课时作业(8) 空间中直线、平面的垂直（配套练习）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时作业（八）空间中直线、平面的垂直 答案见Pa I基础训练 二，填空题 一、选择题 6.已知u=(3,a十b,a一b)(a,b∈R)是直线l的方 1.设1的一个方向向量为a=(1,3,一2)，l2的一 向向量，n=(1,2,3)是平面a的法向量，若⊥a, 个方向向量为b=(一4,3，m),若l4⊥12，则m= 则a十b= ( 7.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是 平面a,3,Y的法向量，则a,3,y三个平面中互相垂 A.1 R号 直的有 对 c D.3 8.已知空间三点A(0,0,1),B(一1,1,1)，C(1,2,一3)， 2.若平面a,3的法向量分别为a=(一1,2,4)，b=(x 若直线AB上存在一点M,满足CM⊥AB,则点M -1,-2),且a⊥3，则x的值为 ( 的坐标为 A.10 B.-10 三、解答题 c号 n-是 9.如图，已知正三棱柱ABC-ABC1的各棱长都 为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC,上 3.在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB-90°， 的点，且CV=CC.求证：AB⊥MN AC=2,BC=13,SB=√29，则直线SC与BC 的位置关系是 ( A.平行 B.垂直 C.斜交 D.不确定 4.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1) P(x,0,),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为 A.(1,0,-2) B.(1.0,2) C.(-1,0,2) D.(2,0,-1) 5.(多选)已知点P是平面四边形ABCD所在平面 外一点，若AB=(2,-1,-4,AD=(4,2,0), AP=(-1,2,-1),则 A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.AP是平面ABCD的法向量 D.AP∥BD ·123 10.如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE,CDL14.在棱长为1的正方体ABCD-A1B,CD,中，M 平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE 为棱BB,的中点，在棱DD上是否存在点P, 120°，求证：平面ADE⊥平面ABE. 使MD⊥平面PAC? I能力提升川 11.已知A3=(1,5,-2),C=(3,1,),若AB⊥BC, B驴-(x-1,y-3),且BP⊥平面ABC,则实 ‖拓展探究 数x,y,x分别为 15.(多选)在平面直角坐标系Oxyz中，已知点 A9,-54 B9.-94 P(2cosx+1,2cos2.x+2,0)和点Q(cosx,-1, 3),其中x∈[0，π].若直线OP与直线OQ垂 c9.-2.4 D4,9,-15 直，则x的值为 () 12.(选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 A晋 &等 ABCD是平行四边形，且AB=1,BC=2, ∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD,AE⊥PC于 C. n E,则下列结论正确的是 () 16.如图所示，已知正方体ABCD-A1BCD,的 棱长为4，P是AA:的中点，点M在侧面 AAB,B(含边界)内，若DM⊥CP,则△BCM面 积的最小值为 () A.AB⊥AC B.AB⊥平面PAC C.PC⊥平面ABED.∠BEC=60 13.在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的 三个顶点为A(-3,-2,1),B(一1，-1，一1)， A.8 B.4 C.8V2 C(一5，x,0),则x的值为 D& 5 ·124.4,2),P℃·n=0-4+4=0,点(1,3,4)在平面a内：对于D 所以SamP=2BB,XBP=号X1XVOm-1)+(-3 项，记点D(2,0.1),Pi=(1,1,-1).PD·m=2-1-2≠ 0,点(2,0,1)不在平面a内.故选AC项。 号V4m-2m+T=V4(m-)广+是. 14.解析如图所示，分别以DA,DC,DD 所在直线为x轴、y轴、之轴，建立空间 当m=时，SP取得最小值 直角坐标系Dxy,设正方体的棱长为 1,则02，号0).c0.1,0.G(0. 课时作业（八） 1.B解因为1⊥2，所以a·b=0,即1×（一4）十3×3十 1,1D.P(0.0,2）A10.0.B1,1, （一2》Xm=0,所以2m=9-4=5,中m=号，故选B项 0.D(0,0,1,则0=(（--，).BD=(-1 2.B解析因为a⊥3，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b= (-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=一10故选B项. -1,D,所以O求=BD,所以O亦/BD,所以OP∥BD。 3.B解析如图，以A为坐标原点，平行于 设Q(0,1,),则BQ=(-1,0,x).由于OP∥BD,故要使平 BC的直线为x轴，AC,AS所在直线分别 面D,BQ∥平面PAO.只常Ap∥B成，又AP=（-1,0. 为y轴，x轴建立空间直角坐标系Ay,则由 AC-2.BC=13,SB=V2丽，可以得到 )故=是则Q(01.2),-(00,). B(-13,2,0).S0,0,23),C(0,2,0),SC- (0,2,-23).CB=(-√13,0,0.周固为sC. 0.01D及C0-0配，得= CB=0,所以SC⊥BC.故选B项。 俗累平行司 4.C解扬由题意知A店=(-1，-1，-1)，AC=(2,0,1), AP-=(x,-1,x),又PA⊥平面ABC,所以有AB·AP=(-1 15.C解析由已知得A(W2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0) E0,0,1).设Mx,x,1),则AM=(x-2x-②，1)，Bi -1,-1)·(x,-1,2)=0,即-x十1-2=0①， (W2,一√2,0)，BE=(0,-√②，1).设平面BDE的法向量为 AC.AP=(2,0,1)·(x,-1,z)=0,即2x+2=0②， 联主①②得x=一1，-2，故点P的坐标为（一1,0,2）.故选 n=(a,b,c),则 n前即a一=0·解得ab 酝，印一2+=0. C项. lc=√2h. 5.ABC解损由题意可得A店·A护=2X(-1)+(-1)X2+ 令b=1,则n=(,1w②).又AM∥平面BDE,所以n·AM= (-4)×(-1)=0.AD.AP=4×(-1)+2×2+0× 0即2一B+区=0，解得=号所以M号号，小故选 (-1)=0,所以AP⊥AB,AP⊥AD,AP是平面ABCD的法 C项. 向量，又BD=AD-AB=(2,3,4),且不存在实数x,使BD 16.解析如图，建立空间直角坐标系，则A(1.0,0),B(1,√3， λAP,所以AP与BD不平行.故选ABC项. 0.C03,0,D(0,0.1,G(03,1,E(1.0） 6服霸周为山所以n所以是-告艺-号，所以a十6 F(2w3,0).G(0w5,) 答案6 7.解析因为a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0，a·c=(0,1,1D· (1.0,1)=1≠0，b·e=(1,1,0)·(1.0.1)=1≠0，所有a,b,c 中任意两个都不垂直，即《，B,Y中任意两个都不垂直，所以三 个平面中互相垂直的有0对. 答案0 8.解析设M(x,y,z),则由已知，得AM=λAB=(一1,1,0) (-A,A,0).又AM=(x,y,2-1),所以x=-A,y=入，x=1. 所以M-1a1).又CM.B=0,CM=(-入-1d-2,4), 设n=(,y,)是平面EFG的法向量，则n·EF=0,n B=(-1,1,0),所以(-A-1,入-2,4)·(-11,0)=(a+ ℉心=0，代入坐标计算得 2y=0, D十(a-2)=0,解得入=号，所以可得点M的坐标 1 2x十2=0， 为(-22以 令x=√3，则y=1,2=3,所以n=(W3,1,w3). 设P(m,s,0)(0<m<1,0s<3), 圈(-22) 剥D=(m,s,-1),B丽=(m-1,s-3,0), 9.证明设AB的中点为O,作OO)∥AA.以O为坐标原点，建 因为DP∥平面EFG,所以nLDP, 立知国所示的空间直角坐标系.由已知得A(-号0,0)小， 所以n·DP=√5m十s-3=0, 所以s=√3-√3m,由题意可知BB=1, B(20.0).c(o,号oN(o.,）B(0,1). ·234· 因为M为C中点，所以M(,0),所以瓜=(- 13.解析因为A(-3,一2,1)，B(-1,-1,-1),C(-5,x,0), 所以AB=(2,1,-2),BC=(-4,r+1,1),AC=(-2,x+ 原，}）成=100.所以不.A成=-}+0+寸 2、-1),分三种情况：①A为直角，A花.AC=0,所以-4+ O.所以M衣⊥AB,所以AB⊥MN x+2+2-0,所以x=0:②B为直角，A店·BC=0,所以 -8+x十1-2=0，所以x=9:③C为直角，AC·BC=0,所 以8+(x十1)(x十2)一1=0，即x2+3x十9=0，方程无解 综上，x的值为0或9. 答案0或9 14解析如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),C(0,1, 8 0.D0,00.M(1,l1,2),假设存在P(00,x)满足条件， 10.证明取BE的中点O,连接OC,又AB⊥平面BCE,所以以 则Pi=(1,0,-x).AC=(-1,1,0). O为原点建立空间直角坐标系Oxy,如图所示， 设平面PAC的法向量为n=(y, 则有C(1,0,0),B(0w3,0),E(0,-√3,0)，D(1,0,1),A(0, ),则 PA·n=0. 3,2). d.n=0. 得/-=0， 一x1十y=0. 令=1，得n=1=子脚n=(11,）, 由题意得M心∥n,Mò=（-1.-1，-之)），所以x=2. 于是AE=(0,-23,-2),DA=(-13,1). 因为正方体的枚长为1，而2>1， 设平面ADE的法向量为n=(a,b,c), 所以棱DD上不存在点P,使MDL平面PAC 则n·AE=(a,b,c)·(0,-23,-2)=-23b-2c=0, 15.BC解析由题意得OP⊥OQ,所以cosx·(2cosx十1) n·DA=(a,b.c)·(-1,w3,1)=-a+3b+c=0. (2c0s2x十2)=0，所以2cos2x-c0s:x=0,所以c0sx=0或 令b=1,则a=0,c=一√3，所以n=(0,1,一√3). 又AB⊥平面BCE,OCC平面BCE,所以AB⊥OC as=之，又re[0,,所以=受我=受故选C项 因为BE⊥OC,AB∩BE=B,AB,BEC平面ABE, 16.D解析如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在 所以OC⊥平面ABE 直线为y轴，DD所在直线为x轴建立空间直角坐标系， 所以平面ABE的法向量可取为m=元=（☑，0,0）. 图为n·m=(0,1,一3)·(1,0,0)=0， 所以n⊥m,所以平面ADE⊥平面ABE 11,B解析因为AB⊥BC,所以AB·BC=0,即3+5-2=0， 解得=4，又BP⊥平面ABC,所以B亦⊥AB,B⊥BC,则 -9 则P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0),设M(4,a 2o年 、5 故选B项， b)(a,b∈[0,4])，则D,M-(4,a,b-4),CP-(4,-4,2),因 7 为D,M1CP,所以DM.CP-16-4a+2b-8=0,得b= 12.ABC解扬由题意得，AC=AB+BC一2AB·BCcos60, 2a-4,所以M4,a,2a-4),所以BM2=(4-4)+(a-4)+ 所以ACV1+4-2X1X2X号-3，而AC+AB=,所 a-40=5(。-号)}'+9. 以AB⊥AC,A项正确：又PA⊥平面ABCD,故以A为原点 建立空间直角坐标系，如图所示， 当a号时，脑取得最小值√厚-4，易知C=4。 5 所以5w的最小值为×4X号-8，故选D项 5 5 课时作业（九） 1.D解扬由题意可得PA=(1,2,一4)，则点P到a的距离 设AP=a(a>0),则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0), 或-常-号长选D现 n P(0,0,a),所以AB=(1,0,0),PC=(0,3,-a, 2.D解扬以A为原点，AB,AD,AA所 因为AB·PC=0,所以AB⊥PC,所以AB⊥PC,又AC∩ 在直线分别为x轴、y轴、：轴建立空间 PC=C,所以AB⊥平面PAC,B项正确：因为AB⊥PC, 直角坐标系，如图，则A(0,0,0),B(a,0, AE⊥PC,AB∩AE=A,所以PC⊥平面ABE,C项正确：由 0),C(a,a,a),所以AC=(a,aa) C项及BEC平面ABE,得PC⊥BE,即∠BEC-90°，D项错误. BC=(0,a,a),由于AC⊥平面ABD, 故选ABC项. ·235·