＝1，所以an＝ . 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 　由递推公式求通项公式的常用方法 （1）归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出 通项公式； （2）迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f（n）（f（n）是可以求和的），使 用累加法或迭代法； ②an＋1＝pan（p为非零常数），或an＋1＝f（n）an（f（n）是可以求积 的），使用累乘法或迭代法； ③an＋1＝pan＋q（p，q为非零常数），适当变形后转化为②中的形式 解决. 数学·选择性必修第二册 目 录 训练2　（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋ － （n≥2），求an； 解：因为an＝an－1＋ － （n≥2）， 所以an－an－1＝ － . 所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝ （ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＋1＝ － ＋1. 又a1＝1也符合上式， 所以an＝ － ＋1，n∈N*. 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1（n≥2），求an. 解：因为ln an－ln an－1＝1，所以ln ＝1，即 ＝e（n≥2）. 所以an＝ · ·…· ·a1＝ ·1＝en－1（n≥2）， 又a1＝1也符合上式， 所以an＝en－1，n∈N*. 数学·选择性必修第二册 目 录 知识点三 an与Sn的关系 03 PART 目 录 问题3　如果我们把数列{an}的前n项加在一起的和记作Sn，那么你能用它 表示a2吗？a6＋a7＋a8＋a9＋a10怎么表示？an呢？ 提示：a2＝S2－S1，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S5，an＝ 数学·选择性必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和， 记作 ，即Sn＝ ⁠. 2. 数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和 与它的 ⁠之间的对应关系可以用 一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. Sn　 a1＋a2＋…＋an　 Sn　 序号n　 数学·选择性必修第二册 目 录 3. an与Sn的关系 an＝ 　　提醒：在应用数列的前n项和公式求通项时，往往容易忽略验证n＝1 时的情况，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只 适用于n≥2的情形. 数学·选择性必修第二册 目 录 【例3】　（链接教材P7思考）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－ 30n.求a1及an. 解：因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2（n－1）2－30（n－1）]＝4n －32， 且当n＝1时，a1＝4×1－32＝－28，依然成立， 所以an＝4n－32，n∈N*. 数学·选择性必修第二册 目 录 变式　（1）将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋ 1”，其他条件不变，求an； 解：因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2（n－1）2－30（n－1）＋ 1]＝4n－32. 当n＝1时不适合上式. 所以an＝ 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）若数列{an}满足a1a2a3…an＝n2，求an. 解：由a1a2a3…an＝n2， 可得n≥2时，有a1a2a3…an－1＝（n－1）2， 两式相除得an＝ ＝（ ）2，n≥2. 当n＝1时，a1＝12＝1不适合上式， 所以an＝ 数学·选择性必修第二册 目 录 【规律方法】 　由Sn求通项公式an的步骤 （1）当n＝1时，a1＝S1； （2）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1； （3）验证a1与an的关系：①若a1适合an（n≥2），则an＝Sn－Sn－1；② 若a1不适合an（n≥2），则an＝ 数学·选择性必修第二册 目 录 训练3　（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an ＝ ⁠； 解析：当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝（2n＋2－3）－（2n＋1－3）＝2n＋1， 当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝ ​ 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an ＝ ⁠. 解析：当n＝1时，由已知可得a1＝21＝2.由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n ①，可得当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1） ＝ ②，由① －②得nan＝2n－ ＝ （n≥2），∴an＝ （n≥2）.显然a1＝ 2不适合上式，∴an＝ ​ 数学·选择性必修第二册 目 录 1. 已知在数列{an}中，a1＝2， ＝an＋n（n∈N*），则a4＝ （　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：　因为a1＝2， ＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2 ＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 已知数列{an}满足a1＝1， － ＝1，则a10＝（　　） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200 解析：　数列{an}满足a1＝1， － ＝1，可得 ＝1， － ＝1， － ＝1，…， － ＝1，叠加可得 ＝10，所 以a10＝100. √ 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 若数列{an}满足（n－1）an＝（n＋1）an－1（n≥2，n∈N*），且a1 ＝1，则a100＝ ⁠. 解析：由（n－1）an＝（n＋1）an－1，得 ＝ （n≥2，n∈N*）， 则a100＝a1· · ·…· ＝1× × ×…× ＝ 5 050. 5 050 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 已知数列{an}的前n项和为Sn， （1）若Sn＝3n＋2，则数列{an}的通项公式为an＝ ⁠； 解析：当n＝1时，a1＝S1＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2）－ （3n－1＋2）＝2·3n－1，a1＝5不满足上式，故an＝ 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）若Sn＝n2－n，则数列{an}的通项公式为an＝ ⁠. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2 －n）－[（n－1）2－（n－1）]＝2n－2，又a1＝0满足an＝2n－2，故 an＝2n－2. 2n－2 数学·选择性必修第二册 目 录 课堂小结 1. 理清单 （1）数列的递推公式； （2）由数列的递推公式求通项公式； （3）数列的前n项和Sn与an的关系. 2. 应体会 利用递推公式求数列的通项公式时，利用了迭代法、累加法、累乘法. 3. 避易错 （1）累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式； （2）由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况. 数学·选择性必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 数列2，4，6，8，10，…的递推公式是（　　） A. an＝an－1＋2（n≥2） B. an＝2an－1（n≥2） C. a1＝2，an＝an－1＋2（n≥2） D. a1＝2，an＝2an－1（n≥2） 解析：　A、B中没有说明第一项，无法递推；D中a1＝2，a2＝4，a3＝ 8，不合题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册 目 录 2. 设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a9＝（　　） A. 15 B. 17 C. 49 D. 64 解析：　由已知，a9＝S9－S8＝92－82＝17. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 3. 已知a1＝1，an＝an－1＋3（n≥2，n∈N*），则数列的通项公式为 （　　） A. an＝3n＋1 B. an＝3n C. an＝3n－2 D. an＝3（n－1） 解析：　因为an＝an－1＋3，所以an－an－1＝3.所以a2－a1＝3，a3－a2 ＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1 ＝3（n－1），因为a1＝1，所以an＝a1＋3（n－1）＝1＋3（n－1）＝ 3n－2.当n＝1时，也适合上式，所以an＝3n－2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 4. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an，则a11＝（　　） A. 512 B. 256 C. 2 048 D. 1 024 解析：　因为an＋1＝2an，即 ＝2，所以 ＝2， ＝2，…， ＝ 2，累乘可得a11＝1 024. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 5. 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝（n＋1）an（n∈N*），且a1＝ 2，则数列{an}的通项公式为（　　） A. －n－1 B. －n C. n＋1 D. 2n 解析：　因为2Sn＝（n＋1）an，n∈N*，所以2Sn＋1＝（n＋2）an＋1， n∈N*，两式相减得2an＋1＝（n＋2）·an＋1－（n＋1）an，整理得nan＋1 ＝（n＋1）an，得 ＝ ，n∈N*，所以 为常数列，所以 ＝ ＝2，所以an＝2n. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 6. 〔多选〕符合递推公式an＝ an－1的数列是（　　） A. 1，2，3，4，… B. 1， ，2，2 ，… C. 3，3 ，6，6 ，… D. 0， ，2，2 ，… 解析：　B与C中从第2项起，后一项是前一项的 倍，符合递推公式 an＝ an－1.A中，后一项与前一项之差为1，递推公式为an＝an－1＋1.D 中，无法推出递推公式.综上，B、C正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 7. 〔多选〕已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的 是（　　） A. a1＝3 B. an＝2n（n≥2） C. an＝2n D. an＝2n（n≥2） 解析：　当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝（2n＋1－1）－（2n－1）＝2n.当n＝1时，不符合上式，故an＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 8. 数列{an}中，已知a1＝5，且an＋1＝an＋（－1）n，则a10＝ ⁠. 解析：因为an＋1＝an＋（－1）n，所以an＋1－an＝（－1）n，所以a10＝ a10－a9＋a9－a8＋…＋a2－a1＋a1＝（－1）9＋（－1）8＋…＋（－1）1 ＋5＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 9. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋ ），则数列{an}的通项公 式an＝ ⁠. 解析：a2＝a1＋ln（1＋ ），a3＝a2＋ln（1＋ ），…，an＝an－1＋ln（1 ＋ ）（n≥2），则an＝a1＋ln（ × × ×…× ）＝2＋ln n （n≥2）.又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n. 2＋ln n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 10. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2 （n≥3）给出. （1）写出此数列的前5项； 解： 因为an＝an－1＋an－2（n≥3），且a1＝1，a2＝2， 所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）通过公式bn＝ 构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项. 解：因为bn＝ ，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， 所以b1＝ ＝ ，b2＝ ＝ ，b3＝ ＝ ，b4＝ ＝ . 故数列{bn}的前4项依次为b1＝ ，b2＝ ，b3＝ ，b4＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 11. 公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着 这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an＋2＝an＋1＋ an（n≥1），那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝（　　） A. a2 023 B. a2 024 C. a2 025 D. a2 026 解析：　由于an＋2＝an＋1＋an（n≥1），则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024 ＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 024＝a5＋a6＋…＋a2 024＝a2 023＋a2 024＝a2 025. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 12. 〔多选〕由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1 ＝2，当n≥2时，bn＝ ，则（　　） A. b3＝5 B. b4＝9 C. b5＝15 D. b6＝33 解析： 　因为an＝2n－1，bn＝ ，所以b2＝ ＝a2＝3，b3＝ ＝a3＝5，b4＝ ＝a5＝9，b5＝ ＝a9＝17，b6＝ ＝a17＝33. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 13. 已知数列{an}满足4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n（n∈N*），则an ＝ ⁠. 解析：由4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n（n∈N*），可得 ＋ ＋…＋ ＝ （n∈N*），所以 ＋ ＋…＋ ＝ （n∈N*，n≥2），两式 相减得 ＝ － ＝ ＝ （n∈N*，n≥2），所以an＝4－ 3n（n∈N*，n≥2），当n＝1时，41－1a1＝1，所以a1＝1，适合上式，所 以an＝4－3n. 4－3n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 14. （1）已知数列{an}中，a1＝1，当n∈N*且n≥2时，（2n＋1）an＝ （2n－3）an－1，求通项公式an； 解：当n≥2时，因为（2n＋1）an＝（2n－3）·an－1，所以 ＝ ， 所以 · · ·…· · ＝ × × ×…× × ＝ . 所以 ＝ ，所以an＝ ， 当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 （2）已知数列{an}满足a1＝ ，an＝an－1＋ （n≥2），求an. 解：因为an＝an－1＋ （n≥2）， 所以an－an－1＝ ＝ － ， 所以a2－a1＝ － ，a3－a2＝ － ，…，an－an－1＝ － （n≥2）. 以上各式相加，得an－a1＝ － （n≥2）， 所以an＝a1＋ － ＝ （n≥2）， 又a1＝ 适合上式，所以an＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 15. 已知数列{an}满足：a1＝m（m为正整数），an＋1＝ 若a4＝4，求m所有可能的取值. 解：若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1. 若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0（舍去）， 若a2为偶数，则 ＝1，a2＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝ （舍去）， 若a1为偶数，则 ＝2，a1＝4； 若a3为偶数，则 ＝4，a3＝8. 若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝ （舍去）， 若a2为偶数，则 ＝8，a2＝16. 若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5， 若a1为偶数，则 ＝16，a1＝32. 故m所有可能的取值为4，5，32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $