专题3.7 抛物线的标准方程和性质（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题3.7 抛物线的标准方程和性质（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 抛物线的定义及辨析】 1 【题型2 求抛物线的轨迹方程】 3 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 3 【题型4 求抛物线的标准方程】 3 【题型5 根据抛物线的方程求参数】 4 【题型6 求抛物线上的点到定点的距离最值】 4 【题型7 抛物线上距离的和、差最值问题】 5 【题型8 判断抛物线的开口方向】 5 【题型9 抛物线的对称性及其应用】 8 【题型10 抛物线的实际应用问题】 8 知识点1 抛物线的标准方程 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 4．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【题型1 抛物线的定义及辨析】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（24-25高二上·江西九江·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型2 求抛物线的轨迹方程】 【例2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式2-2】（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 【例3】（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·上海徐汇·一模）下列抛物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型4 求抛物线的标准方程】 【例4】（24-25高二上·湖南·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·重庆·期末）若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·陕西西安·期中）抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【题型5 根据抛物线的方程求参数】 【例5】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 【变式5-2】（24-25高二上·广东·期末）已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式5-3】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ） A．1 B． C．2 D． 【题型6 求抛物线上的点到定点的距离最值】 【例6】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 【变式6-1】（24-25高三上·广东·开学考试）设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则点到点距离的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 【题型7 抛物线上距离的和、差最值问题】 【例7】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式7-1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·河南新乡·期末）已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 知识点2 抛物线的简单几何性质 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 【题型8 判断抛物线的开口方向】 【例8】（24-25高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【变式8-1】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·山东济宁·期中）下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【变式8-3】（24-25高二上·重庆·期末）已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【题型9 抛物线的对称性及其应用】 【例9】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二·全国·课后作业）若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ） A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 【变式9-3】（24-25高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B．64 C． D．80 【题型10 抛物线的实际应用问题】 【例10】（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二上·全国·课后作业）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离. 【变式10-3】（24-25高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.7 抛物线的标准方程和性质（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 抛物线的定义及辨析】 2 【题型2 求抛物线的轨迹方程】 3 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 5 【题型4 求抛物线的标准方程】 6 【题型5 根据抛物线的方程求参数】 8 【题型6 求抛物线上的点到定点的距离最值】 9 【题型7 抛物线上距离的和、差最值问题】 12 【题型8 判断抛物线的开口方向】 15 【题型9 抛物线的对称性及其应用】 17 【题型10 抛物线的实际应用问题】 19 知识点1 抛物线的标准方程 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 4．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【题型1 抛物线的定义及辨析】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由抛物线方程求焦点坐标及准线方程，结合抛物线定义条件可转化为点到准线的距离为，由此可求结论. 【解答过程】由抛物线可得焦点，准线方程为， 因为点到焦点的距离是， 由抛物线的定义，可得点到准线的距离为， 所以点到轴的距离为. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由条件结合抛物线定义列方程求可得结论. 【解答过程】抛物线的准线方程为， 点到直线的距离为， 因为点与焦点的距离为， 所以， 所以. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二上·江西九江·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意结合抛物线的定义运算求解即可. 【解答过程】根据抛物线的定义，可知，解得. 故选：B． 【变式1-3】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【解答过程】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B. 【题型2 求抛物线的轨迹方程】 【例2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用抛物线的定义求解即可. 【解答过程】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【解题思路】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，由抛物线的定义可得. 【解答过程】因为， 得， 即动点到定点的距离与到定直线的距离相等， 且点不在直线上， 则由抛物线定义知，动点的轨迹为抛物线. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义即可求解. 【解答过程】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程． 【解答过程】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线， 所以，其方程为， 故选：A. 【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 【例3】（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由抛物线的标准方程可得结果. 【解答过程】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左， 所以抛物线的准线方程为． 故选：B. 【变式3-1】（2025·上海徐汇·一模）下列抛物线中，焦点坐标为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出各选项中抛物线的焦点坐标，即可得出答案. 【解答过程】对于抛物线，，可得，故， 所以，抛物线的焦点坐标为， 同理可知，抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，， 抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据抛物线的标准方程可得出该抛物线的焦点坐标. 【解答过程】抛物线的标准方程为，则，可得，， 故抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 【变式3-3】（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把抛物线方程化为标准方程可得结果. 【解答过程】∵抛物线的方程为， ∴标准方程为， ∴抛物线的准线方程为. 故选：A. 【题型4 求抛物线的标准方程】 【例4】（24-25高二上·湖南·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解. 【解答过程】抛物线的准线方程为， 所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高二上·重庆·期末）若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】代入点的坐标可得，即可得标准方程求解. 【解答过程】将代入可得，解得， 故抛物线的标准方程为， 故准线方程为， 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二下·陕西西安·期中）抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线定义将到焦点的距离转化为到准线的距离建立关系可求出. 【解答过程】抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，可知此点到准线的距离为， 又抛物线的准线方程为， 所以可得，解得， 所以抛物线方程为. 故选：A. 【变式4-3】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【解答过程】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 【题型5 根据抛物线的方程求参数】 【例5】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将点坐标代入抛物线的方程，从而求得的值. 【解答过程】点坐标代入抛物线的方程得，解得. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（    ） A． B． C．-8 D．-4 【答案】A 【解题思路】根据抛物线方程，先求得准线方程.结合抛物线定义即可求得点到准线的距离. 【解答过程】因为，所以，其准线方程为 ， 根据抛物线定义，得，解得． 故选：A. 【变式5-2】（24-25高二上·广东·期末）已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解题思路】确定抛物线的准线方程，根据抛物线的焦半径公式，即可求得答案. 【解答过程】由题意知抛物线的准线为， 因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，即A点纵坐标为4， 所以,解得. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得. 【解答过程】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示：    因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即. 故选：A. 【题型6 求抛物线上的点到定点的距离最值】 【例6】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 【答案】B 【解题思路】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【解答过程】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高三上·广东·开学考试）设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【解答过程】如下图，设， 则，，当且仅当时取等号，此时， ，因此， 故选：B． 【变式6-2】（24-25高二上·上海闵行·期末）已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得， ，然后整理换元转化为二次函数求最值. 【解答过程】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点， 该抛物线的准线方程为，设， 由抛物线的定义得，要使最小，则需最大， 如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1， ，且， 所以，令，则， 所以，由， 而， 得，取得最小值，则的最小值为． 故选：B． 【变式6-3】（24-25高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则点到点距离的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【解题思路】利用抛物线的焦点坐标，求出a，设出P的坐标，表示出距离，利用二次函数的性质求解最小值即可． 【解答过程】因为抛物线的焦点为，由题意得，则，所以，设， 则， 所以当时，. 故选：A. 【题型7 抛物线上距离的和、差最值问题】 【例7】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【解题思路】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到． 【解答过程】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 设动点到直线的距离分别为，点到直线的距离为． 由，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是3.    故选：B. 【变式7-1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【解答过程】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【解答过程】由题意得，准线方程为，过点作垂直于准线，垂足为， 过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得， ． 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 【变式7-3】（24-25高二上·河南新乡·期末）已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由抛物线的定义可知，设于点N，，当三点共线且M在中间时，取得最小值，再结合点到直线的距离公式计算可得. 【解答过程】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知. 设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值. 由抛物线，得，所以的最小值为. 故选：B. 知识点2 抛物线的简单几何性质 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 【题型8 判断抛物线的开口方向】 【例8】（24-25高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解题思路】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标. 【解答过程】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由，判断椭圆焦点在轴上，化成标准方程，即可判断焦点位置和开口方向，得出结论. 【解答过程】由，方程表示焦点在轴上的椭圆， 得表示焦点在轴上开口向左的抛物线. 故选：D. 【变式8-2】（24-25高二上·山东济宁·期中）下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解题思路】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可. 【解答过程】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【变式8-3】（24-25高二上·重庆·期末）已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可. 【解答过程】方程，得或， 当时，则有 或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合； 当时，则有 或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合， 综上，方程表示的曲线可能是C. 故选：C. 【题型9 抛物线的对称性及其应用】 【例9】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【解答过程】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 【变式9-1】（24-25高二·全国·课后作业）若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用抛物线关于x轴对称求解即可 【解答过程】由抛物线关于x轴对称易知，点一定在该抛物线上. 故选：B. 【变式9-2】（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ） A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 【答案】A 【解题思路】根据已知条件，结合抛物线的性质，先求出过焦点的最短弦长，再结合抛物线的对称性，即可求解． 【解答过程】∵抛物线C：，即 ， 由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦， 则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为， 由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有条， 故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 ． 故选：A． 【变式9-3】（24-25高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B．64 C． D．80 【答案】A 【解题思路】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解. 【解答过程】因为线段的垂直平分线交于两点， 所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形. 设点且则线段的垂直平分线方程为， 令与轴交于点,又，    则在直角三角形中 继而可得， 所以点坐标为， 代入抛物线，可得，解得， 直角三角形中, 所以四边形的周长为. 故选：A. 【题型10 抛物线的实际应用问题】 【例10】（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【解答过程】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 【变式10-1】（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【解答过程】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B. 【变式10-2】（24-25高二上·全国·课后作业）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离. 【答案】 【解题思路】建立直角坐标系，设抛物线方程和点坐标，求得点坐标，将坐标代入解析式求得点纵坐标，从而知道顶端到连桥AB的距离. 【解答过程】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，，则. 由点B，D均在抛物线上，得解得， 所以抛物线顶端到连桥AB的距离为. 【变式10-3】（24-25高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【答案】(1) (2)能 (3)3 【解题思路】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程; （2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解； 【解答过程】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$