2.3.1 两条直线的交点坐标(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.3.1　两条直线的交点坐标 1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是（　　） A. B. C. D. 2.下列直线中与直线2x－y－3＝0相交的是（　　） A.2ax－ay＋6＝0（a≠0） B.y＝2x C.2x－y＋5＝0 D.2x＋y－3＝0 3.（2025·枣庄质检）已知方程kx－y－1＝3k，当实数k变化时，方程表示的所有直线经过的定点坐标为（　　） A.（0，0） B.（0，1） C.（3，1） D.（3，－1） 4.直线x＋a2y＋6＝0和（a－2）x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为（　　） A.－1或2 B.0或3 C.－1或0 D.－1或3 5.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为（　　） A.3x－19y＝0 B.3x＋19y＝0 C.19x＋3y＝0 D.19x－3y＝0 6.〔多选〕已知两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为（　　） A.－24 B.6 C.－6 D.0 7.〔多选〕已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法正确的是（　　） A.l1的倾斜角是锐角 B.l1与l2的交点坐标是（－1，4） C.l1，l2与x轴围成的三角形的面积是 D.过l1与l2的交点与l1垂直的直线方程为x－3y＋13＝0 8.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点（1，m），则m＝　　　　. 9.已知直线l1：mx－y＋m－1＝0与射线l2：x－y－2＝0（x≥0）恒有公共点，则m的取值范围是　　　　. 10.已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求： （1）过点P与Q（1，4）的直线方程； （2）过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程. 11.已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线x＋2y－4＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（　　） A.（－6，2） B.（－，0） C.（－，－） D.（，＋∞） 12.（2025·广州月考）已知直线y－1＝k（x－1）恒过定点A，且点A在直线mx＋ny－2＝0（m＞0，n＞0）上，则mn的最大值为　　　　. 13.（2025·周口月考）已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则满足条件的实数a＝　　　　. 14.已知直线l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0（m∈R），直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0. （1）求证：直线l恒过定点； （2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB的中点，求m. 15.已知△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高所在的直线方程为x＋y－3＝0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x＋3y－7＝0. （1）求顶点A的坐标； （2）求过点E且在x轴，y轴上的截距相等的直线l的方程. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 1.B　由得故交点为. 2.D　选项B、C中的直线与直线2x－y－3＝0平行；当a≠0时，选项A中的直线的斜率为2，与直线2x－y－3＝0也平行，只有与选项D中直线相交. 3.D　将直线方程化为y＋1＝k（x－3），可得直线过定点（3，－1）. 4.C　两直线无公共点，即两直线平行.当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点.当a≠0时，＝≠，解得a＝－1.综上，a＝0或a＝－1. 5.B　设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ（2x＋y＋5）＝0（λ为常数），代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－（2x＋y＋5）＝0，即3x＋19y＝0，故选B. 6.BC　因为两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在y轴上，设交点为（0，b），所以消去b，可得m＝±6.故选B、C. 7.BCD　直线l1的斜率k1＝－3＜0，所以l1的倾斜角是钝角，所以A错误；联立3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0解得交点坐标为（－1，4），所以B正确；结合图形（图略）得直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积S＝×（7－）×4＝，所以C正确；因为所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，所以所求直线的斜率为，由点斜式得y－4＝（x＋1），即x－3y＋13＝0，所以D正确.故选B、C、D. 8.－2　解析：由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.又点（1，m）在直线上，所以a＋2m－1＝0，所以m＝－2. 9.[－1，1）　解析：由得x＝，因为直线l1：mx－y＋m－1＝0与射线l2：x－y－2＝0（x≥0）恒有公共点，所以x＝≥0，解得－1≤m＜1. 10.解：（1）设过直线l1和l2交点的直线方程为x＋2y－6＋m（x－2y＋2）＝0，即（m＋1）x＋（2－2m）y＋2m－6＝0. ① 把点Q（1，4）代入方程①，化简得3－5m＝0， 解得m＝，所以过点P与Q的直线方程为x＋y－＝0，即2x＋y－6＝0. （2）结合（1）中所设的方程①，由两直线平行，得－3（m＋1）＝2－2m，且2m－6≠－（m＋1），得m＝－5，所以所求直线的方程为－4x＋12y－16＝0，即x－3y＋4＝0. 11.C　联立解得由直线kx－y＋2k＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点在第四象限可得解得－＜k＜－，即实数k的取值范围为（－，－）.故选C. 12.1　解析：已知直线y－1＝k（x－1），令得∴直线y－1＝k（x－1）恒过定点A（1，1）.将点A（1，1）的坐标代入mx＋ny－2＝0，得m＋n＝2.又m＞0，n＞0，∴mn≤（）2＝1（当且仅当m＝n＝1时，等号成立）.∴mn的最大值为1. 13.－1或或－2　解析：由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×（－2）＝1×2，且a×4≠1×（－6），解得a＝－1；②当l3∥l2时，不能构成三角形，此时a×3＝4×2，且a×5≠4×（－6），解得a＝；③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时联立l1与l2的方程，得解得所以l1与l2过点（－2，1），将（－2，1）代入ax＋2y－6＝0得a×（－2）＋2×1－6＝0，解得a＝－2.综上，当a＝－1，，－2时，不能构成三角形. 14.解：（1）证明：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0可化为m（x－y＋3）－（2x＋y）＝0， 由于m∈R，则解得 即直线l恒过定点（－1，2）. 所以直线l恒过定点. （2）由（1）知P（－1，2），不妨设A（x0，y0）， 因为P恰为AB的中点，所以B（－2－x0，4－y0）. 因为A，B分别在直线l1和直线l2上， 所以 解得所以A（－2，5）. 将A（－2，5）代入直线l的方程，解得m＝－. 所以m的值为－. 15.解：（1）由已知得kAB＝1，∴直线AB的方程为y－4＝x－3，即x－y＋1＝0. 由解得 ∴点A的坐标为（1，2）. （2）设E（x0，y0），则C（2x0－3，2y0－4）， 则 解得∴E（4，1）. ∵直线l在x轴，y轴上的截距相等， ∴当直线l经过原点时，设直线l的方程为y＝kx，把点E（4，1）代入，得1＝4k，解得k＝，此时直线l的方程为x－4y＝0. 当直线l不经过原点时，设直线l的方程为＋＝1，把点E（4，1）代入，得＋＝1，解得a＝5，此时直线l的方程为x＋y－5＝0. ∴直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $