2.3 培优课 对称问题（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦对称问题，系统梳理中心对称（点与直线关于点对称）、轴对称（点与直线关于直线对称）核心知识点，构建“概念理解—方法规律—应用拓展”学习支架，衔接反射问题与最值问题等实际应用场景。 资料以直观想象与数学运算为核心素养导向，例题分层设计，如中心对称用中点坐标公式推导，轴对称结合垂直关系与中点性质求解，规律方法总结系统。课中辅助教师搭建知识脉络，课后通过训练题与小结帮助学生查漏补缺，提升用数学思维解决实际问题的能力。

重点解读 1.理解轴对称与中心对称的几何性质与代数性质（直观想象）. 2.灵活利用对称性求解反射问题与最值问题（数学运算）. 一、中心对称问题 【例1】（1）求点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点P'的坐标； 解：根据题意可知点A（a，b）为PP'的中点，设点P'的坐标为（x，y）， 则根据中点坐标公式，得所以 所以点P'的坐标为（2a－x0，2b－y0）. （2）求直线3x－y－4＝0关于点（2，－1）的对称直线l的方程. 解：法一　设直线l上任意一点M的坐标为（x，y），则此点关于点（2，－1）的对称点为M1（4－x，－2－y）， 且M1在直线3x－y－4＝0上， 所以3（4－x）－（－2－y）－4＝0，即3x－y－10＝0. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法二　在直线3x－y－4＝0上取两点A（0，－4），B（1，－1）， 则点A（0，－4）关于点（2，－1）的对称点为A1（4，2）， 点B（1，－1）关于点（2，－1）的对称点为B1（3，－1）. 可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0， 即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法三　由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行， 则可设l的方程为3x－y＋c＝0（c≠－4）. 在直线3x－y－4＝0上取一点（0，－4）， 则点（0，－4）关于点（2，－1）的对称点（4，2）在直线3x－y＋c＝0上， 所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 【规律方法】 1.解决点关于点对称问题的方法 点P（x0，y0）关于点A（m，n）的对称点P'（x'，y'）可利用中点坐标公式求得，由得 2.解决直线关于点对称问题的方法 方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的求法求出对称点，再由对称点确定对称直线； 方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程； 特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B（－y）＋C＝0. 训练1　（1）（2025·济宁月考）若点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐标为（－1，2），则点B的坐标为（7，6）； 解析：设点B（x，y），∵点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐标为（－1，2），∴解得x＝7，y＝6，∴点B的坐标为（7，6）. （2）已知直线l1：2x＋y＋2＝0与l2：4x＋by＋c＝0关于点P（1，0）对称，则b＋c＝－10. 解析：在直线l1：2x＋y＋2＝0上取点M（－1，0），N（0，－2），M，N关于点P（1，0）对称的点分别为M1（3，0），N1（2，2）.∵点M1（3，0），N1（2，2）在直线l2：4x＋by＋c＝0上，∴12＋c＝0，8＋2b＋c＝0，解得c＝－12，b＝2，∴b＋c＝－10. 二、轴对称问题 【例2】（2025·湛江月考）已知直线l：y＝3x＋3，求： （1）点P（4，5）关于直线l的对称点的坐标； 解：设点P关于直线l的对称点为P'（x'，y'），则线段PP'的中点在直线l上，且直线PP'垂直于直线l， 即解得 所以点P'的坐标为（－2，7）. （2）直线y＝x－2关于直线l的对称直线的方程. 解：解方程组得 则点（－，－）在所求直线上. 在直线y＝x－2上取点M（2，0）， 设点M关于直线l的对称点为M'（x0，y0）， 则 解得 点M'（－，）也在所求直线上. 由两点式得直线方程为＝， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程. 【规律方法】 1.解决点关于直线对称问题的方法 已知P（x，y），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P'（x'，y'）可以分三步： 第一步，直线PP'和l垂直，故kPP'·kl＝－1（kl≠0）； 第二步，PP'的中点在直线l上，即（，）满足直线方程Ax＋By＋C＝0，得到A·＋B·＋C＝0； 第三步，联立两式可解出x'，y'. 2.解决直线关于直线对称问题的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程： （1）如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0（m≠C1），然后在l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P'（x'，y'），再代入A1x＋B1y＋m＝0即可解出m； （2）如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点（不同于交点），找出这一点关于l2的对称点P'，由直线方程的两点式确定所求直线方程. 训练2　（2025·南通月考）已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程. 解：法一　因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）. 因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l间的距离等于l2与l间的距离. 由两条平行直线间的距离公式，得＝，解得m＝－5或m＝3（舍去）. 所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 法二　由题意知l1∥l2，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）. 在直线l1上取点M（0，3），设点M关于直线l的对称点为M'（a，b），于是有解得即点M'的坐标为（4，－1）. 把点M'的坐标代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 三、对称问题的应用 角度1　光的反射问题 【例3】已知光线从点A（－2，1）射出，经直线2x－y＋10＝0反射，且反射光线所在直线过点B（－8，－3），则反射光线所在直线的方程是（　　） A.x－3y－1＝0 B.3x－y＋21＝0 C.x＋3y＋17＝0 D.3x＋y＋15＝0 解析：B　设A（－2，1）关于直线2x－y＋10＝0的对称点为C（x，y），则解得即C（－6，3），所以反射光线所在直线方程为y－3＝·（x＋6），即3x－y＋21＝0.故选B. 【规律方法】 利用对称解决光线反射问题的方法 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称，即入射光线、反射光线上对应的点关于法线对称.利用点的对称关系可以求解. 角度2　利用对称解决有关最值问题 【例4】　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使得： （1）P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差的绝对值最大； 解：如图，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，则kBB'·kl＝－1， 即×1＝－1， 所以a＋b－4＝0，　① 因为BB'的中点（，）在直线l上， 所以－－1＝0，即a－b－6＝0.　② 由①②得 所以点B'的坐标为（5，－1）. 于是AB'所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0. 易知｜｜PB｜－｜PA｜｜＝｜｜PB'｜－｜PA｜｜， 当且仅当P，B'，A三点共线时，｜｜PB'｜－｜PA｜｜最大. 所以联立直线l与AB'的方程， 解得x＝，y＝， 即l与AB'的交点坐标为（，）. 故点P的坐标为（，）. （2）Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小. 解：如图，设点C关于l的对称点为C'，可求得C'的坐标为（1，2），所以AC'所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知｜QA｜＋｜QC｜＝｜QA｜＋｜QC'｜，当且仅当Q，A，C'三点共线时，｜QA｜＋｜QC'｜最小. 所以联立直线AC'与l的方程，解得x＝，y＝， 即AC'与l的交点坐标为（，）. 故点Q的坐标为（，）. 【规律方法】 利用对称求距离最值问题的方法 要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之和（差）的最值问题，一般借助平面几何知识（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边）及对称性解决.即： （1）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之和最小的点，只需作A（或B）关于直线l的对称点A'（或B'），得直线A'B（或AB'）的方程，再求其与直线l的交点即可； （2）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之差最大的点，则只需求出直线AB的方程，再求其与直线l的交点即可； （3）若两点A，B位于直线l的异侧，要求直线l上到A，B距离之差最大的点，则只需作A（或B）关于直线l的对称点A'（或B'），得直线A'B（或AB'）的方程，再求其与直线l的交点即可. 训练3　（1）一条光线从点A（－1，3）射向x轴，经过x轴上的点P反射后经过点B（3，1），则点P的坐标为（　　） A.（0，0） B.（1，0） C.（2，0） D.（3，0） 解析：C　由题可得B（3，1）关于x轴的对称点为B'（3，－1），则直线AB'的方程为＝，可得y＝－x＋2，令y＝0，可得x＝2，所以点P（2，0）. （2）（2025·宁波月考）已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A（2，0），B（－2，－4），在直线l上求一点P，使｜PB－PA｜最大. 解：易知A，B两点在直线l的同侧， 当且仅当A，B，P三点共线时，｜PB－PA｜取得最大值， 又直线AB的方程为y＝x－2， 则解得 故所求的点P的坐标为（12，10）. 1.点A（－3，1），C（1，y）关于点B（－1，－3）对称，则y的值为（　　） A.－5 B.－6 C.－7 D.－8 解析：C　由已知得＝－3，解得y＝－7. 2.点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是（　　） A.（－1，－3） B.（17，－9） C.（－1，3） D.（－17，9） 解析：A　设点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为（a，b），则由解得即得该点坐标为（－1，－3）.故选A. 3.直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是（　　） A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0 解析：D　在直线x－2y＋1＝0上任取两点，不妨取点（1，1），（0，），这两点关于直线x＝1对称的点分别为（1，1），（2，），两对称点所在直线的方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0. 4.已知点A（3，－1），B（5，－2），且点P在直线x＋y＝0上，若使｜PA｜＋｜PB｜取最小值，则点P的坐标是（，－）. 解析：点A（3，－1）关于直线x＋y＝0的对称点为A'（1，－3），直线A'B与直线x＋y＝0的交点即为所求的点.直线A'B的方程为＝，即y＝x－，与x＋y＝0联立解得x＝，y＝－，∴点P（，－）. 课堂小结 1.理清单 （1）中心对称问题； （2）轴对称问题； （3）对称问题的应用. 2.应体会 （1）解中心对称与轴对称问题，常利用数形结合思想； （2）利用对称性求距离之和或距离之差的绝对值的最值问题，常利用化归与转化思想转化为三点共线问题求解. 3.避易错 求一条直线关于另一条直线的对称直线时，要区分相交线与平行线两种情形，两者不能混为一谈. 1.若点P（3，4）和点Q（a，b）关于直线x－y－1＝0对称，则（　　） A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝－1 C.a＝4，b＝3 D.a＝5，b＝2 解析：D　由解得 2.已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是（　　） A.2　　　　B.4 C.5　　　　D. 解析：D　由题可知：⇒ 所以点P（x，y）到原点的距离是.故选D. 3.与直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是（　　） A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0 C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0 解析：D　由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0（C≠－6）.在直线2x＋3y－6＝0上任取一点（3，0），关于点（1，－1）的对称点为（－1，－2），则点（－1，－2）必在所求直线上，所以2×（－1）＋3×（－2）＋C＝0，解得C＝8.所以所求直线方程为2x＋3y＋8＝0. 4.两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为（　　） A.3x－2y＋24＝0 B.3x－2y－10＝0 C.3x－2y－20＝0 D.3x－2y＋22＝0 解析：D　设所求直线方程为3x－2y＋c＝0（c≠－6，c≠8），由题意可知，所求直线到直线l2的距离等于直线l1，l2间的距离，∴＝.解得c＝22或c＝－6（舍去），∴所求直线的方程为3x－2y＋22＝0.故选D. 5.已知A（3，0），B（0，3），从点P（0，2）射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（　　） A.2 B.6 C.3 D. 解析：D　由题意知直线AB的方程为x＋y＝3，点P（0，2）关于x轴的对称点为P1（0，－2），设点P（0，2）关于直线AB的对称点为P2（a，b），如图，∴解得∴P2（1，3），∴光线所经过的路程为｜PQ｜＋｜QM｜＋｜MP｜＝｜P1P2｜＝＝. 6.若函数y＝的图象上存在两点P，Q关于点（1，0）对称，则直线PQ的方程为（　　） A.x－4y＋1＝0 B.x－4y－1＝0 C.4x－y＋1＝0 D.4x－y－1＝0 解析：B　根据题意，设P（p，），Q（q，），因为线段PQ的中点是（1，0），所以整理得所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，解得x＝1±，所以P（1＋，），Q（1－，－）或P（1－，－），Q（1＋，）.由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0. 7.〔多选〕已知直线l：y＝x，点A（0，－1），则（　　） A.过点A与l平行的直线的方程为y＝x－1 B.点A关于l对称的点的坐标为（0，1） C.点A到直线l的距离为 D.过点A与l垂直的直线的方程为y＝－x－1 解析：ACD　与直线y＝x平行的直线方程可设为y＝x＋m，代入点A（0，－1）得－1＝0＋m，即m＝－1，即平行线方程为y＝x－1，A正确；点A关于l的对称点坐标为（－1，0），B错；点A到直线l的距离为d＝＝，C正确；与直线l垂直的直线方程可设为y＝－x＋n，代入A点坐标得－1＝0＋n，n＝－1，即直线方程为y＝－x－1，D正确.故选A、C、D. 8.〔多选〕已知点M（－1，1），N（2，1），且点P在直线l：x＋y＋2＝0上，则（　　） A.存在点P，使得PM⊥PN B.存在点P，使得2｜PM｜＝｜PN｜ C.｜PM｜＋｜PN｜的最小值为 D.｜｜PM｜－｜PN｜｜的最大值为3 解析：BCD　对于选项A，设P（a，－a－2），若a＝－1时P（－1，－1），此时PM的斜率不存在，kPN＝≠0，PM与PN不垂直，同理a＝2时PM与PN不垂直，当a≠－1且a≠2时kPM＝，kPN＝，若PM⊥PN，则kPM·kPN＝·＝－1，去分母整理得2a2＋5a＋7＝0，Δ＝52－4×2×7＜0，方程无实数解，故PM与PN不垂直，故A错误；对于选项B，设P（a，－a－2），若2｜PM｜＝｜PN｜，则2＝，即2a2＋10a＋9＝0，由Δ＝102－4×2×9＝28＞0，所以方程有解，则存在点P，使得2｜PM｜＝｜PN｜，故B正确；对于选项C， 如图1设M（－1，1）关于直线l的对称点为M'（m，n），则解得即M'（－3，－1），｜M'N｜＝＝，所以｜PM｜＋｜PN｜＝｜PM'｜＋｜PN｜≥｜M'N｜＝，当且仅当M'，P，N三点共线时取等号（P在线段M'N之间），故C正确；对于选项D，如图2，｜｜PM｜－｜PN｜｜≤｜MN｜＝3，当且仅当P在NM的延长线与直线l的交点时取等号，故D正确.故选B、C、D. 9.在原点O处发射一束激光，经过直线l：x＋y－4＝0反射后撞击Q处的一个中子.已知Q的坐标为（3，0），光束射到l的位置为点P，则P的坐标为（，）. 解析：设点Q关于直线l对称的点为Q'（x0，y0），则由解得所以Q'（4，1），则直线OQ'的方程为y＝，联立直线y＝与x＋y－4＝0，可得x＝，y＝，即P（，）. 10.已知直线l：3x＋2y－1＝0与直线l1关于直线x＋y＝0对称，则l1的方程为2x＋3y＋1＝0. 解析：x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0不平行，故l1经过x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0的交点，联立解得即（1，－1）在l1上，取l：3x＋2y－1＝0上另一点（3，－4），设（3，－4）关于直线x＋y＝0的对称点为（m，n），则有解得l1过两点（1，－1）和（4，－3），故方程为＝，即2x＋3y＋1＝0. 11.已知点M（3，5），在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小，并求出P，Q两点的坐标. 解：设点M（3，5）关于直线l的对称点为M1（a，b）， 则 解得即M1（5，1）， 点M（3，5）关于y轴的对称点为M2（－3，5）， 则直线M1M2的方程为＝，即x＋2y－7＝0. 当P，Q分别为直线M1M2与直线l，y轴的交点时，△MPQ的周长最小. 令x＝0，得到直线M1M2与y轴的交点Q（0，）. 由解得 所以直线M1M2与直线l的交点为P（，）. 故点P（，），Q（0，）即为所求. 12.已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. （1）试判断由此得到的△ABC的个数； （2）求直线BC的方程. 解：（1）如图，设B（m，0），点A关于x轴的对称点为A'（1，－2），点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B'（－3，m＋3）. 根据光学知识，直线AB'与直线BC关于直线l对称，点C在直线A'B上，点C又在直线B'A上，又直线A'B的方程为y＝（x－m）， 由得x＝. 又直线AB'的方程为y－2＝·（x－1）， 由 得x＝. 所以＝，即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或m＝－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形. 综上，符合题意的△ABC只有1个. （2）由（1）得m＝，则直线A'B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $