课时作业(7) 空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行（配套练习）【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时作业(七) 空间中点,直线和平面的向量表示 空间中直线、平面的平行 答案见P。 II基础训练lI 三、解答题 一、选择题 9.如图,在三校柱ABC-A.B.C 中,侧校垂直于底面 1.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是 AB BC,E,F分别为A.C 和BC的中点.求证 ) C.F/平面ABE. A.(,1,1) B.(-1,-3,2) C.(-11) D(2,-3,-2② 2.已知平面a的一个法向量是(2,-1,-1),a/ 则下列向量可作为平面?的一个法向量的是 C A.(4.2.-2) B.(2,0,4) C.(2,-1,-5) D.(4.-2,-2) 3.已知a=(2,4,5).b-(3,x.y)分别是直线/. 的方向向量,若//,则 ( ) A-6.-15 D.-6.y C.x-3,y-15 ## 4.若直线/的一个方向向量为a=(2,5,7),平面。 C ) 的一个法向量为a一(1,1.-1),则 10.已知校长为1的正方体ABCD-A.BC.D中. A.1/a或/C。 B./La E.F,M分别是AC,A.D和BA上任意一点 C./Ca D./与a斜交 求证,平面A.EF//平面BMC 5.已知向量a-(2,-1,3)和b-(-4,2x*,6x)都 是直线/的方向向量,则x的值是 ( ) A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1 二、填空题 6.已知直线/的一个方向向量为(2,m,n),平面。 的一个法向量为(1,1,2),且//g,则 7.设直线/的方向向量为a;平面。的法向量为n (2,2,4),若a=(-1.-1.1),则直线/与平面 的 位置关系为__. 8.已知平面g内的三点A(0.0.1).B(0,1.0).C(1. 0.0),平面3的一个法向量为n三(-1,-1 一1),且?与。不重合,则?与a的位置关系 是 .121· Il能力提升lI 1.M在EF上,且AM/平面BDE,则点M的坐 标为 11.(参选)在如图所示的空间直角坐标系中,正方 ) 体ABCD-A.B.CD 的校长为1.下列结论中 A.(11.1) ( 正确的是 ) C.(1) D.###.1)# 0) A.平面ABBA.的一个法向量为(0,1,0 16.在长方体ABCD-A.BCD 中,AD=DD =1 B.平面B.CD的一个法向量为(1,1,1) AB-3,E.F.G分别是校AB,BC.CC 的中 C.平面BCD.的一个法向量为(1,1,1) 点,P是底面ABCD(不含边界)内的动点,若直 D.平面ABCD的一个法向量为(0,1,1 线DP与平面EFG平行,求入BBP的面积的最 12.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1. 小值. 6).C(3,2,1),D(4.3,0),则直线AB与CD的 位置关系是 ) A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 13.(参选)已知点P(1,-1.2)在平面a内,平面 的一个法向量为n=(2,一1,2),则下列点在。 内的是 . A.(2.3.3) B.(3,-3,4) C.(1,3,4) D.(2,0,1) 14.如图所示,在正方体ABCD-A.B.CD 中,点 O是底面ABCD的中心,点P是DD的中点 点Q是CC 上的点,则OP与BD.的位置关系 是 ;设CQ-CC.若平面DBQ/ 平面PAO,则-___. 1 拓展探究 15. 如图:正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互 相垂直,以CD.CB,CE所在直线分别为x轴、 轴、:轴建立空间直角坐标系,若AB一/2,AF .122·动=证-写，故B项正确：0s武，成》=0s(试。 成=品-子故C项错误：证=专亦=2， 故D项正确.故选BD项. 16.解析以点C为坐标原点，CD,CB,CC所在直线分别 为x,y,:轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,1, 0).设E(2,0m),F(0,1,),0≤m≤3.0≤n≤3，则AE 设平面ABE的法向量为n=(x,y,z), (0,-1,m),亦=(-2,1，n-m.因为EF⊥AE,所以A正， n…Ai=0,-y=0. 则 ”即 a b EF-0,即-1十m(n-m)=0,化简得mn=1十m.当m=0 n…AE=0,受x-2+=0. 时，显然不符合题意.故n=十m≥2，当且仅当m=1时， 令x=2,则y=0,=-名，即n=(2.0,-)》 等号成立.故BF的最小值为2.所以2≤B1F≤3，即B:F 的取值范围是[2,3]. 又C户=(-受0，-c)所以nG庐=0， 又CF过平面ABE,所以CF∥平面ABE 10.证明如图，建立空间直角坐标系Dxyg,A(1,0,1),B(1,1,1), C(0.1,1DA1,0,0),D0,0,0),C(0,1,0),则AC=(-1,1. 0),BC-(-1,0,-1),DA-(1,0,1D,BA=(0,-1,-1D, 答案[2,3] 课时作业（七） 1.C圆a=1,-3,2)=-2(-,是-).故选C项 设A正=AAC.AF-=AD,BM=B1A(a,o∈R,且 2.D解扬因为α∥B,所以3的法向量与a的法向量平行，又 均不为0). (4,一2，一2)=2(2，-1，一1)，所以D项符合题意.故选D项. 设川=(n1y,),e=(x,2,)分别是平面AEF与 3D服团由山/化得号-青=吉解得一6一艺故选D项 平面BMC的法向量， 4,A解扬由条件知a·M=2×1十5×1十7×(-1)=0，所以 1m·AE=0,m·AC=0,J-x十=0. 即 即 a⊥u,故l∥a或lCa.故选A项. m·AF=0,m·DA=0, x十1=0， 5.A解析由题意得a∥b,则有a=b,即2=一4，解得入= 所以可取m=(1,1,一1)， 子所以2。解得一-1故连A项 n·BM-0, 即 一y一=0， 16x=-6, 由》 m·B,C=0, 可得·B才=0 Tm·Bc=0.-m-2=0, 6.解扬因为l∥a,所以1的方向向量与a的法向量垂直，所以 所以可取2=(1,1，一1)，所以m1=2,所以m∥n2, 2m,m)·(1,1,2)=2+m+2m=0,所以m=-子. 所以平面AEF∥平面B:MC 图-号 1.AC解析因为AD-(0.1,0),AB⊥AD,A4,⊥AD,又ABn AA=A.所以AD⊥平面ABBA,所以A项正确：因为CD 7.解析由题意可得，a·n=(-1,一1,1)·(2,2,4)=0，则1∥a (-1.0,0,而(111D…C=-1≠0，所以(1,1,1)不是平面 或lCa 答系l∥a或lCa BCD的法向量，所以B项不正确：因为BC=(0,1,-1), 8.解折AB=(0,1,-1),AC-(1,0,-1),n·AB=(-1,-1, CD=(-1,0,1),(1,1,1)·BC=0.(1,1.1)·CD=0, -1)·(0,1,-1)=-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0, B,C门CD=C,所以(1,1,1)是平面BCD的一个法向量， n·AC=(-1,-1,-1)·(1,0,-1)=-1×1+0+(-1)× 所以C项正确：因为BC=(0,1,1),而BC·(0,1,1)=2≠ (-1)=0,所以n⊥AB,nLAC.又AB∩AC=A,所以n也为a 0,所以(0,1,1)不是平面ABCD的法向量，所以D项不正 的一个法向量，又a与B不重合，所以a∥R 确.故选AC项. 答案平行 12.B解扬由题意得，A=(-3,-3.3).C方=(1,1，-1)，所 9.正明如图，以B为坐标原点，分别以BC,BA,BB,所在直线 以AB=-3CD,所以AB与CD共线，又AB与CD没有公共 为x轴y轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=a, 点，所以ABCD.故选B项. AB=b,BB=c,则B(0,0,0),A(0,b,0),C(a,0,c), 13.AC爵析对于A项，记点A(2,3,3),PA=(1,4,1),PA, F(号，0.0)，E(号，台c）,所以A店=(0，-m0,应- n=2-4十2=0，点(2,3,3)在平面a内：对于B项，记点 B(3,-3,4),Pi=(2,-22).Pi·n=4+2+4≠0，点(3， (受-台c 一3,4)不在平面a内：对于C项，记点C(1,3,4),PC=(0, ·233· 4,2),P℃·n=0-4+4=0,点(1,3,4)在平面a内：对于D 所以SamP=2BB,XBP=号X1XVOm-1)+(-3 项，记点D(2,0.1),Pi=(1,1,-1).PD·m=2-1-2≠ 0,点(2,0,1)不在平面a内.故选AC项。 号V4m-2m+T=V4(m-)广+是. 14.解析如图所示，分别以DA,DC,DD 所在直线为x轴、y轴、之轴，建立空间 当m=时，SP取得最小值 直角坐标系Dxy,设正方体的棱长为 1,则02，号0).c0.1,0.G(0. 课时作业（八） 1.B解因为1⊥2，所以a·b=0,即1×（一4）十3×3十 1,1D.P(0.0,2）A10.0.B1,1, （一2》Xm=0,所以2m=9-4=5,中m=号，故选B项 0.D(0,0,1,则0=(（--，).BD=(-1 2.B解析因为a⊥3，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b= (-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=一10故选B项. -1,D,所以O求=BD,所以O亦/BD,所以OP∥BD。 3.B解析如图，以A为坐标原点，平行于 设Q(0,1,),则BQ=(-1,0,x).由于OP∥BD,故要使平 BC的直线为x轴，AC,AS所在直线分别 面D,BQ∥平面PAO.只常Ap∥B成，又AP=（-1,0. 为y轴，x轴建立空间直角坐标系Ay,则由 AC-2.BC=13,SB=V2丽，可以得到 )故=是则Q(01.2),-(00,). B(-13,2,0).S0,0,23),C(0,2,0),SC- (0,2,-23).CB=(-√13,0,0.周固为sC. 0.01D及C0-0配，得= CB=0,所以SC⊥BC.故选B项。 俗累平行司 4.C解扬由题意知A店=(-1，-1，-1)，AC=(2,0,1), AP-=(x,-1,x),又PA⊥平面ABC,所以有AB·AP=(-1 15.C解析由已知得A(W2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0) E0,0,1).设Mx,x,1),则AM=(x-2x-②，1)，Bi -1,-1)·(x,-1,2)=0,即-x十1-2=0①， (W2,一√2,0)，BE=(0,-√②，1).设平面BDE的法向量为 AC.AP=(2,0,1)·(x,-1,z)=0,即2x+2=0②， 联主①②得x=一1，-2，故点P的坐标为（一1,0,2）.故选 n=(a,b,c),则 n前即a一=0·解得ab 酝，印一2+=0. C项. lc=√2h. 5.ABC解损由题意可得A店·A护=2X(-1)+(-1)X2+ 令b=1,则n=(,1w②).又AM∥平面BDE,所以n·AM= (-4)×(-1)=0.AD.AP=4×(-1)+2×2+0× 0即2一B+区=0，解得=号所以M号号，小故选 (-1)=0,所以AP⊥AB,AP⊥AD,AP是平面ABCD的法 C项. 向量，又BD=AD-AB=(2,3,4),且不存在实数x,使BD 16.解析如图，建立空间直角坐标系，则A(1.0,0),B(1,√3， λAP,所以AP与BD不平行.故选ABC项. 0.C03,0,D(0,0.1,G(03,1,E(1.0） 6服霸周为山所以n所以是-告艺-号，所以a十6 F(2w3,0).G(0w5,) 答案6 7.解析因为a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0，a·c=(0,1,1D· (1.0,1)=1≠0，b·e=(1,1,0)·(1.0.1)=1≠0，所有a,b,c 中任意两个都不垂直，即《，B,Y中任意两个都不垂直，所以三 个平面中互相垂直的有0对. 答案0 8.解析设M(x,y,z),则由已知，得AM=λAB=(一1,1,0) (-A,A,0).又AM=(x,y,2-1),所以x=-A,y=入，x=1. 所以M-1a1).又CM.B=0,CM=(-入-1d-2,4), 设n=(,y,)是平面EFG的法向量，则n·EF=0,n B=(-1,1,0),所以(-A-1,入-2,4)·(-11,0)=(a+ ℉心=0，代入坐标计算得 2y=0, D十(a-2)=0,解得入=号，所以可得点M的坐标 1 2x十2=0， 为(-22以 令x=√3，则y=1,2=3,所以n=(W3,1,w3). 设P(m,s,0)(0<m<1,0s<3), 圈(-22) 剥D=(m,s,-1),B丽=(m-1,s-3,0), 9.证明设AB的中点为O,作OO)∥AA.以O为坐标原点，建 因为DP∥平面EFG,所以nLDP, 立知国所示的空间直角坐标系.由已知得A(-号0,0)小， 所以n·DP=√5m十s-3=0, 所以s=√3-√3m,由题意可知BB=1, B(20.0).c(o,号oN(o.,）B(0,1). ·234·