2.2.1 直线的点斜式方程(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.2.1　直线的点斜式方程 1.已知某直线的倾斜角为30°，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为（　　） A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝－x－2 D.y＝x－2 2.直线y－2＝－（x＋1）的倾斜角及在y轴上的截距分别为（　　） A.60°，2 B.120°，2－ C.60°，2－ D.120°，2 3.（2025·商丘月考）经过点（－1，1），斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是（　　） A.x＝－1 B.y＝1 C.y－1＝（x＋1） D.y－1＝2（x＋1） 4.过点（1，0）且与直线y＝x－1垂直的直线方程是（　　） A.y＝x－ B.y＝x＋ C.y＝－2x＋2 D.y＝－x＋ 5.（2025·苏州月考）若直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，则点（－a，－b）位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.〔多选〕给出下列四个结论，正确的是（　　） A.方程k＝与方程y－2＝k（x＋1）可表示同一直线 B.直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C.直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程是y＝y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 7.〔多选〕已知两条直线l1：y－3＝k（x－1），l2：y－3＝－（x－2），则下列说法正确的是（　　） A.l1与l2一定相交 B.l1与l2一定平行 C.l1与l2一定垂直 D.l1与l2不可能平行 8.（2025·宁德质检）在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是　　　　. 9.（2025·云浮质检）已知直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直线l的方程为　　　　. 10.分别求下列直线的方程： （1）经过点A（2，－3），且与直线y＝2x－6平行； （2）经过点B（－1，2），且与x轴平行； （3）经过点C（0，－3），且与直线y＝x＋2垂直； （4）经过点（2，2），且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2. 11.（2025·常州月考）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a（ab≠0，a≠b）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） 12.在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，则实数k，b的取值应该满足的条件是（　　） A.k＞2，b＞－3 B.k＞2，b＝－3 C.k＝2，b＞－3 D.k＝2，b＝－3 13.〔多选〕已知直线l：y＝kx＋3k＋4，k∈R，则下列说法正确的是（　　） A.直线恒过一定点 B.直线可以平行于x轴 C.直线可以垂直于x轴 D.若直线不过第四象限，则k＞0 14.已知在平面直角坐标系中的两点A（8，－6），B（2，2）. （1）求线段AB的中垂线的方程； （2）求以向量为方向向量且过点P（2，－3）的直线l的方程. 15.已知直线l的方程为y－1＝k（x－2）（k∈R）. （1）证明：直线l恒过第一象限； （2）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 1.A　由题意得，直线的斜率k＝tan 30°＝，又直线在y轴上的截距为2，故直线的方程为y＝x＋2.故选A. 2.B　该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，所以其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－. 3.C　由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是，由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝（x＋1）. 4.C　由于直线y＝x－1的斜率为，故所求直线的斜率等于－2，故所求直线的方程为y－0＝－2（x－1），即y＝－2x＋2，故选C. 5.C　因为直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞0，所以（－a，－b）位于第三象限，故选C. 6.BC　A不正确，方程k＝不含点（－1，2）；B正确；C正确；D不正确，只有k存在时成立. 7.ACD　两直线的斜率之积为－1，故l1与l2一定垂直并相交，A、C正确；当k＝－时，无实数解，故l1与l2不可能平行，D正确，B错误.故选A、C、D. 8.y＝x－6或y＝－x－6 解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或－，又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6. 9.y＝x±5　解析：由直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x＋b.令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b.由题意得｜b｜＋＋＝30.∴｜b｜＋｜b｜＋｜b｜＝30，∴b＝±5.∴所求直线l的方程为y＝x±5. 10.解：（1）由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y＋3＝2（x－2）. （2）由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的方程为y－2＝0（x＋1），即y＝2. （3）由题意知，所求直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－3，所以直线的方程为y＝－x－3. （4）当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝2，经检验符合题目的要求； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－2＝k（x－2）， 令y＝0，得x＝， 由三角形的面积为2，得×｜｜×2＝2. 解得k＝. 可得直线的方程为y－2＝（x－2）. 综上可知，直线的方程为x＝2或y＝x＋1. 11.D　对于A，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于B，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0.故选D. 12.C　若两直线相交，则一定不满足题意，所以两直线平行，则k＝2.因为直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，所以直线y＝kx＋b在y轴上的截距必大于直线y＝2x－3在y轴上的截距，即b＞－3. 13.AB　直线l：y＝kx＋3k＋4即l：y－4＝k（x＋3），k∈R，所以直线经过定点P（－3，4），选项A正确；当k＝0时，直线平行于x轴，选项B正确；由于直线的斜率k存在且为任意实数，故直线不能垂直于x轴，选项C错误；若直线l不过第四象限，则即k≥0，故D错误.故选A、B. 14.解：（1）易知线段AB的中点的坐标为（5，－2）， ∵kAB＝＝－， ∴线段AB的中垂线的斜率为， ∴由直线的点斜式方程可得线段AB的中垂线的方程为y＋2＝（x－5），即y＝x－. （2）由已知得＝（－6，8），则直线l的斜率为－，又直线过点P（2，－3）， 由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋3＝－（x－2），即y＝－x－. 15.解：（1）证明：由点斜式方程y－1＝k（x－2）可知，直线l恒过点（2，1），该点位于第一象限，所以直线l恒过第一象限. （2）存在，理由如下： 若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则k＜0，A（2－，0），B（0，1－2k）， 所以△ABO的面积S＝（1－2k）·（2－）＝［4＋（－4k）＋（－）］≥×（4＋4）＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，故存在使△ABO面积最小的直线l，其方程为y－1＝－（x－2），即y＝－x＋2. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $