1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019)

所=（子-1）所以=(号）-2 即m 3 11.(1)证明：如图，取线段AB的中点M,连接ME,MG.在菱形ABCD 中，点E为线段CD的中点，，ME∥AD.又MET平面PAD,ADC平 面PAD,ME∥平面PAD.又△PAB中，点G为线段PB的中点 点M为线段AB的中点，MG∥PA.又MG￠平面PAD,APC平面 PAD,MG∥平面PAD.又ME∩MG=M,且MG,MEC平面MEG. .平面MEG∥平面PAD.又EGC平面MEG,:EG∥平面PAD. (2)解：连接BD和AC,交于点O,过点O作 直线OⅢ垂直于平面ABCD,如图，以O为坐 标原点，以向量0,0成，0为*，y,:轴的正 方向建立空间直角坐标系，则A(5,0,0), C(-3,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0), 502.r(停c(停 1设或=A…C市=(25x,0,2A),则Q(25-3,0,2A),故d (25A-25,0,2),依题意可得向量A夜与市，A花共面，市= (号宁)，衣（宁）小所以存在实数，使得 =+n花=（(+a),-(m-a),m+n）则 (m+)=23A-23. 2(m-n)=0, 解得a=a=子，则Q(停0，子) m+=2入， 且5.0,2)则0√(）0（号 压轴挑战 解：连接D,BG.A市=P市-p且A店=D成，D成=P-P:P元=Pi+ 成…成励成--成成成肥子成号成 }(-成+励=成+号成+号成又=成-成 成+行成船m衣=n应-智可+号成 g成成花成花成=（山智(g1）成 骨成又：B,GP,D因点共面1智-0即m=子 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 白题基础过关 1.C解析：P=(-2,-1,1),则直线PQ的方向向量为AP=(-2A, -A,A)(A≠0)，逐项分析即可知只有C符合要求故选C. 2.A解析：A店=(-1,1,0)，A元=(-1,0,1)，设平而ABC的法向量为 ,则：及0则y,只有A法项符合故 气n,At=-x+:=0, 选A. 3.B解析：符合条件的P应满足A币·n=0,对于A,A市=(-1,3，-1)， ·m=-1+6-3=2≠0：对于B,A=(1,1,-1),M·m=1+2-3=0: 对于C,市=(-1,2，-3)，·n=-1+4-9=-6≠0：对于D,市= (-1,0,-1),A亦.n=-1+0-3=-4≠0，故选B. 4.A解析：在空间直角坐标系中，A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4), 选择性必修第一册·RUA D(4,1,3),A店=(-2，-2,2)，C=(1,1,-1).A店=-2Ci.又AB 与CD不在同一条直线上，，直线AB与CD平行.故选A 5.C解析：由题意直线1的一个方向向量与平面a的一个法向量的数 量积为-2×3+1×3+(-1)×(-3)=0，所以1∥a或1Cam故选C. &A舞折：者aa,则ma所u号号子据得a26:号 2 故a+2b=2-3=-1.放选A. 7.(1)解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则A(3,0,0), C(0,4,0),D(0,0,2),故Ad=(-3,4,0).D=(-3,0,2),设平 面ACD,的法向量为n=(x,y,),则有 a·花=-3x+4y=0令x n.MD=-3x+2=0. 4,则y=3,x=6,所以n=(4,3,6),所以平面ACD1的法向量为(4,3.6)： (②)证明：易知4，(3.0,2)，品(3.4,2)，则P(经41），散产 4，-1，因为m…A市a-6+12-6=0,所以a1A克又AP2 3 平面ACD1,所以AP∥平面ACD 8.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平 面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.因为四边 形ABCD为矩形，所以AB⊥AD,所以AB, AD,AP两两垂直，所以以A为原点，分别 以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、：轴建立 空间直角坐标系，如图所示，则有B(2,0,0),B D(0,2,0),P(0,0,2),则C(2,2,0).因 为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点，所以M(1,1,1),N(1,0,0), Q(1,2,0),所以M=(0,-1,-1).因为平面PAD的一个法向量 为m=(1,0,0),所以M·m=0,即M成⊥m.又因为MN平面PAD, 所以MN∥平面PAD. (2)因为0=(0，-2,0)，所以0示·m=0,所以O1m.又QNt平面 PAD,所以QN∥平面PAD.又因为MNnON=N,MN,QNC平面MNQ, 所以平面MNQ∥平面PAD. 9.D解析：a⊥B,∴a1ba·b=-2-8-2k=0,解得k=-5故选D. 10.D解析：因为u=(3,a+b,a-b)(a.beR)是直线l的方向向量，n= （1,23)是平面a的法向量，且11a,则ua则子空-号，所 1“2 15 以{a+h=6:解得 la-b=9, 因此a+2= 2 选D. 11.1解析：建立如图空间直角坐标系，设正 方形ABCD的边长为1，PA=a,则B(1,0, o).5(分1.0）P0.0o),设r0, 因为BF1PE,所以成.成=- 2+y=0, 所以y宁即r(o,之，0）是D的中点，故品 12.证明：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 A(1,0,1),B1,1,0),C(0,1,1),B1(1,1,1),故=(0,1，-1)， A1C=(-1,1,0),DB=(1,1,1).设平面A1BC,的法向量n=(, y,),则A店1n,A1C⊥n故A,B·n=0,AC·n=0,即y:=0, 黑白题08 -xy=0.取x=1,则n=(1,1,1),放有m=DB.DB11平面A1BC1 13.(1)解：因为EC1平面ABC.CBC平面ABC, 所以EC⊥CB,以C为原点，CB,CE所在的直 线分别为y,:轴建立如图所示的空间直角坐 标系，则C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0), E(0,0,2,D(0,2,1),所以=(5,1，-2)， C正=(0,0,2)，E=(0,2,-1),设平面DEA的 一个法向量是n=a6,e,则·5a+6-2c=0令6=1，则 n.ED=26-c=0, n=(3,1,2),所以平面DBA的一个法向量为(3,1,2)（答案不 唯一). (2)证明：设平面ECA的一个法向量是m=(x,y,),则 m·成=5+y2=0令x1,则m=(1,-万0)，因为m· m,ci=2z=0, 1×√3+(-√5)×1+0×2=0，所以m⊥.所以平面DEA⊥平面ECM 四方法总结 1.用南量证明平行的方法： (1)线线平行：只需证明两直线的方肉向量是共线向量， (2)线面平行：证明直线的方肉向量能用平面的两个基底表示，或证 明直线的方向向量与平面的法向量垂直 (3)面面平行：证明两平面的法向量是共线肉量 2用向量证明垂直的方法： (1)线线垂点：只需证明两直线的方向向量互相垂直 (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量， (3)面面垂直：证明两早面的法向量互相垂直。 14.(1)证明：以D为坐标原点，D,D元，D币的方向分别为x轴，y轴、 :轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）， 设AD=a,则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a. 2）所以成=(20，）d=(0a, 0)=0,所以EF⊥CD. （2)解：因为ce平面PD,设60，)，所以元=（受号 号)由(1)=(a,00),=(0,-a,a).因为cF1平面PcB, 所以x=2=0,所以点G的坐标为(？，0,0即点G为4D的 中点 黑题应用提优 1.B解析：由题意，选项A,若a∥b,则a,b共线，a·b≠0，A错误： 选项B,若b∥B,则b,n垂直，故b·n=0,B正确：选项C,若a⊥a,则 a,m共线，a·m≠0，C错误：选项D,若a∥B,则m,n共线，m·n≠ 0,D错误故选B. 2.B解析：依题意，e⊥m1,e12,则e·m1=A-2=0,e·n2=-H-2=0, 参考答案 解得A=2,4=-2,因此Aμ=0，Au=4,4=-4,入=-1，ACD正确， B错误故选B. 3.D解析：构建如图所示的空间直角坐标系， 连接DC1,设正方体的棱长为1，则D(0,0。 0),A(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0) C1(0,1,1),令F(a,1,1-a)且0≤a≤1，故 A1F=(a-1,1,-a),而B,0=(-1,-1,-1), 励=(-1，-1,0)，DC=(0,1,1),所以 A1市.B,i=1-a-1+a=0,即A,市1Bi,故 D正确：显然AF在由相交线A,F和BC,所成的平面上，且B,D与 该平面有交点，故F在线段BC1上移动过程中A1F可能与B1D相 a-1=-A, 交，B错误：若A,F=AB且AeR,则1=-A,不存在这样的A -a=0xA. A市.Bi=1-a-1=0 值，A错误：若A,市⊥平面BDC:,则 A,市.DC=1-a=0, 显然不存 在这样的a值，故C错误故选D. 4.ABD解析：在正方体ABCD-AB,C,D,中，建立如图所示的空间直 角坐标系，设AB=2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B(2,2,2). C(0,2,2),E(2,1,1),F(1.2,1),E=(-1,1.0),对于A,BB=(0, 0,2),E,BB=0,EF1BB1,A正确：对于B,D=(2,2,0),则E, Di=O,EF⊥DB,而DBOBB,=B,DB,BB,C平面BDD,B1,因此EF⊥ 平面BDD1B1,B正确：对于C,C1i=(0,-2,-2),co%(E,C,b)= E求.Ci-21 成1C而万，227，因此成与C的夹角为120，c错误： 对于D,由BB1⊥平面A,B,C,D1,得平面A,B,C,D,的一个法向量 BB=(0,0,2),又E克·BB=0,EFt平面A1B,GD1,因此EF∥平 面AB,C1D1,D正确故选ABD. 5.-1解析：因为a∥B,所以41∥w2,所以a1=A42,即(-3，y,1)= -3=6A, A(6,-2,),所以 y=-2A,解得 所以y+x■-1.故答案 1=z, y=1, 2=-2. 为-1 6.(1)证明：设AB的中点为E,如图①，连接PE,PQ,CE,因为P为AB 的中点，Q为C,C的中点，所以PE∥AM,PE=24M,QC=2C,C, 在直三棱柱ABC-A,B,C:中，A1A∥C,C,A1A=C,C,所以A1A∥QC, 且A1A=2QC,所以四边形PECQ为平行四边形，则PQ∥EG.又PQ口 平面ABC,ECC平面ABC,所以PQ∥平面ABC.又平面ABQn平 面ABC=l,PQC平面A,BQ,所以PQ∥L D 2 (2)解：在直三棱柱ABC-A,B,C1中，CC1⊥平面ABC,BC⊥AC,所以 以C为原点，以CA,CB,CC所在直线分别为x,y,:轴建立空间直角 黑白题09 坐标系，知图2，因为C1=CB=之M,=1,所以8(01,0)，0(0,0， 1),A(1,0,2),A(1,0,0),则8=(1，-1,2)，A10=(-1,0,-1). A店=(-1,1,0)，又=AA(0≤A≤1)，则币=(，-A,2A）,所以 市.A=0, A市=+B=(A-1,1-A,2A).又AP1平面A,B0,则{ 市.A1=0, 以20得4号 1 压轴挑战 3V2丽5解析：如图，以DA,DC,DD,所在直线 41 为x,y,:轴建立空间直角坐标系，则A(2,0, 0),B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A(2,0 3),B1(2,1,3),C1(0,L,3),D1(0,0,3),可得 =(-2,1,0),=(0,0,3),AB=(0,1, -3),B1t=(-2,0,-3),A1B=(0,1,0),设平 面A14CC,的一个法向量为n=(x,y,:),则 a…花：-2y=0取x=1,则y=2,=0,即 ln·A4=3x=0, m=(1,2,0).设41M=AA,B=(0,A,-3),B1衣=uB,=(-24,0,-34), 则=MA+A,B+B,衣=(-24,1-A,3A-3),因为直线MN∥平 面A,ACC1,则1m,可得M·m=-24+2-2A=0,解得4=1-A,则 M=(2A-2,1-A,6M-3),可得1M12=(2-2)2+(1-A)2+(6M-3)2= 43-461=41(人）广行≥当且仅当A--时。 .23 18 网取得最小值行，即MN的长度的最小值为3西故答案 41 为3V205 41 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时用空间向量研究距离 白 基础过关 1.B解桥：由题意，B成=0成-0成=(1,1,1)-(1,0,2)=(0,1，-1)，所以与B成 同方向的单位向量e=(0,2,2) 22 又成=(0,0，-2)，所以点A到直 线C的距离d=V@P-(@eF“√+【-2x(受)门 √2故选B. 2.C解析：以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,:轴，建立 如图所示的空间直角坐标系，则B(2,2,0),A1(2,0,2),M(0,2,1), A1立=(-2,2，-1)，所以与A,立同方向的单位向量m= ,所以点B到直线A,M的距离为√-(A,店，m)2= √[o2,-2·(号号)门=(g+号) 2.故选C (第2题) (第3题) 3.C解析：如图，以D为坐标原点，以D,D元，DD的方向分别为x轴、 选择性必修第一册·RUA y轴，：轴正方向建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1),E(1,1,0), A(1.0,0).C(0,2,0).从而D,E=(1,1,-1),Ad=(-1,2,0),AD= (-1,0,1).设平面ACD1的法向量为m=(a,b,c),则 ·花=0，即 n·AD=0, a+2b=0得0=2山令a=2,则m=(2,1,2),所以点E到平 -a+c=0, (a=c, 面ACD1的距离为 店：242.兮故选C 3 4.B 解析：设平面ABCD的法向量为n=(x,y,:),则 ·0即2t20 a…市=0，即-2红公=a取x=1,得a=(1,13),四棱维 S-ABCD的高即为点S到平面ABCD的距离，为店.n.2 VIT 2故选B 11 5.(1)证明：由PB⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形，可建立如图所 示空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(3,0,0),C(0,3,0),D(3,3,0), P00,3).由cP=号c,得=号本(0,2.)，同理B(3,2, 0).E或=(-3,0,1)，显然平面ABP的一个法向量为m=(0,1,0), 显然E·n=O且EFt平面ABP,故EF∥平面ABP (2)解：设平面ADF的一个法向量为1=(xy,),且A市=(0,3,0)， D亦=(-3，-1,1)，由 3-0. 取x=1,则y=0,x= D市⊥1 【-3x-y+z=0, 3,1=(1,0,3)为平面ADF的一个法向量.又A市=(-3,0,3)，点 P到平面ADF的距离d= ,m131可 5 (第5题) (第6题) 6.D解析：如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0 1,0,E(分1,0）F(0,0）a1,1D.0(0,01).所以 -(}0,0）=(-1,-1,0),在-(0.-1小设平面 n·BD=-xy=0, EFD1B1的法向量为n=(x,y,),则 …aao 令=1， 则n=(-2,2,1).因为BD∥B,D1,BD￠平面EFD,B1,B,D1C平面 EFD,B1,所以BD∥平面EFD,B,所以直线BD到平面EFD,B,的距 离即为点B到平面EFD,B,的距离，所以直线BD到平面EFD,B,的 EB.n 2 ×(-2)】 距离d= m-242 ，故选D 3 7.D解析：由正方体的性质可得AB,∥ DC1,D B//DB,AB,OD B:=B1,DCO DB=D,且AB1C平面AB,D,DB1C平 面AB:D1,DC,C平面BDC,DBC平面 BDC1,所以平面AB,D,∥平面BDC,则 两平面间的距离可转化为点B到平 面ABD1的距离.以D为坐标原点，DA. 黑白题101.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 白题 基础过美 限时：55min 题组1直线的方向向量与平面的法向量 (-2,b,1),若∥B,则a+2b= 1.(2025·河南郑州高二月考)已知点P(0,1, A.-1 B.1 C.2 0),Q(-2,0,1),则直线PQ的一个方向向量 0.2 可以为 7.(2025·山东菏泽高二月考)如图，在长方 A.(-2,-1,-1) B.(1,-2,1) 体ABCD-A,B,C,D1中，AB=4,BC=3,CC,=2. C.(4,2,-2) D.(4,-2,2) (1)求平面ACD,的法向量. 2.(2025·山东聊城高二月考)已知点A(1,0, (2)线段B,C的中点为点P,求证：A,P∥平 0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的法向 面ACD. 量可以是 ( A.(1,1,1) c.o.20 D.(-1,0,1) 3.(2025·浙江温州高二期中)已知平面α内有 一个点A(2,-1,2),a的一个法向量为n= (1,2,3),则下列点P中，在平面α内的是 ( 8.如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, A.(1,2,1) B.(3,0,1) PA=AD=AB=2,M,V,Q分别是PC,AB,CD的 C.(1,1,-1) D.(1,-1,1) 中点求证： 题组2空间向量与平行问题 (I)MN∥平面PAD: 4.在空间直角坐标系中，A(1,2,3),B(-1,0, (2)平面QMN∥平面PAD. 5).C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD 的位置关系是 ( A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 5.(2025·山东青岛高二期中)直线1的一个方 向向量为(-2,1，-1)，平面α的一个法向量 为n=(3,3,-3),则 A.I∥a B.1⊥a C.l∥a或lCax D.ICa 6.(2025·山东雠坊高二月考)已知平面α的法 向量m=(2a,3,-2),平面B的法向量n= 选择性必修第一册：RJA黑白题014 题组3空间向量与垂直问题 13.(2025·山东菏泽高二月考)如图，△ABC是 9.(2025·河南新乡高二月考)已知平面α的法 一个正三角形，EC⊥平面ABC,BD∥CE,且 向量为a=(1,2,-2),平面B的法向量为b= CE=CA=2BD=2. (-2,-4,k),若a⊥B,则k= ( (1)求平面DEA的法向量： A.4 B.-4 C.5 D.-5 (2)求证：平面DEA⊥平面ECA. 10.苏教版教材变式(2025·江苏无锡高二期 中)已知u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线1 的方向向量，n=(1,2,3)是平面ax的法向 量，若1⊥，则a+2b= 9 B C.6 1I,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方 形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥ PE时部 12.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，求证：DB,1平14.(2025·山东淄博高二月考)如图，在四棱锥 面A,BC· P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD 为正方形，PD=DC,E,F分别是AB,PB的 中点 (1)求证：EF⊥CD: (2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面 PCB,试确定点G的位置 第-章黑白题015 黑题 应用提优 限时：40min 1.(2025·广东广州高二期中)直线a.b的方向！5.(2025·浙江绍兴高二期中)若平面a的一个 向量分别为a,b,平面，B的法向量分别 法向量为4=(-3，y,1),平面B的一个法向量 为m,n,则下列选项正确的是 为42=(6，-2，z)且α∥B,则y+z= A.若a∥b,则a·b=0 6.(2025·安微六安高二月考)如图，在直三棱 B.若b∥B,则b·n=0 C.若a⊥a,则a·m=0 柱ABC-ABG中，CA=CB=2AM,=1,BC⊥ D.若a∥B,则m·n=0 AC,P为A,B上的动点，Q为棱C,C的中点. 2.已知平面ax∩平面B=l,,B的一个法向量分 (1)设平面ABQ∩平面ABC=L,若P为A,B 别为n,=(1,0,1),n2=(0,-1,1),直线1的方 的中点，求证：PQ∥l: 向向量为e=(入，4，-2)，则下列结论不正确 (2)设B丽=ABA,AP⊥平面A,BQ,求实数A 的是 的值. A.入+u=0 B.入-4=-4 C.w=-4 D.=-1 3.(2025·广东东莞高二月考)如图，在正方 体ABCD-A,B,C,D,中，当点F在线段BC,上 运动时，下列结论正确的是 A.A,F与BD可能平行 B.A,F与B,D始终异面 C.A,F与平面BDC,可能垂直 D.A,F与B,D始终垂直 (第3题) (第4题) 压轴挑战 4.(多选)(2025·云南昆明高二期中)如图 在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别 (2025·重庆江北区高二期中)已知 是AB,BC,的中点.下列结论正确的是( 长方体ABCD-A,B,C,D1,AB=1, A.EF⊥BB, BC=2,AA,=3,在A,B上取一点M,在B,C上取 B.EF⊥平面BDD,B 点V,使得直线MN∥平面A,ACC1,则线 C.EF与C,D的夹角为45 段MN的最小值为 D.EF∥平面A,B,C,D 进阶突破拔高练P3 选择性必修第一册：RJA黑白题016