期末复习03 解答题压轴十四大类型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

期末复习03 解答题压轴十四大类型 目录 典例详解 类型一、整式加减的应用 类型二、整式加减解决整除问题 类型三、整式加减解决图形周长问题 类型四、整式乘除中的规律问题 类型五、乘法公式与图形面积 类型六、因式分解 类型七、分式的运算 类型八、分式方程 类型九、列分式方程解实际问题 类型十、平移的性质 类型十一、旋转的性质 类型十二、轴对称的性质 类型十三、中心对称的性质 类型十四、图形运动中的综合 压轴专练 类型一、整式加减的应用 1．已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解：能被6整除，理由如下： ， 为正整数， 是正整数， 能被6整除， 即减去的差能被6整除． 2．在数学活动课中，同学们学习了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并且同学们完成了两位数被3整除规律的证明，过程如下：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为和，通常记为．则．因为能被3整除，如果能被3整除，那么也能被3整除，于是能被3整除，即能被3整除．请你通过阅读以上材料后，解决下列问题： (1)写出一个能被3整除的三位数 ． (2)仿照上述证明过程，完成三位数被3整除规律的证明； (3)若四位数能被3整除，请说明也能被3整除． 【答案】(1)123（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解：能被3整除的三位数为123．（答案不唯一） （2）证明：设三位数， ∵， 又∵和都能被3整除， ∴如果能被3整除，那么能被3整除，即三位数能被3整除． （3）解： ， ∵四位数能被3整除， ∴能被3整除， ∵和能被3整除， ∴能被3整除． 3．在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为a，个位上的数字为b，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的和能被11整除． (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为m，个位上的数字为n，十位上的数字是0，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，已知原数大于新数，原数与所得新数的差一定能被哪些自然数整除（1除外），请直接写出答案． 【答案】(1)证明见解析 (2)3，9，11，33，99 【分析】 【详解】（1）证明：由题意可得：原数，新数， 故原数与新数之和为：， 即原数与新数的和能被整除； （2）解：由题意可得：原数，新数， 原数与所得新数的差， 可知原数与所得新数的差能被99整除． ∵， ∴原数与所得新数的差一定能被3，9，11，33，99整除（1除外）． 4．定义：一个三位数，若它的十位数字是个位数字与百位数字的平均数，则称这个数为“均值数”．如258，因为它的个位数字8与百位数字2的平均数是十位数字5，所以258是“均值数”． (1)321 （填“是”或“不是”）“均值数”； (2)最大的“均值数”为_____，最小的“均值数”为______； (3)小强说“均值数”一定能被3整除.你是否同意小强的说法？请说明理由． 【答案】(1)是 (2)999，111 (3)同意，理由见解析 【分析】 【详解】（1）∵ 321的百位数字是3，个位数字是1，其平均数为，与十位数字2一致， ∴ 根据“均值数”的定义，321是“均值数”． 故答案为：是． （2）最大的“均值数”： 百位数字最大取9，个位数字最大取9，此时十位数字为，故最大的“均值数”为999． 最小的“均值数”： 百位数字最小取1，个位数字取1时，十位数字为（若个位取0，十位为0.5，非整数，不符合要求），故最小的“均值数”为111． 故答案为：999；111 （3）同意小强的说法，理由如下： 设三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， 根据“均值数”的定义，得． 该三位数可表示为，将替换为，则： ∵是整数， ∴ “均值数”一定能被3整除． 类型二、整式加减解决整除问题 5．已知甲三角形的周长为，乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边比第二条边短． (1)求乙三角形的第三条边长； (2)通过计算比较甲三角形和乙三角形的周长的大小． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边比第二条边短， ∴第三条边长：； （2）解：∵乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边长为， ∴乙周长：， ∵甲三角形的周长为， ∴ ， ， ,即． ． 6．如图，将边长为的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（） (1)当，时，求拼成的长方形周长； (2)小明说：“如果的值不变，那么不管取什么值，拼成的长方形的周长都不变．”请问小明的说法对吗?请说明理由． 【答案】(1)； (2)小明的说法对，理由见解析． 【分析】 【详解】（1）解：由图可知，拼成的长方形的长为，宽为． 周长公式：， 当，时， ； （2）解：小明的说法对，理由如下： 拼成的长方形的长为，宽为， 周长 ， ∵周长表达式中不含，仅与有关 ∴当的值不变时，不管取何值，周长都不变 ∴小明的说法对． 7．下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 【答案】图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米 【分析】 【详解】解：设小长方形的长为a厘米，宽为b厘米， 由图（2）得：大长方形的长为厘米，大长方形的宽为厘米，， ∵大长方形的长比宽多6厘米， ∴，大长方形的宽为厘米， ∴厘米， ∴图（2）中阴影部分的周长为厘米， 图（1）中阴影部分的周长为厘米， ∵厘米， ∴图（1）中阴影区域的周长大，大12厘米． 8．将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，求没有覆盖的阴影部分的周长． 【答案】44 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y， 则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为， 5号长方形的长为，宽为， 由图①中长方形的周长为36，可得，， 解得， 如图，图②中长方形的周长为53， ∴， ∴， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ． 类型三、整式加减解决图形周长问题 9．综合与实践 如图，某程序团队为一次庆典设计了一个用无人机排布的多层“”形图案展演，图中每个点表示一架无人机，从内至外分别为第一层，第二层，⋯，从第二层开始每一层比前一层多相同的架数，设第一层的架数为，第二层的架数为，第层的架数为． (1)观察与运算：素材中相同的架数是________架，________； (2)猜想与论证： ①猜想________； ②请通过“数学运算”说明猜想是正确的． (3)应用与实践：若现有2000架无人机可供展演，则此种图案最多有多少层？ 【答案】(1)， (2)①，②见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：由图形可得：第一层的架数为，第二层的架数为，第三层的架数为， ∴从第二层开始每一层比前一层多架，． 故答案为：， （2）解：①猜想． ②由图形可得：第一层的架数为， 第二层的架数为， 第三层的架数为， 第四层的架数为， ∴第层的架数为． （3）解：由题意可得：， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴不符合题意，的最大值为， ∴此种图案最多有层． 10．如图，观察下列图形和对应表达式． (1)请在右侧框中画出第5个图形，并写出它对应的表达式． (2)请直接写出第个图形对应的表达式．___________ (3)请用上面的规律计算 【答案】(1)图见解析， (2) (3)7500 【分析】 【详解】（1）解：如图， 第5个图形对应的表达式为， （2）解：第n个图形对应的表达式为， 故答案为：； （3）解： ． 11．由边长为1的灰白两种颜色的小正方形组成大正方形如图所示，图（1）是由1个灰色正方形和3个白色正方形组成的一个面积为4的大正方形，图（2）是由4个灰色正方形和5个白色正方形组成的一个面积为9的大正方形，图（3）是由9个灰色正方形和7个白色正方形组成的一个面积为16的大正方形，⋯ 小明观察图形得到以下对应的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … (1)写出图（6）对应的等式：______； (2)猜想第个图形对应的等式（用含的式子表示）； (3)请计算出从图（1）到图（100）中白色正方形的总个数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】 【详解】（1）解：依题意，第5个等式：， 图6对应的等式：， 故答案为：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 以此类推： 第n个等式：， 故答案为：； （3）解：图1中白色正方形的个数为3； 图2中白色正方形的个数为5； 图3中白色正方形的个数为7； 图4中白色正方形的个数为9； 以此类推： 图n中白色正方形的个数为； 图100中白色正方形的个数为， ， 从图1到图100中白色正方形的总个数为． 12．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ⋯ 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：___________=___________； 第（为正整数）个等式：__________=___________； (2)求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：按以上规律列出第5个等式：， 第（为正整数）个等式： 故答案为：，，，； （2）解： ． 13．“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格.它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，枣庄某中学小聪提出如下问题：设多边形中，有个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数，多边形的边数，多边形内点的个数之间存在怎样的数量关系? 在学习了问题解决策略——归纳的相关内容后，小慧同学采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形时，列表如下： 三角形          … 三角形内点的个数 1 2 3 … 网眼个数（） 3 … (1)上表中_____，_____，根据上述探索过程，猜想并直接写出，之间满足的等量关系______． (2)请类比小慧同学的探索思路，当多边形为四边形（）比如长方形时，先完成表中空缺部分进行探究，再通过归纳直接写出，之间满足的等量关系． 四边形    … 四边形内点的个数 1 2 3 … 网眼个数（） 4 … (3)当多边形的边数为时，请直接写出，，之间满足的等量关系． 【答案】(1)5，7； (2)完成表中空缺部分见解析， (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，，； 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，三角形内点的个数为时，． （2）解：如图所示： 四边形（）          … 四边形内点的个数 1 2 3 … 网眼个数 4 6 8 … 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，四边形内点的个数为时，． （3）解：如图所示：    当时， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，五边形内点的个数为时，； 以此类推可知，多边形的边数为时，． 类型四、整式乘除中的规律问题 14．仔细观察下列四个等式：，，，，…． (1)请写出第六个等式； (2)利用这几个等式的规律，归纳总结出一个表达此规律的等式； (3)将表示上述规律的等式的右边认真整理，你会发现什么？ 【答案】(1) (2) (3)是两数和的平方形式 【分析】 【详解】（1）根据前个等式可得出： 第个等式为：， 第个等式为：； （2）根据题意可得： 第项为：， 第项为：， 第项为： ， 第项为：． （3）由（2）得：， ， 结果为两数和的平方形式． 15．阅读下列材料： 黄老师在黑板上写了三个算式：，，，俊宇同学接着又写了两个具有同样规律的算式：，． (1)请你再写出两个具有上述规律，但数字不完全相同的算式； (2)用符号表示上述算式反映的规律，并用所学知识证明这个规律的正确性． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：观察算式，两个十位数相同且个位数字之和为10的两位数相乘，结果为四位数，其中十位和比它大1的数相乘结果作为结果的千位和百位，个位数相乘的结果作为积的十位和个位， 例如：，； （2）解：设两个两位数分别为，，其中，则有规律 ， 理由如下： ． 16．某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【答案】(1)65； (2)该图形中共有325个黑色小正方形 【分析】 【详解】（1）解：图1中共有个黑色小正方形， 图2中共有个黑色小正方形， 图3中共有个黑色小正方形， 图4中共有个黑色小正方形， 图5中共有个黑色小正方形， 故图n（n为正整数）中共有个黑色小正方形． 故答案为：65；． （2）解：由题意，得图n中共有个小正方形， 则， 解得， ． 答：该图形中共有325个黑色小正方形． 17．观察下列关于自然数的等式： ①； ②； ③；… 根据上述规律解决下列问 (1)第4个等式：________； (2)写出第2025个等式：________； (3)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1)17 (2) (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； ； ∴故第个等式，． ∴第2025个等式为，即， 故答案为：． （3）解：猜想第n个等式为： 验证：左边 右边， ∵左边=右边 ∴猜想成立． 类型五、乘法公式与图形面积 18．如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为米，四条小路的长与宽都为b米和 米．用含a、b的式子表示草坪（阴影）面积． 【答案】平方米 【分析】 【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积为：大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的面积， ∴草坪（阴影）面积为： 平方米． 19．如图1是我国古代用于冷藏食物的青铜冰鉴，由放置食物的方尊缶（中间小正方形）和放置冰块的方鉴（外围大正方形）组成，从上方往下看的形状如图2所示．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为． (1)放置冰块的区域为大正方形与小正方形的面积差，请用含，的式子表示放置冰块部分的面积并化简； (2)当，时，求放置冰块区域的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意得：放置冰块的面积为 ； （2）解：把，代入（1）得： ； 答：放置冰块区域的面积． 20．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决问题： （2）①若，，则______； ②若，求的值； （3）如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为，的面积为，则阴影部分的面积和为______． 【答案】（1）；（2）；；（3）． 【分析】 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形， 因此面积为． 拼成图①的四个部分的面积和为， 所以有． 故答案为∶ ； （2），， ； ②设，， ． ，即， ； （3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， ． ， ． ， ． 故答案为：． 21．【问题背景】小聪发现：利用如图1所示两个长方形和两个正方形能拼接成图2中的大正方形．其面积的两种表示方式可以得到 【问题探究】 （1）小聪已拼出图3所示长方形，这个长方形的面积有两种表示方法，请你帮她完成这两种表示方法：方法1： ，方法2： ． 由上述“方法1”和“方法2”可列等式： ． 【进阶探索】 （2）她要再拼成一个长为，宽为的长方形，需要A型卡片 张，B型卡片 张，C型卡片 张； 【实践探究】 （3）小聪用5张C类卡片按图所示方式不重叠地放在长方形内，阴影部分的面积与的差与的长度无关，设的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，；（2）1，3，4；（3），理由见详解 【分析】 【详解】解：（1）从整体上看长方形面积为，拼成长方形面积可以看作3个小长方形和3个正方形的和，面积为，由此可得等式﹒ 故答案为：，，； （2）∵， ∴她要再拼成一个长为，宽为的长方形，需要A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张﹒ 故答案为：1，3，4； （3）解：，理由如下： 由图形4可知，，， ∴， ∵阴影部分的面积与的差与的长度无关， ∴， ∴﹒ 22．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，求的值： (2)如图，已知，，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】 【详解】（1）解：设，，则， ， ， 故． （2）解：设， ∵两正方形面积和为20，， ∴． ∴， ∵， ∴，即． ∴． 答：的面积为． 类型六、因式分解 23．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式 24．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】 【详解】（1）解： 故答案为． （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数， ∴， ∵，，，，，，， ，，，，， ∴整数p的所有可能值为或或或或或． 25．【发现】当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差． 【验证】（1）当两个不同的正整数为，时，，能被整除，请把与的积写成两个正整数的平方差的形式． 【探究】（2）设【发现】中两个正整数分别为，，请论证【发现】中的结论正确． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】 【详解】（1）解：． （2）证明： ． ，是正整数， 一定能被整除． 由上面的算式可知， ． 正整数，同为偶数或同为奇数，且， ，均为偶数， 与都是正整数， 一定能表示为两个正整数的平方差． 26．问题背景：对于一个三位正整数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个三位数为“无同数”．将一个“无同数”的任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和除以的商记为．例如：，． 探究1：（1）_____． 探究2：（2）若“无同数”，试说明将的任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数的和一定能被整除的理由． 探究3：（3）如果一个“无同数”的百位数字是，十位数字是，个位数字是，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）的值为485． 【分析】 【详解】解：（1）． （2）将的任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，分别为， 所以这三个数之和为 ， 所以将的任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数的和一定能被整除． （3）因为，的百位数字是，十位数字是，个位数字是， 由（2）可知， 又，故各数位之和为，即，解得， 所以当时，， 所以的值为． 类型七、分式的运算 27．求证：． 【答案】见详解 【分析】 【详解】证明：∵， 同理， ， 原式左边 右边． 故原等式成立． 28．定义：若两个分式的和为为正整数，则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“______阶分式”； (2)分式与谁互为“6阶分式”？ 【答案】(1)5； (2) 【分析】 【详解】（1）∵ ； ∴分式与互为“5阶分式”； 故答案为：． （2）解：由题意得 ， ∴分式与互为“6阶分式”． 29．小乐同学化简的过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)小乐同学化简的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程中从第 步开始出现错误． (2)请你书写正确的化简过程和结果 【答案】(1)因式分解，三 (2)过程见解析， 【分析】 【详解】（1）解：小乐同学化简的第一步是因式分解；第三步出现错误，原因是去括号时，第二项没有变号； 故答案为：因式分解，三； （2）解：原式 ． 30．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【答案】(1)是， (2)①，② 【分析】 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）①∵，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数， ∴或， ∴（舍去）． 31．观察下列分式及其变形过程， ① ② ③ ④ …… 我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题： (1)下列式子中，属于“奇妙分式”的是______；（只填写字母代号） A．        B．        C．        D．        E． (2)若奇妙分式的值为整数，求正整数a的值； (3)已知分式是奇妙分式， ①把其化成一个整式与一个真分式和的形式； ②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子可化简为一个整式，求常数m的值． 【答案】(1)A、B (2)2 (3)①；② 【分析】 【详解】（1）解：A选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式． B选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式． C选项：分子次数分母次数，是真分式，不能拆出整式，不属于奇妙分式． D选项：是整式（为常数，分式可化为整式形式 ），不属于奇妙分式． E选项：（），是整式，不属于奇妙分式． 综上，答案为A、B． （2）解： 分式值为整数，是正整数， 是的因数． 当时，，（舍去，非正整数）； 当时，，（符合正整数要求），或（舍去，非正整数）； 当时，，（舍去，非正整数）； 当时，（无实数解，舍去）． 正整数的值为． （3）解：① ②由①知，整式部分，真分式分母． 式子可化简为整式， 能被整除． ∴当时，， 即， 解得 ． 【点睛】本题主要考查了分式的新定义（真分式、奇妙分式）应用，涉及分式的变形、拆分，以及根据分式值的条件求参数、整式化简等知识，熟练掌握分式的运算、新定义的理解与运用是解题的关键． 类型八、分式方程 32．解关于的方程： 【答案】当，或时，方程无解；否则 【分析】 【详解】解： ， ∵当，或时方程无解， ∴，或，时无解， 解得：，或， 综上可得：当，或时，方程无解；否则． 33．已知，．若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【答案】且， 【分析】 【详解】解：∵， ∴ ， ∵解是非负数， ∴， 解得：； 又∵，， ∴，， 解得：，，； 综上的取值范围为：且，． 34．已知关于的分式方程．当为何值时此方程无解？ 两位同学对此有不同的看法（如下表）：你认为谁的说法有道理，请说明理由并求出的值． 小临同学 这题很简单，只需要考虑分式方程有增根的情况就可以啦！ 小港同学 你说的不全面！能使方程无解的情况可不能只考虑分式方程解为增根的情况． 【答案】 小港同学的说法有道理，理由见解析；或或 【分析】 【详解】答：小港同学的说法有道理， ， 整理得：， ， ∵分式方程无解， ∴①分式方程有增根； ∴或 ∴或 当时，，； 当时，，； ②整式方程无解，，， 综上：小港同学的说法有道理，当或或时，此方程无解． 35．小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以，得， 展开，得， 解方程，得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的根是． （2）解： 方程两边同时乘以，得． ∵方程的增根是， ∴， 解得， 所以，原分式方程中“”代表的数是． 36．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 类型九、列分式方程解实际问题 37．2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【分析】 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 38．中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． (1)根据题意填空． ①小明设___________为km/h，列出尚不完整的方程：___________； ②小华设___________为h，列出尚不完整的方程：； (2)请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①普通列车的平均速度，；②动车的行驶时间， (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：①小明设普通列车的平均速度为km/h，列出的方程为：， 故答案为：普通列车的平均速度， ②小华设动车的行驶时间为h，列出的方程为：； 故答案为：动车的行驶时间， （2）①设普通列车的平均速度为，列出的方程为：， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， ， 答；该动车行驶的平均速度． ②设动车的行驶时间为h，列出的方程为： 解得， 经检验是方程的根且符合题意， ， 答；该动车行驶的平均速度． 39．下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； (2)从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 【答案】(1)八（2）班每天植树的棵树；八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数；八（1）班植树150棵所花的天数；或八（2）班植树120棵所花的天数；八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数10 (2)八年级（1）班每天植树50棵，八年级（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务 【分析】 【详解】（1）欣欣同学所列方程中的表示：八（2）班每天植树的棵树，它的等量关系是：八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数； 兰兰同学所列方程中的表示：八（1）班植树150棵所花的天数，它的等量关系是：八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数 10（棵）； （2）解：选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务． 40．2026年元旦节即将来临，校团委准备订购一批具有陶味的文创产品．经过一系列的筛选，最终决定由甲、乙两个厂家共同生产，并在元旦前赶制完成陶味文创产品共14100件经考察，乙工厂生产陶味文创产品的数量比甲工厂生产陶味文创产品的数量的倍少900件． (1)求甲、乙两工厂各生产陶味文创产品多少件？ (2)在生产过程中，乙工厂每天生产陶味文创产品的数量是甲工厂每天生产陶味文创产品数量的倍，两个工厂同时开工制作，结果甲工厂比乙工厂提前5天完成制作，求乙工厂每天生产多少件陶味文创产品？ 【答案】(1)甲工厂生产陶味文创产品6000件，则乙工厂生产8100件； (2)乙工厂每天生产180件陶味文创产品． 【解析】【1】 本题考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据题目中的数量关系列方程是解题关键． （1）设甲工厂生产陶味文创产品x件，根据乙工厂生产数量与甲工厂生产数量的关系，列出一元一次方程求解； （2）乙工厂每天生产件陶味文创产品，则甲工厂每天生产件陶味文创产品，根据两个工厂完成生产的时间关系，列出分式方程求解． 【详解】解：（1）设甲工厂生产陶味文创产品件， 则乙工厂生产陶味文创产品（件， 依题意得：， 解得：． 乙工厂生产陶味文创产品：（件）， 答：甲工厂生产陶味文创产品6000件，则乙工厂生产8100件， （2）乙工厂每天生产件陶味文创产品，则甲工厂每天生产件陶味文创产品， 依题意得：， 解得：，检验：当时是原方程的解． 答：乙工厂每天生产180件陶味文创产品． 41．为进一步丰富学生的课间生活，学校打算购买一些排球和足球，某体育用品店给出了报价表不慎被墨水污染了． 球类 单价（元/个） 数量（个） 总金额（元） 足球 7200 排球 3200 王老师：我记得足球的单价比排球单价高； 李老师：我记得足球的数量比排球数量多40个． 在计算足球的单价和排球的购买数量，嘉嘉和琪琪给出部分解答过程： 嘉嘉：列出方程：； 琪琪：解设排球的单价为元/个，足球的单价为___________元/个（用含的代数式表示），依题意列方程得：___________； (1)根据嘉嘉所列的方程，写出的实际意义； (2)补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路帮忙计算足球的单价和排球的购买数量． 【答案】(1)x的实际意义是足球的数量 (2)足球的单价为60元/个，排球的购买数量为80个 【分析】 【详解】（1）解：由嘉嘉所列方程知：是足球的单价，是排球的单价， 又足球的数量比排球数量多40个， 所以， x的实际意义是足球的数量； （2）解：设排球的单价为元/个，足球的单价为元/个，根据题意得， ， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元／个） ∴排球的购买数量为（个）， 答：足球的单价为60元/个，排球的购买数量为80个． 类型十、平移的性质 42．如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中，三角形的顶点均在小正方形的格点上． (1)在方格纸中将三角形向右平移3个单位，再向下平移4个单位，画出平移后的三角形； (2)连接和，则和的位置关系为__________，数量关系为__________． 【答案】(1)见解析 (2)平行，相等 【分析】 【详解】（1）解：如图，三角形即为所画的三角形； （2）和的位置关系为平行，数量关系为相等． 故答案为：平行，相等． 43．如图所示，已知直角三角形，，个单位长度，将直角三角形沿着由点到点的方向平移6个单位长度，得到三角形． (1)画出平移后的三角形； (2)若与相交于个单位长，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：由平移的性质得，，，， ∵， ∴ ， ∵ ∴， ∴四边形的面积． 44．如图1，在等腰梯形中，上底长，下底长，高是；左边有一边长是的正方形以每分钟的速度沿梯形下底向右匀速运动．        (1)当正方形运动到第10分钟时，在图2中画出正方形的位置，用阴影表示出等腰梯形与正方形的重叠部分． (2)求出阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)阴影部分的面积是900平方厘米 【分析】 【详解】（1）解：如图： 正方形10分钟向右移动了（厘米），因为厘米，因此点B到达C点，阴影部分是一个上底是20厘米，下底是40厘米，高是30厘米的直角梯形， （2）解：（平方厘米）﹒ 答：阴影部分的面积是900平方厘米﹒ 45．如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)①：3或9；②ⅰ）20；ⅱ） 【分析】 【详解】（1）解：长方形的面积为30，边长为5． ， 点表示6； 故答案为：6； （2）解：当向左移动时，如图， ， ， 移动后的表示3； 当向右移动时，如图， ， 又 ， 移动后表示9， 故答案为：3或9； ②ⅰ）当向左移动时，如图， ， ， 当向右移动时，如图， ， ， 综上，， 故答案为：20； ⅱ）由题意知： 为线段的中点，点E在线段上，且， ，， 当向左移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当向右移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得； 综上，． 类型十一、旋转的性质 46．如下图，点在直线上，过点作射线，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，求旋转的度数． 【答案】或． 【详解】∵点在直线上， ∴ ∵直线平分锐角 ∴． 情况一：在下方时： 三角板初始时 此时旋转的度数为． 情况二：在上方时： 已知 直线平分，则 三角板初始时，在下方 当在上方且平分时，旋转角度为 计算得． 【点睛】本题考查了角的计算与角平分线的性质，掌握根据角的和差关系以及角平分线的定义，分情况讨论直线的位置，进而求出旋转角度是解题的关键． 47．如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，，，． (1)如图1，当点落在边上时，求的长； (2)在旋转的过程中，若，请就图2中情形求旋转角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵三角形绕点逆时针旋转得到三角形， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，即， ∵， ∴，解得， 则图2中情形求旋转角的度数为． 48．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)将绕点顺时针旋转，得到．请在坐标系中画出，并写出点的坐标． (2)将继续绕点顺时针旋转，得到．点是中一点，经两次旋转后在中的对应点的坐标为，求的值． 【答案】(1)作图见解析， (2)， 【分析】 【详解】（1），，， 绕点顺时针旋转后的图形如下： ． （2）由题可得，绕点顺时针旋转得到， 与成中心对称图形， 与关于原点中心对称， ， ， 解得：， ，． 49．某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为__________； (2)在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度． ①如图2，当为直角时，求的度数； ②如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1) (2)①；②，或 【分析】 【详解】（1）解：如图， ，， ∴， 故答案为： ； （2）解：①∵为直角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当平分时， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ； 当平分时， ， ； 当平分时， ， ； 故为或或． 50．定义：从一个角的顶点出发．在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内含半角”、如图①所示，若，则是的“内含半角”． (1)如图①所示，已知，，是的“内含半角”，则______． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，若是的“内含半角”，求旋转角的值? (3)已知，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成“内含半角”?若能，请直接写出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)角度为 (3)射线、、、构成内含半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒． 【分析】 【详解】（1）解：，是的内含半角， ， ， ； 故答案为：． （2）解：由旋转可知，， ，， 是的内含半角， ，即， 解得， 当旋转的角度为时，是的内含半角； （3）解：能，理由如下， 由旋转可知，；根据题意可分以下三种情况： ①当射线在内，如题干图④； 此时，，， 则是的内含半角， ，即， 解得（秒）； ②当射线在外部，有以下两种情况，如图⑤， 此时，，， 则是的内含半角， ，即， 解得（秒）；如图⑥， 此时，，， 则是的内含半角， ，即， 解得（秒）， 综上，在旋转一周的过程中，射线、、、构成内含半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒． 类型十二、轴对称的性质 51．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c，b是最大的负整数，且a、c分别是多项式的二次项系数和一次项系数． (1)___________，___________，___________ (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，设运动时间为，问当点追上点时，求的值． (3)在（2）的条件下，若将数轴折叠，点A、B、C三点中有一点在折痕上，并使得对折后另外两点之间的距离为1；当点与点重合时停止，直接写出的值．（写出两个答案即可） 【答案】(1) (2) (3)或1或或或或（答案不唯一，任意两个均可） 【分析】 【详解】（1）解：∵点B表示的数是b，且是最大的负整数， ∴； ∵a，c分别是多项式的二次项系数和一次项系数， ∴； 故答案为：； （2）解：点A，B，C表示的数依次为 根据题意可知， 解得； （3）解：或1或或或或． 点A，B，C表示的数依次为． 当点在折痕上时， 根据题意可知或， 解得或1； 当点在折痕上时，或， 解得或； 当点在折痕上时，或， 解得或． 故答案为：或1或或或或． 52．如图①所示的纸片，平分，如图②把沿对折成（与重合），从点引一条射线，使． (1)若，那么___________°； (2)若沿把角剪开，剪开后得到的3个角中最大的一个角为，求的度数； (3)若，直接写出沿剪开后的最大角的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)的度数为 (3)最大角度数为 【分析】 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：20． （2）解：由（1）中，且沿剪开，可判断出含的角为最大角，且最大角角度为度数的两倍， 即， ∴，， ∴， 故的度数为． （3）解：∵，平分， ∴， 又∵， 故剪开后最大角为含的角，且度数为度数的两倍 ∴， ∴最大角度数为， 故最大角度数为． 53．将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见 5 个完整的蜡烛 (如图1)． 你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置点，作出点关于、的对称点为、， 即为两个镜中的像（如图2）．继续作出、，关于、的对称点为、（如图3）， 最后作出、关于、的对称点，均为与（如图4）， 这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见__________个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子是夹角时，镜中能看见__________个完整的蜡烛，请你借助网格，并标注相应的字母（、、……）； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见__________个完整的蜡烛． 【答案】(1)3 (2)7，图见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：如图，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像，继续作出，关于，的对称点均为， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见3个完整的蜡烛． 故答案为：3． （2）如图，，，，，，，即为所求． ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见7个完整的蜡烛． 故答案为：7． （3）∵当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； ……， ∴当两面镜子呈夹角，且为整数时，镜中能看见个完整的蜡烛． 故答案为：． 54．按照国际标准，系列纸为长方形纸，其中纸的面积为．如图①，将纸沿长边对开便成了两张纸，将纸沿长边对开便成了两张纸：……，将纸沿长边对开便成了两张纸……       (1)纸的面积为__________； (2)【操作与观察】将一张纸按如图②所示的方式进行折叠：第一步：将边折叠到边上，折痕为，点落在点处，已知．第二步：再将折叠到边上，折痕为，此时与恰好重合，点落在点处．求纸的长宽之比． (3)【类比与归纳】结合上述探究，求出用纸可以裁剪出的最大正方形的面积为多少？（结果保留两位小数，参考数据：，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，纸的面积为，纸的面积为, 纸的面积为； 故答案为：； （2）解：设纸的长为，宽为 第一次折叠形成一个正方形，所以， 第二次折叠得到：． 纸的长宽的比为：； （3）解：∵将纸沿长边对开便成了两张纸， ∴纸的长为纸的宽，纸的宽为纸的长度的一半， ∵纸的长宽之比 ∴纸的长宽之比． 同理可知：纸的长宽之比是， 设纸的宽为，则长为， ∵纸的面积为， ∴， ∴， ∴当用纸可以裁剪出正方形的边长等于纸的宽时，面积最大，最大值为． 类型十三、中心对称的性质 55．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于点的中心对称图形； (2)请画出绕原点逆时针旋转后得到的； (3)为轴上的一个动点，当有最小值时，求这个最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)最小值为 【分析】 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，则即为所求， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短可得，即为所求， ∴， ∴的最小值为． 56．如图，已知各顶点的坐标为，． (1)作出关于坐标原点成中心对称的； (2)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，作出； (3)若在内有一点，将按照（2）中的方式旋转后的对应点为点，则点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：即为所求； ； （3）解：由题意得，点的坐标为 故答案为∶． 类型十四、图形运动中的综合 57．已知长方形，，，边长为的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图1所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图2所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是________，面积相等的是________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；    ②三角形与三角形； ③三角形与三角形；    ④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：∵长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称； ∴①②③中的两个三角形的面积相等， ∵①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又∵③三角形与三角形的面积相等， 则 四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 故答案为：①②③；①②③④． （2）解： 依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ∴， 解得：， （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ∴，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ∴， 解得：， ∴； 当在上时，如图， ∵，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ∴． 解得：． ∴． 综上所述，的值为或． 58．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）， 操作一： （1）折叠纸面，使表示的1点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为15，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．（写出必要的分析过程或画出图形） 【答案】（1）3；（2）①；②点表示的数是，点表示的数是；（3）或或 【分析】 【详解】解：（1）设表示的点与表示的点重合， 由题意得：， 解得， 故答案为：3． （2）①设6表示的点与数表示的点重合， 由题意得：， 解得， 故答案为：． ②设点表示的数是，则点表示的数是， 由题意得：， 解得， 则， 综上，点表示的数是，点表示的数是． （3）①如图1，得到的三条线段， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴此时折痕处对应的点所表示的数为； ②如图2，得到的三条线段， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴此时折痕处对应的点所表示的数为； ③如图3，得到的三条线段， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴此时折痕处对应的点所表示的数为； 综上，折痕处对应的点所表示的数可能是或或， 故答案为：或或． 59．已知点O为直线上一点，过点O在的上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，三角板的边落在射线上，且． ①直接写出的度数； ②如图2，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分时，旋转的时间是多少秒？ (2)如图3，设，射线平分，，请你通过计算说明的值是否会随的取值不同而发生改变． 【答案】(1)①；②当直线恰好平分钝角时，旋转的时间是2秒或14秒 (2)，是定值，见解析 【分析】 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②因为直线恰好平分钝角、且，所以分以下两种情况： 第一种：当线段在内部时，，旋转的度数为． 由题意知（秒）； 第二种：当线段在外部时，旋转的度数为， 由题意知（秒）， 综上所述，当直线恰好平分钝角时，旋转的时间是2秒或14秒． （2）解：是定值．理由如下： 当时，， ∴， ∵，射线平分， ∴， ∴． ∴． 60．【新考向】已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时，如图1，求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，并直接写出的大小； (3)当时， ①若，求的度数； ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点，始终满足．在旋转过程中，若与始终满足为定值，直接写出常数的值． 【答案】(1)， (2)画图见解析， (3)①或；② 【分析】 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∴， ； （2）解：如图，即为所求； 根据旋转的性质可得， ∴ （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，， ∵， ∴， 解得； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，， ， ∴， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵与始终满足为定值， ∴， 解得． 61．如图是由小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点．图中，，，均为格点，是线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在下列给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画出线段绕点逆时针旋转后得到的线段； (2)在图（1）中，画出点绕点逆时针旋转后得到的点； (3)在图（2）中，画出点，使点是四边形的对称中心，并连接； (4)在图（2）中，令，画出点绕点逆时针旋转得到的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如上图，点即为所求； （3）如图，点O即为所求； （4）如图,点即为所求． 由作图可知， ∵， ∴点D与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 1．把正整数排成如图所示的数表． (1)数字“8”在此数表中总共出现了______次，数字“9”在此数表中总共出现了______次； (2)记第一行所有数的和为，第二行所有数的和为，第三行所有数的和为，…，照此规律计算下去，______． (3)请求出的值． 【答案】(1)5；5 (2)165 (3) 【分析】 【详解】（1）解：由题知， 数字“8”第一次出现在第四行，且此时数字“8”为该行中的最大数， 数字“8”最后一次出现在第八行，且此时数字“8”为该行中的最小数， 则， 所以数字“8”一共出现了5次； 数字“9”第一次出现在第五行，且此时数字“9”为该行中的倒数第2个数， 数字“9”最后一次出现在第九行，且此时数字“9”为该行中的最小数， 则， 所以数字“9”一共出现了5次； 故答案为：5，5； （2）解：由题知， 第十行有11个数，且该行的第1个数为10，后续数依次增加1， 则… 故答案为：165； （3）解：， ， ， ， 则， ∴， 则， ∵n个数相加的和为， ∴个数相加的和为， 则， 那么，， ∴ ． 2．对于整数a，b，定义一种新的运算“”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值； (2)已知，求出a的值； (3)已知且为整数，，请用含x的代数式表示y． 【答案】(1)10 (2)20 (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴，为偶数， ∴ ； （2）解：∵一定为偶数， ∴， ∵， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得（不符合）， ∴a的值为20； （3）解：∵，是奇数， ∴ ， ∵且为整数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．【综合探究】 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点、点表示的数分别为，则线段的长（点到点的距离）可表示为．请用上面材料中的知识回答下面的问题： 【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始出发，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，然后再向右移动3个单位长度到达点． 【问题探究】 （1）点到点的距离___________，点到点的距离___________； （2）若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点，点分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①在运动过程中，当时，求运动时间的值； ②试探究在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 【拓展应用】 （3）在（2）的运动基础上，若点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动（与点同时出发）．经过多少秒后，点到点，点，点的距离之和为35个单位长度？ 【答案】（1）5，8；（2）①或；②不变，其值为1；（3）经过6秒后，点到点，点，点的距离之和为35个单位长度 【分析】 【详解】解：（1）根据题意，得点到点的距离， 点到点的距离． 故答案为：5,8； （2）根据题意，得点表示的数为，点表示的数为3，点表示的数为6， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为﹒ ①∴，． ∵， ∴， ∴或， 解得或． ②不变．求值如下： ， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，其值为1； （3）由题意得点表示的数为， ∴点到点，点，点的距离分别为，，， ∵点到点，点，点的距离之和为35个单位长度， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴经过6秒后，点到点，点，点的距离之和为35个单位长度． 4．【阅读理解】 借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”-数形结合的思想方法．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算图阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，则的值为_______； 【知识延伸】 若满足，求的值．我们可以作如下解答：设，则，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若满足，求的值； 【拓展探索】 （3）如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点，与相交于点，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别交，于点，若四边形和四边形都是正方形，，求正方形的边长． 【答案】（1）20；（2）；（3）6 【分析】 【详解】解：（1），，而， ， 故答案为：20； （2）设， 由题意得， ， ， ， ； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意知， ，即， 长方形的面积为8， ， ， ， ， 正方形的边长为6． 5．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2)能被整除，理由见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）解：能被整除，理由如下： （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 6．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴； （2）解： ， 去括号得：， 合并同类项得：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，， 阴影部分的面积为：． 7．我们约定：若关于x的整式与，同时满足：，，则称整式A与整式B互为“”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的整式与互为“”整式，求k，m，n的值； (2)若关于x的整式（a，b为常数），M与N互为“”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于y的方程的解为正整数，求的“”整式Q． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵关于x的整式与互为“”整式，，M与N互为“”整式， ∴． （2）解：， ∵关于x的整式（a，b为常数），M与N互为“”整式， ∴关于x的整式（a，b为常数），M与N互为“”整式， ∴， ∴， ∵是的一个因式， ∴， ∴， ∴． （3）解： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵关于y的方程的解为正整数， ∴或， ∴或，， ∵整式P与整式Q互为“”整式 ∴或． 8．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 【答案】(1)是 (2)分式A为 【分析】 【详解】（1）解：设． ， ， ， 故​是的“友好分式”， 故答案为：​是； （2）分式是分式A的“友好分式”，设分式． 则 移项，得， ， ， ， ， 分式A为​​． 10．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“一中分式”，常数称为“一中值”．如分式，，，则与互为“一中分式”，“一中值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“一中分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“一中值”； (2)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”，为正整数，且分式的值为正整数． ①求所代表的代数式；②求的值； (3)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”为，若关于的方程无解，求实数的值（可用含的式子表示）． 【答案】(1)是，2 (2)①；②1 (3)或 【分析】 【详解】（1）解：， 与是互为“一中分式”，“一中值”． （2）解：①，， 与互为“一中分式”，且“一中值”， ， ； ②， 且分式的值为正整数．为正整数， 或， （舍去）． （3）解：∵，， ∴， 整理得， 化简得， ∵方程无解， ∴，且， 解得，且，即， 当时，方程有增根， 代入，解得， 综上，的取值范围为或． 11．材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1) ，； (2) ． 【分析】 【详解】（1）解： ， ，， 故答案为：，； （2）解： 可得：， ， ， 的最小值是， 的最大值是， 的最大值是， 的最大值为． 12．小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：，，∴，∴， 原式． 方法2：，将分式的分子、分母同时除以得， 原式 (1)“方法”中运用了“分式”这一章的数学依据是___________； (2)请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整； (3)若（m，n都不为0），请直接写出的值． 【答案】(1)分式的基本性质 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：“方法1”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的基本性质； 故答案为：分式的基本性质； （2）解：，将分式的分子、分母同时除以得， 原式 ， ， ∴原式； （3）解：∵， ∴原式 ． 13．在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． (1)如图1，若，求、的长； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，连接， ，， 垂直平分， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设与的交点为， 点在直线上运动， 当点运动到点处时，有最小值， ，， ， 由（1）可知，， ， ， 在中，， ，， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，综合性较强，掌握相关知识点是解题关键． 14．如图，等腰中，，，将绕点逆时针旋转一定角度（）得到，点、的对应点分别是、．连接、交于点，连接、交于点． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转一定角度得到， ，，，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及平行四边形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习03 解答题压轴十四大类型 目录 典例详解 类型一、整式加减的应用 类型二、整式加减解决整除问题 类型三、整式加减解决图形周长问题 类型四、整式乘除中的规律问题 类型五、乘法公式与图形面积 类型六、因式分解 类型七、分式的运算 类型八、分式方程 类型九、列分式方程解实际问题 类型十、平移的性质 类型十一、旋转的性质 类型十二、轴对称的性质 类型十三、中心对称的性质 类型十四、图形运动中的综合 压轴专练 类型一、整式加减的应用 1．已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当m和n为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 2．在数学活动课中，同学们学习了自然数被3整除的规律，即如果一个自然数所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并且同学们完成了两位数被3整除规律的证明，过程如下：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为和，通常记为．则．因为能被3整除，如果能被3整除，那么也能被3整除，于是能被3整除，即能被3整除．请你通过阅读以上材料后，解决下列问题： (1)写出一个能被3整除的三位数 ． (2)仿照上述证明过程，完成三位数被3整除规律的证明； (3)若四位数能被3整除，请说明也能被3整除． 3．在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为a，个位上的数字为b，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的和能被11整除． (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为m，个位上的数字为n，十位上的数字是0，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，已知原数大于新数，原数与所得新数的差一定能被哪些自然数整除（1除外），请直接写出答案． 4．定义：一个三位数，若它的十位数字是个位数字与百位数字的平均数，则称这个数为“均值数”．如258，因为它的个位数字8与百位数字2的平均数是十位数字5，所以258是“均值数”． (1)321 （填“是”或“不是”）“均值数”； (2)最大的“均值数”为_____，最小的“均值数”为______； (3)小强说“均值数”一定能被3整除.你是否同意小强的说法？请说明理由． 类型二、整式加减解决整除问题 5．已知甲三角形的周长为，乙三角形的第一条边长为，第二条边长为，第三条边比第二条边短． (1)求乙三角形的第三条边长； (2)通过计算比较甲三角形和乙三角形的周长的大小． 6．如图，将边长为的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（） (1)当，时，求拼成的长方形周长； (2)小明说：“如果的值不变，那么不管取什么值，拼成的长方形的周长都不变．”请问小明的说法对吗?请说明理由． 7．下图中，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个大小相同的小长方形，阴影区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：图（1），图（2）中阴影区域的周长哪个大？大多少？ 8．将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，求没有覆盖的阴影部分的周长． 类型三、整式加减解决图形周长问题 9．综合与实践 如图，某程序团队为一次庆典设计了一个用无人机排布的多层“”形图案展演，图中每个点表示一架无人机，从内至外分别为第一层，第二层，⋯，从第二层开始每一层比前一层多相同的架数，设第一层的架数为，第二层的架数为，第层的架数为． (1)观察与运算：素材中相同的架数是________架，________； (2)猜想与论证： ①猜想________； ②请通过“数学运算”说明猜想是正确的． (3)应用与实践：若现有2000架无人机可供展演，则此种图案最多有多少层？ 10．如图，观察下列图形和对应表达式． (1)请在右侧框中画出第5个图形，并写出它对应的表达式． (2)请直接写出第个图形对应的表达式．___________ (3)请用上面的规律计算 11．由边长为1的灰白两种颜色的小正方形组成大正方形如图所示，图（1）是由1个灰色正方形和3个白色正方形组成的一个面积为4的大正方形，图（2）是由4个灰色正方形和5个白色正方形组成的一个面积为9的大正方形，图（3）是由9个灰色正方形和7个白色正方形组成的一个面积为16的大正方形，⋯ 小明观察图形得到以下对应的等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … (1)写出图（6）对应的等式：______； (2)猜想第个图形对应的等式（用含的式子表示）； (3)请计算出从图（1）到图（100）中白色正方形的总个数． 12．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ⋯ 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：___________=___________； 第（为正整数）个等式：__________=___________； (2)求的值． 13．“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格.它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，枣庄某中学小聪提出如下问题：设多边形中，有个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）．若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数，多边形的边数，多边形内点的个数之间存在怎样的数量关系? 在学习了问题解决策略——归纳的相关内容后，小慧同学采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形时，列表如下： 三角形          … 三角形内点的个数 1 2 3 … 网眼个数（） 3 … (1)上表中_____，_____，根据上述探索过程，猜想并直接写出，之间满足的等量关系______． (2)请类比小慧同学的探索思路，当多边形为四边形（）比如长方形时，先完成表中空缺部分进行探究，再通过归纳直接写出，之间满足的等量关系． 四边形    … 四边形内点的个数 1 2 3 … 网眼个数（） 4 … (3)当多边形的边数为时，请直接写出，，之间满足的等量关系． 类型四、整式乘除中的规律问题 14．仔细观察下列四个等式：，，，，…． (1)请写出第六个等式； (2)利用这几个等式的规律，归纳总结出一个表达此规律的等式； (3)将表示上述规律的等式的右边认真整理，你会发现什么？ 15．阅读下列材料： 黄老师在黑板上写了三个算式：，，，俊宇同学接着又写了两个具有同样规律的算式：，． (1)请你再写出两个具有上述规律，但数字不完全相同的算式； (2)用符号表示上述算式反映的规律，并用所学知识证明这个规律的正确性． 16．某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 17．观察下列关于自然数的等式： ①； ②； ③；… 根据上述规律解决下列问 (1)第4个等式：________； (2)写出第2025个等式：________； (3)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性． 类型五、乘法公式与图形面积 18．如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为米，四条小路的长与宽都为b米和 米．用含a、b的式子表示草坪（阴影）面积． 19．如图1是我国古代用于冷藏食物的青铜冰鉴，由放置食物的方尊缶（中间小正方形）和放置冰块的方鉴（外围大正方形）组成，从上方往下看的形状如图2所示．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为． (1)放置冰块的区域为大正方形与小正方形的面积差，请用含，的式子表示放置冰块部分的面积并化简； (2)当，时，求放置冰块区域的面积． 20．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决问题： （2）①若，，则______； ②若，求的值； （3）如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为，的面积为，则阴影部分的面积和为______． 21．【问题背景】小聪发现：利用如图1所示两个长方形和两个正方形能拼接成图2中的大正方形．其面积的两种表示方式可以得到 【问题探究】 （1）小聪已拼出图3所示长方形，这个长方形的面积有两种表示方法，请你帮她完成这两种表示方法：方法1： ，方法2： ． 由上述“方法1”和“方法2”可列等式： ． 【进阶探索】 （2）她要再拼成一个长为，宽为的长方形，需要A型卡片 张，B型卡片 张，C型卡片 张； 【实践探究】 （3）小聪用5张C类卡片按图所示方式不重叠地放在长方形内，阴影部分的面积与的差与的长度无关，设的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由． 22．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， ， ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，求的值： (2)如图，已知，，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 类型六、因式分解 23．材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 24．整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：______； (2)若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 25．【发现】当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差． 【验证】（1）当两个不同的正整数为，时，，能被整除，请把与的积写成两个正整数的平方差的形式． 【探究】（2）设【发现】中两个正整数分别为，，请论证【发现】中的结论正确． 26．问题背景：对于一个三位正整数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个三位数为“无同数”．将一个“无同数”的任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和除以的商记为．例如：，． 探究1：（1）_____． 探究2：（2）若“无同数”，试说明将的任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数的和一定能被整除的理由． 探究3：（3）如果一个“无同数”的百位数字是，十位数字是，个位数字是，且，求的值． 类型七、分式的运算 27．求证：． 28．定义：若两个分式的和为为正整数，则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“______阶分式”； (2)分式与谁互为“6阶分式”？ 29．小乐同学化简的过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)小乐同学化简的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程中从第 步开始出现错误． (2)请你书写正确的化简过程和结果 30．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 31．观察下列分式及其变形过程， ① ② ③ ④ …… 我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题： (1)下列式子中，属于“奇妙分式”的是______；（只填写字母代号） A．        B．        C．        D．        E． (2)若奇妙分式的值为整数，求正整数a的值； (3)已知分式是奇妙分式， ①把其化成一个整式与一个真分式和的形式； ②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子可化简为一个整式，求常数m的值． 类型八、分式方程 32．解关于的方程： 33．已知，．若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 34．已知关于的分式方程．当为何值时此方程无解？ 两位同学对此有不同的看法（如下表）：你认为谁的说法有道理，请说明理由并求出的值． 小临同学 这题很简单，只需要考虑分式方程有增根的情况就可以啦！ 小港同学 你说的不全面！能使方程无解的情况可不能只考虑分式方程解为增根的情况． 35．小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 36．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 类型九、列分式方程解实际问题 37．2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 38．中国高铁以其庞大的网络规模、先进的技术和快速便捷的服务，成为世界上最长的高速铁路网络，连接了国内众多城市，极大地促进了区域经济的发展和人员流动的便利．从地到地，路程为，某趟动车行驶的平均速度比普通列车快，所需时间比普通列车少，求该动车行驶的平均速度． (1)根据题意填空． ①小明设___________为km/h，列出尚不完整的方程：___________； ②小华设___________为h，列出尚不完整的方程：； (2)请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程． 39．下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； (2)从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 40．2026年元旦节即将来临，校团委准备订购一批具有陶味的文创产品．经过一系列的筛选，最终决定由甲、乙两个厂家共同生产，并在元旦前赶制完成陶味文创产品共14100件经考察，乙工厂生产陶味文创产品的数量比甲工厂生产陶味文创产品的数量的倍少900件． (1)求甲、乙两工厂各生产陶味文创产品多少件？ (2)在生产过程中，乙工厂每天生产陶味文创产品的数量是甲工厂每天生产陶味文创产品数量的倍，两个工厂同时开工制作，结果甲工厂比乙工厂提前5天完成制作，求乙工厂每天生产多少件陶味文创产品？ 41．为进一步丰富学生的课间生活，学校打算购买一些排球和足球，某体育用品店给出了报价表不慎被墨水污染了． 球类 单价（元/个） 数量（个） 总金额（元） 足球 7200 排球 3200 王老师：我记得足球的单价比排球单价高； 李老师：我记得足球的数量比排球数量多40个． 在计算足球的单价和排球的购买数量，嘉嘉和琪琪给出部分解答过程： 嘉嘉：列出方程：； 琪琪：解设排球的单价为元/个，足球的单价为___________元/个（用含的代数式表示），依题意列方程得：___________； (1)根据嘉嘉所列的方程，写出的实际意义； (2)补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路帮忙计算足球的单价和排球的购买数量． 类型十、平移的性质 42．如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中，三角形的顶点均在小正方形的格点上． (1)在方格纸中将三角形向右平移3个单位，再向下平移4个单位，画出平移后的三角形； (2)连接和，则和的位置关系为__________，数量关系为__________． 43．如图所示，已知直角三角形，，个单位长度，将直角三角形沿着由点到点的方向平移6个单位长度，得到三角形． (1)画出平移后的三角形； (2)若与相交于个单位长，求四边形的面积． 44．如图1，在等腰梯形中，上底长，下底长，高是；左边有一边长是的正方形以每分钟的速度沿梯形下底向右匀速运动．        (1)当正方形运动到第10分钟时，在图2中画出正方形的位置，用阴影表示出等腰梯形与正方形的重叠部分． (2)求出阴影部分的面积． 45．如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 类型十一、旋转的性质 46．如下图，点在直线上，过点作射线，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，求旋转的度数． 47．如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，，，． (1)如图1，当点落在边上时，求的长； (2)在旋转的过程中，若，请就图2中情形求旋转角的度数． 48．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)将绕点顺时针旋转，得到．请在坐标系中画出，并写出点的坐标． (2)将继续绕点顺时针旋转，得到．点是中一点，经两次旋转后在中的对应点的坐标为，求的值． 49．某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为__________； (2)在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度． ①如图2，当为直角时，求的度数； ②如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角的度数． 50．定义：从一个角的顶点出发．在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内含半角”、如图①所示，若，则是的“内含半角”． (1)如图①所示，已知，，是的“内含半角”，则______． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，若是的“内含半角”，求旋转角的值? (3)已知，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成“内含半角”?若能，请直接写出旋转的时间：若不能，请说明理由． 类型十二、轴对称的性质 51．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c，b是最大的负整数，且a、c分别是多项式的二次项系数和一次项系数． (1)___________，___________，___________ (2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，设运动时间为，问当点追上点时，求的值． (3)在（2）的条件下，若将数轴折叠，点A、B、C三点中有一点在折痕上，并使得对折后另外两点之间的距离为1；当点与点重合时停止，直接写出的值．（写出两个答案即可） 52．如图①所示的纸片，平分，如图②把沿对折成（与重合），从点引一条射线，使． (1)若，那么___________°； (2)若沿把角剪开，剪开后得到的3个角中最大的一个角为，求的度数； (3)若，直接写出沿剪开后的最大角的度数．（用含的代数式表示） 53．将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见 5 个完整的蜡烛 (如图1)． 你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置点，作出点关于、的对称点为、， 即为两个镜中的像（如图2）．继续作出、，关于、的对称点为、（如图3）， 最后作出、关于、的对称点，均为与（如图4）， 这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见__________个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子是夹角时，镜中能看见__________个完整的蜡烛，请你借助网格，并标注相应的字母（、、……）； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见__________个完整的蜡烛． 54．按照国际标准，系列纸为长方形纸，其中纸的面积为．如图①，将纸沿长边对开便成了两张纸，将纸沿长边对开便成了两张纸：……，将纸沿长边对开便成了两张纸……       (1)纸的面积为__________； (2)【操作与观察】将一张纸按如图②所示的方式进行折叠：第一步：将边折叠到边上，折痕为，点落在点处，已知．第二步：再将折叠到边上，折痕为，此时与恰好重合，点落在点处．求纸的长宽之比． (3)【类比与归纳】结合上述探究，求出用纸可以裁剪出的最大正方形的面积为多少？（结果保留两位小数，参考数据：，） 类型十三、中心对称的性质 55．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于点的中心对称图形； (2)请画出绕原点逆时针旋转后得到的； (3)为轴上的一个动点，当有最小值时，求这个最小值． 56．如图，已知各顶点的坐标为，． (1)作出关于坐标原点成中心对称的； (2)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，作出； (3)若在内有一点，将按照（2）中的方式旋转后的对应点为点，则点的坐标为______． 类型十四、图形运动中的综合 57．已知长方形，，，边长为的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图1所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图2所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是________，面积相等的是________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；    ②三角形与三角形； ③三角形与三角形；    ④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 58．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）， 操作一： （1）折叠纸面，使表示的1点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为15，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ．（写出必要的分析过程或画出图形） 59．已知点O为直线上一点，过点O在的上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，三角板的边落在射线上，且． ①直接写出的度数； ②如图2，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分时，旋转的时间是多少秒？ (2)如图3，设，射线平分，，请你通过计算说明的值是否会随的取值不同而发生改变． 60．【新考向】已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时，如图1，求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，并直接写出的大小； (3)当时， ①若，求的度数； ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点，始终满足．在旋转过程中，若与始终满足为定值，直接写出常数的值． 61．如图是由小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点．图中，，，均为格点，是线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在下列给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画出线段绕点逆时针旋转后得到的线段； (2)在图（1）中，画出点绕点逆时针旋转后得到的点； (3)在图（2）中，画出点，使点是四边形的对称中心，并连接； (4)在图（2）中，令，画出点绕点逆时针旋转得到的点． 1．把正整数排成如图所示的数表． (1)数字“8”在此数表中总共出现了______次，数字“9”在此数表中总共出现了______次； (2)记第一行所有数的和为，第二行所有数的和为，第三行所有数的和为，…，照此规律计算下去，______． (3)请求出的值． 2．对于整数a，b，定义一种新的运算“”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值； (2)已知，求出a的值； (3)已知且为整数，，请用含x的代数式表示y． 3．【综合探究】 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点、点表示的数分别为，则线段的长（点到点的距离）可表示为．请用上面材料中的知识回答下面的问题： 【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始出发，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，然后再向右移动3个单位长度到达点． 【问题探究】 （1）点到点的距离___________，点到点的距离___________； （2）若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点从点，点分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①在运动过程中，当时，求运动时间的值； ②试探究在运动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值． 【拓展应用】 （3）在（2）的运动基础上，若点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动（与点同时出发）．经过多少秒后，点到点，点，点的距离之和为35个单位长度？ 4．【阅读理解】 借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”-数形结合的思想方法．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算图阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，则的值为_______； 【知识延伸】 若满足，求的值．我们可以作如下解答：设，则，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若满足，求的值； 【拓展探索】 （3）如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点，与相交于点，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别交，于点，若四边形和四边形都是正方形，，求正方形的边长． 5．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 6．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 7．我们约定：若关于x的整式与，同时满足：，，则称整式A与整式B互为“”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的整式与互为“”整式，求k，m，n的值； (2)若关于x的整式（a，b为常数），M与N互为“”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于y的方程的解为正整数，求的“”整式Q． 8．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 9．定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 10．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“一中分式”，常数称为“一中值”．如分式，，，则与互为“一中分式”，“一中值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“一中分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“一中值”； (2)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”，为正整数，且分式的值为正整数． ①求所代表的代数式；②求的值； (3)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”为，若关于的方程无解，求实数的值（可用含的式子表示）． 11．材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； (2)求代数式的最大值． 12．小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：，，∴，∴， 原式． 方法2：，将分式的分子、分母同时除以得， 原式 (1)“方法”中运用了“分式”这一章的数学依据是___________； (2)请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整； (3)若（m，n都不为0），请直接写出的值． 13．在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． (1)如图1，若，求、的长； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 14．如图，等腰中，，，将绕点逆时针旋转一定角度（）得到，点、的对应点分别是、．连接、交于点，连接、交于点． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)当时，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $