2.3.1 两条直线的交点坐标（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线的交点坐标”核心内容，梳理从几何定性研究到代数定量分析的脉络，通过实例引出交点坐标即方程组解，结合方程组解的个数与系数关系判定位置关系，进而深化过定点直线问题，构建基础到应用的学习支架。 资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察，通过例题训练强化数学运算与逻辑推理，过定点问题多解法培养数学语言表达。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后练习题与小结帮助学生回顾强化，有效弥补知识盲点。

2.3.1　两条直线的交点坐标 课标要求 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标（数学运算）. 2.会根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系（逻辑推理）. 情境导入 　　在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 知识点一｜两条直线的交点坐标 问题1　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示：直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.即交点坐标是方程组的解. 【知识梳理】 已知两条直线的方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线　l1　上，也在直线　l2　上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解. 【例1】（链接教材P70例1）两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为（　　） A.（3，2） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（－3，－2） 解析：B　联立解得∴两条直线的交点坐标为（2，3）. 【规律方法】 1.求两直线的交点坐标可直接建立方程组，利用加减消元法或代入消元法求解即可. 2.当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，再利用此点必在其他直线上解决问题. 训练1　（1）已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M（1，1），则a＋b＝－1； 解析：∵直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M（1，1），∴⇒⇒∴a＋b＝－2＋1＝－1. （2）已知三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点，则m的值为－. 解析：解方程组得所以这两条直线的交点坐标为（4，－2）.由题意知点（4，－2）在直线mx＋2y＋7＝0上，将（4，－2）代入，得4m＋2×（－2）＋7＝0，解得m＝－. 知识点二｜两条直线位置关系的判断 问题2　如果两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，那么两条直线的位置关系与方程组的解有什么关系？ 提示：l1与l2相交⇔方程组有唯一解； l1与l2平行⇔方程组无解； l1与l2重合⇔方程组有无数个解. 【知识梳理】 方程解的个数与两条直线的位置关系 直线位置关系 方程组的解 方程系数关系 l1与l2 相交 有唯一解 A1B2≠A2B1 l1与l2 平行 无解 A1B2＝A2B1，且A1C2≠A2C1 l1与l2 重合 无数个解 A1B2＝A2B1，且A1C2＝A2C1 【例2】（链接教材P71例2）判断下列各对直线的位置关系.如果直线相交，求出交点的坐标： （1）l1：2x－y＝7和l2：3x－4y＝18； 解：解方程组得 所以直线l1和l2相交，交点坐标为（2，－3）. （2）l1：2x－3y＋6＝0和l2：4x－6y＋1＝0； 解：解方程组无解，所以直线l1和l2没有公共点，即l1∥l2. （3）l1：2x＋3y－3＝0和l2：y＝1－x. 解：l1：2x＋3y－3＝0即l1：y＝－x＋1， 与l2：y＝1－x为同一个方程，即l1与l2表示同一条直线，所以l1与l2重合. 【规律方法】 判断两条直线位置关系的方法 （1）判断两条直线的位置关系，关键是看两条直线的方程组成的方程组的解的情况； （2）利用方程系数的关系进行判断； （3）利用直线的斜率进行判断：①当k1≠k2时，l1与l2相交.当两直线斜率都不存在时，两直线平行或重合.当一条直线斜率存在而另一条直线斜率不存在时，两直线相交；②当k1＝k2时，不能判断两直线平行，还可能重合. 训练2　（1）（2025·镇江月考）下列直线中，与直线x＋y－1＝0相交的是（　D　） A.2x＋2y＝6 B.x＋y＝0 C.y＝－x－3 D.y＝x－1 解析：直线x＋y－1＝0的斜率为－1，选项A，B，C中的直线斜率均为－1，只有D选项中的直线的斜率为1，所以两直线相交，故选D. （2）若关于x，y的方程组（m，n∈R）有无穷多组解，则mn＝4. 解析：若方程组有无穷多组解，即两条直线重合，即＝＝，所以m＝－2，n＝－2，则mn＝（－2）×（－2）＝4. 提能点｜过定点的直线问题 角度1　定点的求解 【例3】求证：不论m为何值，直线（m＋3）x＋（2m＋1）y＝9m－3恒过一个定点. 证明：法一　取m＝0，得直线3x＋y＋3＝0； 取m＝1，得直线4x＋3y－6＝0， 解方程组得 故两条直线的交点为（－3，6）. 下面验证直线（m＋3）x＋（2m＋1）y＝9m－3恒过点（－3，6）. 将x＝－3，y＝6代入方程，左边＝9m－3＝右边， 故直线恒过点（－3，6）. 法二　直线方程可变形为（3x＋y＋3）＋m（x＋2y－9）＝0. ∵对任意m该方程恒成立， ∴解得 故直线恒过点（－3，6）. 【规律方法】 解直线恒过定点问题的策略 （1）将方程化为点斜式y－y0＝k（x－x0），其中k为参数，求得直线恒过定点（x0，y0）； （2）赋值法：因为参数可取任意实数，所以给参数任取两次值，得到关于x，y的二元一次方程组，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点； （3）分离参数法：将方程变形，把x，y作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意参数的值都成立，所以需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点. 角度2　过定点的直线系问题 【例4】　（2025·河源月考）求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程. 解：法一　解方程组 得 所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋＝－3（x＋），即15x＋5y＋16＝0. 法二　设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0.（*） 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有 得λ＝，代入（*）式得x＋y＋（2×－3）＝0，即15x＋5y＋16＝0. 变式　本例中若将“平行”改为“垂直”，其他条件不变，如何求解？ 解：设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0， 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3（2＋λ）＋（λ－3）×1＝0，得λ＝－， 所以所求直线方程为5x－15y－18＝0. 【规律方法】 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程； （2）特殊解法（直线系法）：先设出过两条直线交点的直线系方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. 　　提醒：过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0）. 训练3　（1）直线l经过点（1，2），且经过直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为（　　） A.2x＋y＝0 B.2x－y＝0 C.x＋2y＝0 D.x－2y＝0 解析：B　设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）＝0，即（2＋λ）x＋（3－λ）y＋8－λ＝0.因为l过点（1，2），所以（2＋λ）＋2（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.则直线l的方程为2x－y＝0.故选B. （2）若a＋b＋c＝0，且a，b不同时为0，求证：直线ax＋by＋c＝0必过一个定点. 证明：因为a＋b＋c＝0，且a，b不同时为0， 不妨设b≠0，则a＝－（b＋c）. 代入直线方程ax＋by＋c＝0，得－（b＋c）x＋by＋c＝0， 即（x－y）＋（x－1）＝0， 此方程可视为过直线x－y＝0与x－1＝0的交点的直线系方程（不包括直线x－1＝0）. 解方程组得 即两条直线的交点的坐标为（1，1）. 故直线ax＋by＋c＝0必过定点（1，1）. 1.直线l1：x－y＝5与l2：3x－2y＝12的交点在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：D　解方程组得所以两条直线的交点为（2，－3），在第四象限. 2.直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k＝（　　） A.－24 B.24 C.6 D.±6 解析：A　因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为（a，0），所以解得故选A. 3.（2025·焦作月考）直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0恒过定点（－2，3）. 解析：由题意得a（x＋2）＋（－x－y＋1）＝0，令解得∴该直线恒过定点（－2，3）. 4.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点坐标： （1）l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3； （2）l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0. 解：（1）方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. （2）解方程组得 所以l1与l2相交，且交点坐标为（－，）. 课堂小结 1.理清单 （1）两条直线的交点坐标； （2）两条直线位置关系的判断； （3）过定点的直线问题. 2.应体会 （1）求两直线交点坐标时常用到方程思想； （2）对于含有参数的直线恒过定点问题，通常利用特殊到一般思想对参数赋值，转化为具体直线的交点求定点坐标，再回代直线方程证明即可. 3.避易错 对两直线位置关系的判断所满足的条件认识模糊. 1.已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是（　　） A. B. C. D. 解析：B　由得故交点为. 2.下列直线中与直线2x－y－3＝0相交的是（　　） A.2ax－ay＋6＝0（a≠0） B.y＝2x C.2x－y＋5＝0 D.2x＋y－3＝0 解析：D　选项B、C中的直线与直线2x－y－3＝0平行；当a≠0时，选项A中的直线的斜率为2，与直线2x－y－3＝0也平行，只有与选项D中直线相交. 3.（2025·枣庄质检）已知方程kx－y－1＝3k，当实数k变化时，方程表示的所有直线经过的定点坐标为（　　） A.（0，0） B.（0，1） C.（3，1） D.（3，－1） 解析：D　将直线方程化为y＋1＝k（x－3），可得直线过定点（3，－1）. 4.直线x＋a2y＋6＝0和（a－2）x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为（　　） A.－1或2 B.0或3 C.－1或0 D.－1或3 解析：C　两直线无公共点，即两直线平行.当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点.当a≠0时，＝≠，解得a＝－1.综上，a＝0或a＝－1. 5.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为（　　） A.3x－19y＝0 B.3x＋19y＝0 C.19x＋3y＝0 D.19x－3y＝0 解析：B　设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ（2x＋y＋5）＝0（λ为常数），代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－（2x＋y＋5）＝0，即3x＋19y＝0，故选B. 6.〔多选〕已知两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为（　　） A.－24 B.6 C.－6 D.0 解析：BC　因为两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在y轴上，设交点为（0，b），所以消去b，可得m＝±6.故选B、C. 7.〔多选〕已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法正确的是（　　） A.l1的倾斜角是锐角 B.l1与l2的交点坐标是（－1，4） C.l1，l2与x轴围成的三角形的面积是 D.过l1与l2的交点与l1垂直的直线方程为x－3y＋13＝0 解析：BCD　直线l1的斜率k1＝－3＜0，所以l1的倾斜角是钝角，所以A错误；联立3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0解得交点坐标为（－1，4），所以B正确；结合图形（图略）得直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积S＝×（7－）×4＝，所以C正确；因为所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，所以所求直线的斜率为，由点斜式得y－4＝（x＋1），即x－3y＋13＝0，所以D正确.故选B、C、D. 8.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点（1，m），则m＝－2. 解析：由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.又点（1，m）在直线上，所以a＋2m－1＝0，所以m＝－2. 9.已知直线l1：mx－y＋m－1＝0与射线l2：x－y－2＝0（x≥0）恒有公共点，则m的取值范围是[－1，1）. 解析：由得x＝，因为直线l1：mx－y＋m－1＝0与射线l2：x－y－2＝0（x≥0）恒有公共点，所以x＝≥0，解得－1≤m＜1. 10.已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求： （1）过点P与Q（1，4）的直线方程； （2）过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程. 解：（1）设过直线l1和l2交点的直线方程为x＋2y－6＋m（x－2y＋2）＝0，即（m＋1）x＋（2－2m）y＋2m－6＝0.　① 把点Q（1，4）代入方程①，化简得3－5m＝0， 解得m＝，所以过点P与Q的直线方程为x＋y－＝0，即2x＋y－6＝0. （2）结合（1）中所设的方程①，由两直线平行，得－3（m＋1）＝2－2m，且2m－6≠－（m＋1），得m＝－5，所以所求直线的方程为－4x＋12y－16＝0，即x－3y＋4＝0. 11.已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线x＋2y－4＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（　　） A.（－6，2） B.（－，0） C.（－，－） D.（，＋∞） 解析：C　联立解得由直线kx－y＋2k＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点在第四象限可得解得－＜k＜－，即实数k的取值范围为（－，－）.故选C. 12.（2025·广州月考）已知直线y－1＝k（x－1）恒过定点A，且点A在直线mx＋ny－2＝0（m＞0，n＞0）上，则mn的最大值为1. 解析：已知直线y－1＝k（x－1），令得∴直线y－1＝k（x－1）恒过定点A（1，1）.将点A（1，1）的坐标代入mx＋ny－2＝0，得m＋n＝2.又m＞0，n＞0，∴mn≤（）2＝1（当且仅当m＝n＝1时，等号成立）.∴mn的最大值为1. 13.（2025·周口月考）已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则满足条件的实数a＝－1或或－2. 解析：由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×（－2）＝1×2，且a×4≠1×（－6），解得a＝－1；②当l3∥l2时，不能构成三角形，此时a×3＝4×2，且a×5≠4×（－6），解得a＝；③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时联立l1与l2的方程，得解得所以l1与l2过点（－2，1），将（－2，1）代入ax＋2y－6＝0得a×（－2）＋2×1－6＝0，解得a＝－2.综上，当a＝－1，，－2时，不能构成三角形. 14.已知直线l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0（m∈R），直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0. （1）求证：直线l恒过定点； （2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB的中点，求m. 解：（1）证明：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0可化为m（x－y＋3）－（2x＋y）＝0， 由于m∈R，则解得 即直线l恒过定点（－1，2）. 所以直线l恒过定点. （2）由（1）知P（－1，2），不妨设A（x0，y0）， 因为P恰为AB的中点，所以B（－2－x0，4－y0）. 因为A，B分别在直线l1和直线l2上， 所以 解得所以A（－2，5）. 将A（－2，5）代入直线l的方程，解得m＝－. 所以m的值为－. 15.已知△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高所在的直线方程为x＋y－3＝0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x＋3y－7＝0. （1）求顶点A的坐标； （2）求过点E且在x轴，y轴上的截距相等的直线l的方程. 解：（1）由已知得kAB＝1，∴直线AB的方程为y－4＝x－3，即x－y＋1＝0. 由解得 ∴点A的坐标为（1，2）. （2）设E（x0，y0），则C（2x0－3，2y0－4）， 则 解得∴E（4，1）. ∵直线l在x轴，y轴上的截距相等， ∴当直线l经过原点时，设直线l的方程为y＝kx，把点E（4，1）代入，得1＝4k，解得k＝，此时直线l的方程为x－4y＝0. 当直线l不经过原点时，设直线l的方程为＋＝1，把点E（4，1）代入，得＋＝1，解得a＝5，此时直线l的方程为x＋y－5＝0. ∴直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $