1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第一课时　用空间向量研究距离问题 1.若O为坐标原点，＝（1，1，－2），＝（3，2，8），＝（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（　　） A.　　B.2　　C.　　D. 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为（　　） A.a B. C. D. 3.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是（　　） A. B. C. D. 4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的距离是（　　） A. B. C. D. 5.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，G为线段DD1上的点，且DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则直线A1D1到平面EFGH的距离为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕已知点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝（1，－1，1）的直线l的距离为，则点M的坐标是（　　） A.（0，0，－3） B.（0，0，3） C.（0，0，） D.（0，0，－） 7.〔多选〕如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A.＝（1，0，1） B.平面OBB1的一个法向量为n＝（0，1，－1） C.A1C⊥平面OBB1 D.点A到平面OBB1的距离为 8.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，如图，已知在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为　　　　. 9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1，则直线AB1到平面BC1D的距离为　　　　. 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. （1）求直线FC1到直线AE的距离； （2）求直线FC1到平面AB1E的距离. 11.在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零），点P（x0，y0，z0）到平面α的距离d＝，则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-EFGH中，底面中心O到侧面PEF的距离d＝（　　） A. B. C.2 D.5 12.〔多选〕如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，则下列说法正确的有（　　） A.AC⊥PB B.点C到直线PA的距离为2 C.直线AB到平面PDC的距离为2 D.点D到平面PBC的距离为 13.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为　　　　. 14.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，O为BD的中点，如图1.把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2. （1）求证：OA⊥CD； （2）若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离. 15.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，AA1B1B为矩形，AB＝3，BC＝5. （1）证明：AA1⊥平面ABC； （2）在线段BC上是否存在点P，使得点P到平面A1C1B的距离为2？若存在，求BP的值；若不存在，请说明理由. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时　用空间向量研究距离问题 1.D　∵＝（＋）＝（4，3，6）＝，＝（0，1，0），∴＝－＝，∴｜｜＝＝. 2.D　如图，建立空间直角坐标系，易得C（a，a，0），D1（0，a，2a），取a＝＝（－a，0，2a），u＝＝（，，0），则点D1到直线AC的距离为＝＝a. 3.D　分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）.可以求得平面ABC的一个法向量为n＝（1，1，1），则d＝＝. 4.A　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1）.设平面AB1C的法向量为m＝（x1，y1，z1），＝（1，0，1），＝（1，1，0），由取x1＝1，可得m＝（1，－1，－1）.设平面A1C1D的法向量为n＝（x2，y2，z2），＝（0，－1，1），＝（1，0，1），由取x2＝1，可得n＝（1，－1，－1）.因为m＝n，平面AB1C与平面A1C1D不重合，故平面AB1C∥平面A1C1D，＝（0，1，0），所以平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d＝＝＝. 5.A　以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则E（1，1，），F（0，1，），G（0，0，），D1（0，0，1），A1（1，0，1），∴＝（－1，0，0），＝（0，－1，－），＝（－1，0，0），则＝，∴∥.又∵EF⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH.∴A1D1到平面EFGH的距离，即为点D1到平面EFGH的距离.设平面EFGH的法向量为n＝（x，y，z），则即令z＝6，则y＝－1，∴n＝（0，－1，6），又∵＝（0，1，－），∴点D1到平面EFGH的距离d＝＝，∴直线A1D1到平面EFGH的距离为. 6.AB　设M（0，0，m），则＝（0，0，m），又直线l的方向向量为s＝（1，－1，1），所以点M与直线l的距离d＝＝＝，所以m＝±3，则M（0，0，3）或M（0，0，－3）.故选A、B. 7.BCD　由题意得O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，－1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），所以＝（1，1，1），故A不正确；＝（1，0，0），设平面OBB1的法向量为n＝（x，y，z），则令y＝1，得n＝（0，1，－1），故B正确；＝（0，1，－1）＝n，所以A1C⊥平面OBB1，故C正确；连接OA（图略），＝（0，－1，0），则点A到平面OBB1的距离d＝＝＝，故D正确，故选B、C、D. 8.　解析：以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，则B（0，0，0），A（2，0，0），P（2，0，2），C（0，2，0），由M为PC的中点可得M（1，1，1），＝（1，1，1），＝（2，0，0），＝（2，0，2）.设n＝（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，则即令z＝－1，可得n＝（0，1，－1），点P到平面MAB的距离d＝＝. 9.　解析：以B为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，0，1），D（，，0），A（0，1，0），B1（0，0，1），所以＝（1，0，1），＝（，，0），＝（0，－1，1）.设平面BC1D的法向量为n＝（x，y，z），则即令x＝1，则n＝（1，－1，－1）.因为·n＝0×1＋（－1）×（－1）＋1×（－1）＝0，所以⊥n，又AB1⊄平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D，所以点A到平面BC1D的距离即为直线AB1到平面BC1D的距离.设直线AB1到平面BC1D的距离为d，因为＝（0，1，0），所以d＝＝＝，所以直线AB1到平面BC1D的距离为. 10.解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1（1，1，1），E（0，0，），F（1，1，），C1（0，1，1），A（1，0，0）. （1）因为＝（－1，0，），＝（－1，0，）， 所以∥，即AE∥FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离. 取u＝＝（－，0，），又＝（0，1，）. 所以＝，·u＝， 所以直线FC1到直线AE的距离为＝. （2）因为AE∥FC1，所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离. ＝（1，0，0），＝（0，1，1），设平面AB1E的法向量为n＝（x，y，z），则即取z＝2，可得n＝（1，－2，2）， 所以点C1到平面AB1E的距离为＝， 所以直线FC1到平面AB1E的距离为. 11.B　以底面中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则O（0，0，0），E（1，1，0），F（－1，1，0），P（0，0，2）.设平面PEF的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将E，F，P三点的坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－D，所以方程可化为－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以d＝＝. 12.BD　取AD的中点为E，连接PE.因为PA＝PD，所以PE⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD.以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，4，0），C（－2，4，0），D（－2，0，0），P（0，0，2），所以＝（－4，4，0），＝（2，4，－2），所以·＝－8＋16＝8≠0，所以AC不垂直于PB，故A中说法错误；＝（2，0，－2），＝（－2，4，－2），所以点C到直线PA的距离d1＝＝2，故B中说法正确；＝（0，－4，0），设平面PCD的法向量为n＝（x，y，z），则 即令z＝1，得x＝－，所以n＝（－，0，1），则点A到平面PDC的距离d2＝＝＝2，又＝，AB⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，故AB∥平面PCD，所以直线AB到平面PDC的距离为2，故C中说法错误；设平面PBC的法向量为m＝（a，b，c），则即令c＝2，得b＝，所以m＝（0，，2），所以点D到平面PBC的距离d3＝＝＝，故D中说法正确. 13.　解析：如图，在平面ABC内过点A作Ay⊥AB，显然射线AB，Ay，AA1两两垂直，以点A为原点，射线AB，Ay，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），B1（1，0，1），C1（，，1），所以＝（1，0，1），＝（－，，1），因为动点P在线段AB1上，则令＝t＝（t，0，t），0≤t≤1，即有点P（t，0，t），所以＝（t－1，0，t），则｜｜2＝（t－1）2＋t2＝2t2－2t＋1，从而＝（t＋1），因此点P到直线BC1的距离d＝ ＝ ＝ ＝≥， 当且仅当t＝时取等号，所以线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为. 14.解：（1）证明：连接OA，在△ABD中，AB＝AD，且O为BD的中点，则OA⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，OA⊂平面ABD，所以OA⊥平面BCD，且CD⊂平面BCD，所以OA⊥CD. （2）在直角梯形ABCD中，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，连接DM（图略）， 则AD􀰿BM，所以四边形ABMD为平行四边形， ∠DMC＝90°，DM为△BDC的中垂线，所以BD＝CD＝2，则BD2＋CD2＝BC2，所以CD⊥BD， 又因为O，M分别为BD，BC的中点，所以OM∥CD，所以OM⊥BD， 故以O为原点，OB，OM，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O（0，0，0），A（0，0，1），D（－1，0，0），M（0，1，0），C（－1，2，0）， 可得＝（－1，1，0），＝（0，2，0），＝（1，0，1）， 设平面ACD的法向量为n＝（x，y，z）， 由令x＝1，则y＝0，z＝－1，可得n＝（1，0，－1）， 则点M到平面ACD的距离d＝＝＝. 15.解：（1）证明：因为AA1C1C是正方形，AA1B1B为矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，且AB，AC⊂平面ABC，AB∩AC＝A， 所以AA1⊥平面ABC. （2）因为AB＝3，AC＝4，BC＝5，所以AB⊥AC， 因此AB，AC，AA1两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图， 则有B（0，3，0），C（4，0，0），A1（0，0，4），C1（4，0，4）， 所以＝（4，－3，0），＝（0，－3，4），＝（4，－3，4）， 设平面A1C1B的一个法向量为m＝（x，y，z）， 则有 即令y＝4，则m＝（0，4，3）， 假设在线段BC上存在点P，满足题设条件，设＝λ，0≤λ≤1，则＝＋＝＋λ＝（0，3，0）＋λ（4，－3，0）＝（4λ，3－3λ，0）， 所以P（4λ，3－3λ，0），＝（4λ，－3λ，0）， 所以点P到平面A1C1B的距离为d＝＝＝2，解得λ＝，满足题意， 故在线段BC上存在点P，使点P到平面A1C1B的距离为2，此时BP＝BC＝. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $