3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二课时　双曲线的标准方程及性质的应用 1.B　直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相切（也可能直线与双曲线的渐近线平行）；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一公共点. 2.C　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为＝＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为（－1，－2）. 3.D　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F（2，0），将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以｜PF｜＝3.又A的坐标是（1，3），故△APF的面积为×3×（2－1）＝. 4.B　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝x联立，得x2－a2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝0，x1·x2＝－，∴｜AB｜＝×a＝2，∴a＝3，故选B. 5.C　直线y＝kx过原点，且与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个交点，如图.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以k∈（－1，1）. 6.AC　由双曲线C：－＝1过点（3，），可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；因为双曲线C的离心率为＝＝，所以选项B不正确；因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确；将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立，消去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝（－4）2－4×3×4＝－32＜0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确. 7.ACD　若直线l与C的两支交于顶点A，B，则｜AB｜min＝2a，若直线l与C的一支交于A，B两点，则通径最短，｜AB｜min＝，由题意得＝2a＝4，解得a＝b＝2，故双曲线C的方程为－＝1，把选项A，B，C，D中点的坐标分别代入方程，得B选项表示的点不在双曲线上，A、C、D选项表示的点在双曲线上.故选A、C、D. 8.（1，]　解析：由题意可得，≤2，所以e＝≤.又e＞1，所以离心率e的取值范围是（1，]. 9.　解析：如图，若点P在第一象限，因为·＝0，所以PF1⊥QF1，由图形的对称性知四边形PF1QF2为矩形，因为△PF2Q的面积为4a2，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝8a2，又因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，在Rt△PF1F2中，（4a）2＋（2a）2＝（2c）2，解得e＝＝. 10.解：（1）因为双曲线的两条渐近线方程为y＝±x， 所以可设双曲线的方程为2x2－y2＝λ（λ≠0）. 又因为双曲线经过点（3，－2），代入方程可得λ＝6， 所以所求双曲线的方程为－＝1. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 过F且倾斜角为60°的直线方程为y＝（x－3）， 联立消去y得x2－18x＋33＝0，因为Δ＞0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝18，x1x2＝33， 所以｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·＝2＝16. 11.D　由题意知e＝＝，所以a＝2b，所以M（2b，b），故直线l的方程为y－b＝－（x－2b）.令y＝0，得x＝4b，所以C（4b，0）.又因为＝λ，所以D（（2λ＋2）b，（1－λ）b），代入－＝1，化简得4（λ＋1）2（）2－（1－λ）2＝1，解得λ＝.故选D. 12.ACD　设点P（x，y），由直线PF1与PF2的斜率之积为，可得·＝，整理得－y2＝1，即曲线E的方程为－y2＝1（x≠±），所以A正确；曲线E的离心率e＝＝，所以B不正确；由圆（x－2）2＋y2＝1，可得圆心为（2，0），可得圆心到曲线E的渐近线y＝±x的距离d＝＝1，又由圆的半径为1，所以曲线E的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝1相切，所以C正确；联立方程组整理得2x2－12x＋15＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝，所以｜AB｜＝·＝×＝2，所以D正确.故选A、C、D. 13.2　解析：由题意可知所以a＝1，c2＝a2＋b2＝4，即c＝2，所以F1（－2，0），F2（2，0），直线l：y＝x＋2，令y＝0，得x＝－2，故直线l过点F1，因为直线l的斜率为，且MF2⊥l，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，又点F2到直线l的距离｜MF2｜＝＝2，所以△MF1F2的面积为｜MF2｜·｜F1F2｜·sin 30°＝2. 14.解：（1）由题知 解得 ∴双曲线C的标准方程为－＝1. （2）证明：将l：x＝my＋1代入双曲线C：－＝1，得（2m2－1）y2＋4my－2＝0. 设E（x1，y1），F（x2，y2），则2m2－1≠0，Δ＝32m2－8＞0， y1＋y2＝－， y1y2＝－. 直线AE的方程为y＝（x－2）＋2， 令x＝1，得yM＝＋2； 直线AF的方程为y＝（x－2）＋2， 令x＝1，得yN＝＋2. ∵＋ ＝＝－4， ∴yM＋yN＝0， 又B（1，0），∴｜BM｜＝｜BN｜，即B是MN的中点. 15.解：（1）∵双曲线C的离心率e＝＝，∴c＝a，∴c2＝a2＋b2＝a2，∴b2＝a2， ∴双曲线的方程为－＝1，过点（，2），即－＝1，a2＝3，b2＝1， ∴双曲线方程为－x2＝1. （2）由（1）知双曲线的渐近线方程为y＝±x， 取直线x＝m（0≤m≤1），代入－x2＝1，得y＝，代入y＝x，得y＝m， ∴直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝（3＋3m2）π－3m2π＝3π. 又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积为3π. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　　双曲线的标准方程及性质的应用 1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2025·周口月考）直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是（　　） A.（1，2） B.（－2，－1） C.（－1，－2） D.（2，1） 3.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 4.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则该双曲线的方程为（　　） A.x2－y2＝6 B.x2－y2＝9 C.x2－y2＝16 D.x2－y2＝25 5.（2025·扬州月考）若直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个交点，则实数k的取值范围是（　　） A.（－1，0） B.（0，1） C.（－1，1） D.（1，＋∞） 6.〔多选〕已知双曲线C：－＝1过点（3，），则下列结论正确的是（　　） A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y＝±x D.直线2x－y－1＝0与C有两个公共点 7.〔多选〕已知直线l经过双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得｜AB｜的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（　　） A.（4，2） B.（－2，2） C.（－2，－2） D.（3，－） 8.若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是　　　　. 9.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与C交于P，Q两点，·＝0，且△PF2Q的面积为4a2，则C的离心率为　　　　. 10.双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，且经过点（3，－2）. （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点，求｜AB｜. 11.已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，直线l的斜率为－，且过点M（a，b），直线l与x轴交于点C，点D在E的右支上，且满足＝λ，则λ＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 12.〔多选〕在平面直角坐标系Oxy中，动点P与两个定点F1（－，0）和F2（，0）连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝x－2与E交于A，B两点，则（　　） A.E的方程为－y2＝1（x≠±） B.E的离心率为 C.E的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝1相切 D.｜AB｜＝2 13.已知双曲线C：－＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝x＋2与双曲线C的一条渐近线平行，过点F2作MF2⊥l，垂足为M，则△MF1F2的面积为　　　　. 14.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A（2，2），且△AF1F2的面积为2. （1）求双曲线C的标准方程； （2）直线l：x＝my＋1交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线x＝1交于点M，N，证明：B是MN的中点. 15.（2025·郑州月考）祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点（，2）. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，求阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $