课后分层练(二十一)　圆的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十一)]　圆的标准方程 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．圆心为(1，2)，且过(0，0)的圆的标准方程为(　　 ) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝ B．x2＋y2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．x2＋y2＝ 解析：选C.因为圆的圆心为(1，2)，且过(0，0)，则圆的半径r＝＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 2．已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在(　　 ) A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 解析：选B.由圆的标准方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a，1)， 则原点与圆心的距离为. ∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外． 3．(多选)下列说法错误的是(　　 ) A．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5 B．圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为b C．圆＋＝2的圆心为(，－)，半径为 D．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为 解析：选ABD.对于A，由圆(x－1)2＋(y－2)2＝5可得，圆心为(1，2)，半径为，故选项A错误； 对于B，由圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)可得，圆心为(－2，0)，半径为|b|，故选项B错误； 对于C，由圆(x－)2＋(y＋)2＝2可得，圆心为(，－)，半径为，故选项C正确； 对于D，由圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5可得，圆心为(－2，－2)，半径为，故选项D错误． 4．(多选)与直线x＝2相切于点(2，0)且半径为1的圆的方程有(　　 ) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(x＋1)2＋y2＝1 D．(x＋3)2＋y2＝1 解析：选AB.如图所示， 由图形知，与直线x＝2相切于点(2，0)且半径为1的圆的圆心为(1，0)或(3，0)， 所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1或(x－3)2＋y2＝1. 5．(多选)(2025·南京期中)已知圆C过点A(1，4)，B(3，2)，且圆心C在直线y＝0上，则(　　 ) A．圆心坐标为C(－1，0) B．半径长r＝5 C．点M1(2，3)在圆内 D．点M2(2，4)在圆外 解析：选ACD.因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为(2，3)，故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为C(－1，0)，A正确；半径长r＝＝2，B错误；所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20，点M1(2，3)到圆心的距离为＝3<r，所以点M1在圆内，C正确；点M2(2，4)到圆心的距离为＝5>r，所以点M2在圆外，D正确． 6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0，0)对称的圆的方程为________． 解析：根据已知条件，圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，那么点(－2，0)关于原点的对称点(2，0)即为所求的圆的圆心．因为半径不变，所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5. 答案：(x－2)2＋y2＝5 7．满足圆心C在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8的圆C的标准方程为_________________． 解析：法一(几何性质法)　如图所示， 由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4. 在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3. 设点C坐标为(a，0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3. ∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. 法二(待定系数法)　由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25. ∵圆截y轴所得线段长为8，∴圆过点A(0，4). 代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3. ∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. 答案：(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25 8．如图，在平面直角坐标系xOy上，有点A(2，1)，B(5，－2)，C(4，3). (1)证明：△ABC是直角三角形； (2)求△ABC的外接圆方程． 解：(1)证明：依题意得kAB＝＝－1， kAC＝＝1，所以kAB·kAC＝－1， 所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形． (2)取BC的中点D(，)，|AD|＝ ＝， 所以△ABC的外接圆方程是＋＝. 9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0). (1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围． 解：(1)∵点M(6，9)在圆N上， ∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10. 又a>0，∴a＝. (2)由已知得圆心N(5，6). ∵|PN|＝＝， |QN|＝＝3， ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴a的取值范围是3<a<，即a∈(3，). 【综合运用】 10．若圆C经过点A(1，1)，B(2，－2)且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，则该圆的面积为(　　 ) A．5π B．13π C．17π D．25π 解析：选D.设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由于A(1，1)，B(2，－2)在圆C上，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上， 则， 解得a＝－3，b＝－2，r＝5， 所以该圆的面积是πr2＝25π. 11．(多选)已知直线l：ax－y＋b＝0，圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，则l与M在同一平面直角坐标系中的图形可能是(　　 ) 解析：选BC.圆M的圆心为(a，－b)，且过原点，可排除A；B项中由直线l可知a>0，b<0，∴圆心(a，－b)在第一象限，满足条件；C项中由直线l可知a<0，b>0，∴圆心(a，－b)在第三象限，满足条件；D项中由直线l可知a<0，b<0，∴圆心(a，－b)在第二象限，与图形不符． 12．(2025·山东烟台高二月考)若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________． 解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1，3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2. 答案：2 13．(新背景)大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年．现有一动点P满足|OP|＝2，其中O为坐标原点，若M(，－)，则|PM|的最小值为________． 解析：动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，即x2＋y2＝4，而|OM|＝＝1<2，故点M(，－)在圆内，所以当O，M，P三点共线时，|PM|最小，即|PM|min＝2－|OM|＝2－1＝1. 答案：1 14．已知点A(1，－2)，B(－1，4)，求： (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程； (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程． 解：(1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小． 即AB的中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝＝， 则圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)法一　直线AB的斜率k＝－3，则直线AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0， 又圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3，2)， r＝|AC|＝＝2， 故所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 法二　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则⇒ 故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 【创新探索】 15．(2025·湖北襄阳高二期末)设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的标准方程． 解：设圆心为(a，b)，半径长为r， 依题意得 消去r得2b2－a2＝1，① 圆心到直线l的距离d＝. 设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式， 整理得2b2＋4kb＋k2＋1＝0. 由Δ＝8(k2－1)≥0，解得|k|≥1， 当|k|＝1时，dmin＝. 当k＝1时，a＝b＝－1，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2； 当k＝－1时，a＝b＝1，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $