3.2.1 第2课时 双曲线及其标准方程（二）(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第二课时　双曲线及其标准方程（二） 1.设定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝4，则动点P的轨迹是（　　） A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.双曲线或线段或不存在 2.已知F1，F2是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在C上，且PF2⊥x轴，则∠PF1F2＝（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 3.设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，当｜PF1｜＝6时，△PF1F2的面积为（　　） A.4 B.3 C. D.6 4.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为（　　） A.8 km B.6 km C.4 km D.2 km 5.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦点分别为F1（－5，0），F2（5，0），P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则双曲线C的标准方程为（　　） A.x2－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 6.〔多选〕（2025·莆田质检）数缺形时少直观，形少数时难入微.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题.结合上述观点，可得方程｜－｜＝2的解为（　　） A.x＝ B.x＝ C.x＝－ D.x＝－ 7.〔多选〕设F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，P为C上一点且｜PF1｜＝2｜PF2｜，则点P的纵坐标为（　　） A.－2 B.－ C.2 D. 8.已知动点M与两定点A（－1，0），B（1，0）构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为　　　　. 9.已知双曲线C：x2－＝1（m＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与C的右支相交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则△ABF1的周长为　　　　. 10.设动圆M的半径为r，分别求满足下列条件的圆心M的轨迹方程： （1）与圆C：（x＋2）2＋y2＝2内切，且过点A（2，0）； （2）与圆C1：（x＋3）2＋y2＝9外切，且与圆C2：（x－3）2＋y2＝1内切. 11.半径不等的两定圆O1，O2无公共点（O1，O2是两个不同的点），动圆O与圆O1，O2都内切，则圆心O的轨迹是（　　） A.双曲线的一支 B.椭圆或圆 C.双曲线的一支或椭圆或圆 D.双曲线的一支或椭圆 12.〔多选〕已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的一点，∠PF1F2＝30°，I是△PF1F2的内心，则下列结论正确的是（　　） A.△PF1F2是直角三角形 B.点I的横坐标为1 C.｜PI｜＝2－2 D.△PF1F2的内切圆的面积为π 13.双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在该双曲线上，且∠F1PF2＝，则点P到x轴的距离为　　　　. 14.（2025·苏州质检）已知双曲线过点（3，－2）且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若点M在双曲线上，F1，F2分别为左、右焦点，且｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，试判断△MF1F2的形状. 15.（2025·南京质检）在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒（注：v0为信号传播速度），C处舰艇保持静默. （1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程； （2）在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　双曲线及其标准方程（二） 1.B　因为定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝4＜｜F1F2｜，所以根据双曲线的定义及｜PF1｜＝4＋｜PF2｜＞｜PF2｜，可知动点P的轨迹是双曲线的一支，故选B. 2.A　由题意得a＝1，b＝，c＝，当x＝时，y＝±2，故｜PF2｜＝2.｜F1F2｜＝2，所以tan∠PF1F2＝＝，又∠PF1F2∈（0，），所以∠PF1F2＝.故选A. 3.B　因为双曲线C：x2－＝1，所以a＝1，b＝，c＝2，又点P在双曲线C的右支上，｜PF1｜＝6，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，即6－｜PF2｜＝2，所以｜PF2｜＝4，又｜F1F2｜＝2c＝4，所以△PF1F2面积为×6×＝3.故选B. 4.A　设震中为P，依题意有｜PB｜－｜PA｜＝6＜｜AB｜＝10，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，因为｜PA｜＋｜PB｜≥｜AB｜＝10，当且仅当A，P，B三点共线时取等号，所以｜PB｜－6＋｜PB｜≥10，所以｜PB｜≥8，所以震中到地震台B站的距离至少为8 km. 5.A　∵F1（－5，0），F2（5，0），∴c＝5，｜F1F2｜＝10.∵PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，∴cos∠PF1F2＝＝，∴｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6.由双曲线的定义可知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＝2a，∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.∴双曲线C的标准方程为x2－＝1.故选A. 6.AC　由｜－｜＝2得｜－｜＝2.其几何意义为平面内一点（x，1）与两定点（－2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2.平面内与两定点（－2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.设该双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），则解得所以该双曲线的方程是x2－＝1.由解得x＝±.故选A、C. 7.AC　根据题意可知，a＝1，b＝，c＝，由｜PF1｜＝2｜PF2｜以及｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2可得｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，又｜F1F2｜＝2c＝2，由于｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，故PF2⊥F1F2，即△PF1F2为直角三角形，将x＝代入x2－＝1得｜y｜＝2，故点P的纵坐标为2或－2.故选A、C. 8.x2－＝1（y≠0）　解析：设点M的坐标为（x，y），当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在.于是x≠1且x≠－1.此时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.由题意有·＝4，化简得x2－＝1，因为x≠1且x≠－1，即y≠0，所以轨迹C的方程为x2－＝1（y≠0）. 9.8　解析：由x2－＝1（m＞0）得a＝1，由双曲线的定义，可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝2，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a＝2，所以｜AF1｜＝2＋｜AF2｜，｜BF1｜＝2＋｜BF2｜，则△ABF1的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋6＝｜AB｜＋6＝8. 10.解：（1）连接MC，MA（图略），∵圆C与圆M内切，点A在圆C外，∴｜MC｜＝r－，｜MA｜＝r，∴｜MA｜－｜MC｜＝，即动点M到两定点A（2，0），C（－2，0）的距离之差为常数，且＜｜AC｜＝4，∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支，∴点M的轨迹方程是2x2－＝1（x≤－）. （2）连接MC1，MC2（图略），∵圆M与圆C1外切，且圆M与圆C2内切，∴｜MC1｜＝r＋3，｜MC2｜＝r－1，∴｜MC1｜－｜MC2｜＝4＜｜C1C2｜＝6，∴点M的轨迹是以C1（－3，0），C2（3，0）为焦点的双曲线的右支，∴点M的轨迹方程是－＝1（x≥2）. 11.D　两定圆O1，O2无公共点，则它们的位置关系是外离或内含.设两定圆O1，O2的半径分别为r1，r2（r1＞r2），圆O的半径为R.又圆O与圆O1，O2都内切，则当两圆O1，O2外离时，｜OO1｜＝R－r1，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜－｜OO1｜＝r1－r2＜｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是双曲线的一支；当两圆O1，O2内含时，｜OO1｜＝r1－R，｜OO2｜＝R－r2，∴｜OO2｜＋｜OO1｜＝r1－r2＞｜O1O2｜，此时圆心O的轨迹是椭圆.故选D. 12.ABC　由已知可得，｜PF1｜－｜PF2｜＝2，｜F1F2｜＝2，设｜PF2｜＝x，｜PF1｜＝x＋2，则cos∠PF1F2＝＝，得x＝2，所以｜PF2｜＝2，｜PF1｜＝4，即｜PF2｜2＋｜F1F2｜2＝｜PF1｜2，所以PF2⊥F1F2，所以A正确；设内切圆半径为r，则·（｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜）·r＝·｜PF2｜·｜F1F2｜，得r＝－1，所以点I的横坐标为－（－1）＝1，内切圆的面积为S＝π·（－1）2＝（4－2）π，所以B正确，D错误；不妨设点P在第一象限，则P（，2），I（1，－1），所以｜PI｜＝＝2（－1）＝2－2，所以C正确.故选A、B、C. 13.　解析：由双曲线的定义得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝6，平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36，又因为∠F1PF2＝，所以由勾股定理得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝4c2＝4（a2＋b2）＝100，代入｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36，解得｜PF1｜·｜PF2｜＝32，因为＝｜PF1｜·｜PF2｜＝｜F1F2｜×｜yP｜，所以｜yP｜＝，所以点P到x轴的距离为｜yP｜＝. 14.解：（1）椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0）， 则有解得 所以双曲线的标准方程为－＝1. （2）不妨设M点在右支上，则有｜MF1｜－｜MF2｜＝2， 又｜MF1｜＋｜MF2｜＝6， 故解得｜MF1｜＝4，｜MF2｜＝2， 又｜F1F2｜＝2， 因此在△MF1F2中，边MF1最长， 而cos∠MF2F1＝ ＜0， 所以∠MF2F1为钝角. 故△MF1F2为钝角三角形. 15.解：（1）如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设敌舰艇的位置为P（x，y）， 由题意可知｜PB｜－｜PA｜＝v0·＝4＜｜AB｜＝6. 由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支， 且2a＝4，c＝3，所以b＝.所以敌舰艇的轨迹方程为－＝1（x≤－2）. （2）设方程－＝1（x≤－2）上一点M（x0，y0）， 由题意知－＝1（x0≤－2）， 即＝4＋，又C（0，3）， 所以｜MC｜＝ ＝ ＝ ＝（y0∈R）， 所以当y0＝时，｜MC｜min＝2，即无人机飞行的最小距离是2. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $