2.2.1 直线的点斜式方程（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦直线的点斜式与斜截式方程核心知识点，从确定直线位置的几何要素（点和斜率）切入，先推导点斜式方程，再通过过y轴交点的特殊情况引出斜截式方程，最终应用于解决直线平行与垂直问题，构建概念-推导-应用的完整学习支架。 资料以射击瞄准情境导入激发兴趣，通过问题链引导学生从几何要素抽象出代数关系（数学抽象），例题涵盖斜率存在与否等情况强化运算（数学运算），平行垂直判定培养推理能力（逻辑推理）。课中助于引导探究，课后分层练习助于巩固查漏。

2.2.1　直线的点斜式方程 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程（数学抽象、数学运算）. 2.会用直线的斜截式方程解决直线的平行与垂直问题（数学运算、逻辑推理）. 情境导入 　　射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求.试从数学角度分析子弹是否会命中目标？ 知识点一｜直线的点斜式方程 问题1　（1）经过原点的直线有多少条？经过原点且斜率为1的直线唯一确定吗？由此你能得到什么结论？ 提示：无数条；唯一确定；平面内一点和斜率确定一条直线. （2）由上述结论，经过点P0（x0，y0）且斜率为k的直线与直线上任一点P（x，y）有什么关系？试建立它们的代数关系式. 提示：如图所示，当P与P0不重合时，由斜率公式k＝得y－y0＝k（x－x0）.当P与P0重合，即x＝x0，y＝y0时，同样满足上式，这说明任意P（x，y）均满足：y－y0＝k（x－x0）. 【知识梳理】 1.方程　y－y0＝k（x－x0）　由直线上一定点（x0，y0）及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称　点斜式　. 2.特别地，当k＝0时（如图1），过P0（x0，y0）的直线可以写成　y＝y0　；当k不存在时（如图2），过P0（x0，y0）的直线可以写成　x＝x0　. 　　提醒：（1）点斜式应用的前提条件是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能用此种形式；（2）＝k与y－y0＝k（x－x0）是不同的，前者缺少一个点（x0，y0），后者才是整条直线. 【例1】根据下列给定的条件，分别求直线的方程： （1）直线过点（2，－3），倾斜角为135°； 解：因为直线过点（2，－3），倾斜角为135°，所以直线的斜率k＝tan 135°＝－1，所以直线的点斜式方程为y－（－3）＝－（x－2），即y＋3＝－（x－2）. （2）直线经过点A（1，2），B（－3，5）； 解：因为直线经过点A（1，2），B（－3，5），所以直线的斜率为k＝＝－，所以直线的点斜式方程为y－2＝－（x－1）. （3）直线经过原点，倾斜角为0°； 解：因为直线经过原点，倾斜角为0°，所以斜率为0，所以直线方程为y＝0. （4）直线经过点P（2，－1），倾斜角为90°. 解：因为直线经过点P（2，－1），倾斜角为90°，所以斜率不存在，直线方程为x＝2. 【规律方法】 求直线的点斜式方程的思路 训练1　（1）已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则（　C　） A.该直线过点（－1，2），斜率为－1 B.该直线过点（－1，2），斜率为1 C.该直线过点（－1，－2），斜率为－1 D.该直线过点（－1，－2），斜率为1 解析：直线的方程可化为点斜式y－（－2）＝－[x－（－1）]，故直线过点（－1，－2），斜率为－1. （2）（2025·龙岩月考）已知过定点（4，5）的直线m的一个方向向量是d＝（3，2），则直线m的点斜式方程为y－5＝（x－4）. 解析：因为直线的一个方向向量是d＝（3，2），所以直线的斜率为.又因为直线过点（4，5），所以直线的点斜式方程为y－5＝（x－4）. 知识点二｜直线的斜截式方程 问题2　（1）如果直线过点P0（0，b），斜率为k，如何求直线的方程？ 提示：由直线的点斜式方程，得y－b＝k（x－0），即y＝kx＋b. （2）如果直线方程为y＝kx＋b，则实数b的符号与经过的点P（0，b）的位置有什么联系？ 提示：当b＞0时，点P（0，b）在y轴的正半轴上；当b＝0时，点P（0，b）为坐标原点；当b＜0时，点P（0，b）在y轴的负半轴上. 【知识梳理】 我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的　截距　.方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程　y＝kx＋b　叫做直线的斜截式方程，简称　斜截式　. 　　提醒：（1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；（2）截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 【例2】写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； 解：由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y＝2x＋5. （2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； 解：∵倾斜角α＝150°， ∴斜率k＝tan 150°＝－. 由斜截式可得方程为y＝－x－2. （3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：∵直线的倾斜角为60°， ∴斜率k＝tan 60°＝. ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 变式　若本例（2）条件不变，试求直线与两坐标轴围成的三角形的面积. 解：由直线的方程为y＝－x－2，又其在y轴上的截距为－2，令y＝0，得其在x轴上的截距为－2，所以所求三角形的面积S＝×｜－2｜×｜－2｜＝2. 【规律方法】 直线的斜截式方程的求解策略 （1）求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可； （2）当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程. 训练2　（1）已知直线l：y＝xsin θ＋cos θ的图象如图所示，则角θ是（　D　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析：结合图象易知，sin θ＜0，cos θ＞0，则角θ为第四象限角. （2）如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的斜截式方程是y＝x＋4. 解析：直线y＝x＋2的斜率为，在y轴上的截距为2，则直线l的斜率为，在y轴上的截距为2×2＝4，故直线l的方程为y＝x＋4. 提能点｜直线斜截式方程的应用 问题3　上一节课我们已经讨论过斜率对于直线平行、垂直的影响，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么时候：（1）l1∥l2；（2）l1，l2重合；（3）l1⊥l2. 提示：（1）k1＝k2且b1≠b2. （2）k1＝k2且b1＝b2. （3）k1k2＝－1. 【例3】已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 解：当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋. 由－＝－，得m＝±. 由≠，得m≠且m≠， 所以当m＝－时，l1与l2平行； 又－·（－）＝－1无解. 故当m＝－时，l1与l2平行； 当m＝0时，l1与l2垂直. 【规律方法】 两条直线平行和垂直的判定 （1）平行的判定 （2）垂直的判定 训练3　（1）以A（1，3），B（－5，1）为端点的线段的垂直平分线的斜截式方程为（　A　） A.y＝－3x－4 B.y＝3x－4 C.y＝3x＋4 D.y＝－3x＋4 解析：因为直线AB的斜率kAB＝＝，则垂直平分线的斜率k＝－3，又因为线段AB的中点为M（－2，2），所以所求直线方程为y－2＝－3（x＋2），即y＝－3x－4.故选A. （2）已知直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1），则a＝－，b＝2. 解析：由直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1），得解得 1.已知直线l的方程是y－2＝3（1－x），则直线l的斜率是（　　） A.2　　　B.－1 C.3　　　D.－3 解析：D　将直线的方程化为点斜式方程为y－2＝－3（x－1），所以直线的斜率为－3. 2.直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有（　　） A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0 C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0 解析：B　∵直线经过第一、三、四象限，∴图象如图所示，由图知，k＞0，b＜0. 3.直线y＝6－3x的斜率为－3，在坐标轴上的截距之和等于8. 解析：由直线的斜截式方程y＝6－3x＝－3x＋6，直线的斜率为－3，在坐标轴上的截距之和等于6＋2＝8. 4.（1）求经过点（2，－3），且斜率为－4的直线方程； （2）求经过直线y＝3－2x与y轴的交点且与该直线垂直的直线方程. 解：（1）由直线的点斜式方程得，过点（2，－3），斜率为－4的直线方程为y－（－3）＝－4（x－2），即y＋3＝－4（x－2）. （2）直线y＝3－2x与y轴的交点为（0，3），直线的斜率为－2，故与该直线垂直的直线的斜率为，所求的直线的斜截式方程为y＝x＋3. 课堂小结 1.理清单 直线的点斜式方程与斜截式方程： 点斜式 斜截式 条件 过点（x0，y0），斜率为k 过点（0，b），斜率为k 方程 y－y0＝k（x－x0） y＝kx＋b 2.应体会 利用斜截式求直线方程时，要注意分类讨论思想的应用. 3.避易错 （1）求直线的点斜式与斜截式方程时忽略斜率不存在的情况； （2）混淆直线的截距和距离. 1.已知某直线的倾斜角为30°，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为（　　） A.y＝x＋2 B.y＝－x＋2 C.y＝－x－2 D.y＝x－2 解析：A　由题意得，直线的斜率k＝tan 30°＝，又直线在y轴上的截距为2，故直线的方程为y＝x＋2.故选A. 2.直线y－2＝－（x＋1）的倾斜角及在y轴上的截距分别为（　　） A.60°，2 B.120°，2－ C.60°，2－ D.120°，2 解析：B　该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，所以其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－. 3.（2025·商丘月考）经过点（－1，1），斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是（　　） A.x＝－1 B.y＝1 C.y－1＝（x＋1） D.y－1＝2（x＋1） 解析：C　由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是，由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝（x＋1）. 4.过点（1，0）且与直线y＝x－1垂直的直线方程是（　　） A.y＝x－ B.y＝x＋ C.y＝－2x＋2 D.y＝－x＋ 解析：C　由于直线y＝x－1的斜率为，故所求直线的斜率等于－2，故所求直线的方程为y－0＝－2（x－1），即y＝－2x＋2，故选C. 5.（2025·苏州月考）若直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，则点（－a，－b）位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：C　因为直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞0，所以（－a，－b）位于第三象限，故选C. 6.〔多选〕给出下列四个结论，正确的是（　　） A.方程k＝与方程y－2＝k（x＋1）可表示同一直线 B.直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C.直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程是y＝y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 解析：BC　A不正确，方程k＝不含点（－1，2）；B正确；C正确；D不正确，只有k存在时成立. 7.〔多选〕已知两条直线l1：y－3＝k（x－1），l2：y－3＝－（x－2），则下列说法正确的是（　　） A.l1与l2一定相交 B.l1与l2一定平行 C.l1与l2一定垂直 D.l1与l2不可能平行 解析：ACD　两直线的斜率之积为－1，故l1与l2一定垂直并相交，A、C正确；当k＝－时，无实数解，故l1与l2不可能平行，D正确，B错误.故选A、C、D. 8.（2025·宁德质检）在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是y＝x－6或y＝－x－6. 解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或－，又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6. 9.（2025·云浮质检）已知直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直线l的方程为y＝x±5. 解析：由直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x＋b.令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b.由题意得｜b｜＋＋＝30.∴｜b｜＋｜b｜＋｜b｜＝30，∴b＝±5.∴所求直线l的方程为y＝x±5. 10.分别求下列直线的方程： （1）经过点A（2，－3），且与直线y＝2x－6平行； （2）经过点B（－1，2），且与x轴平行； （3）经过点C（0，－3），且与直线y＝x＋2垂直； （4）经过点（2，2），且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2. 解：（1）由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y＋3＝2（x－2）. （2）由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的方程为y－2＝0（x＋1），即y＝2. （3）由题意知，所求直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－3，所以直线的方程为y＝－x－3. （4）当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝2，经检验符合题目的要求； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－2＝k（x－2）， 令y＝0，得x＝， 由三角形的面积为2，得×｜｜×2＝2. 解得k＝. 可得直线的方程为y－2＝（x－2）. 综上可知，直线的方程为x＝2或y＝x＋1. 11.（2025·常州月考）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a（ab≠0，a≠b）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） 解析：D　对于A，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于B，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D，由l1得a＞0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0.故选D. 12.在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，则实数k，b的取值应该满足的条件是（　　） A.k＞2，b＞－3 B.k＞2，b＝－3 C.k＝2，b＞－3 D.k＝2，b＝－3 解析：C　若两直线相交，则一定不满足题意，所以两直线平行，则k＝2.因为直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，所以直线y＝kx＋b在y轴上的截距必大于直线y＝2x－3在y轴上的截距，即b＞－3. 13.〔多选〕已知直线l：y＝kx＋3k＋4，k∈R，则下列说法正确的是（　　） A.直线恒过一定点 B.直线可以平行于x轴 C.直线可以垂直于x轴 D.若直线不过第四象限，则k＞0 解析：AB　直线l：y＝kx＋3k＋4即l：y－4＝k（x＋3），k∈R，所以直线经过定点P（－3，4），选项A正确；当k＝0时，直线平行于x轴，选项B正确；由于直线的斜率k存在且为任意实数，故直线不能垂直于x轴，选项C错误；若直线l不过第四象限，则即k≥0，故D错误.故选A、B. 14.已知在平面直角坐标系中的两点A（8，－6），B（2，2）. （1）求线段AB的中垂线的方程； （2）求以向量为方向向量且过点P（2，－3）的直线l的方程. 解：（1）易知线段AB的中点的坐标为（5，－2）， ∵kAB＝＝－， ∴线段AB的中垂线的斜率为， ∴由直线的点斜式方程可得线段AB的中垂线的方程为y＋2＝（x－5），即y＝x－. （2）由已知得＝（－6，8），则直线l的斜率为－，又直线过点P（2，－3）， 由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋3＝－（x－2），即y＝－x－. 15.已知直线l的方程为y－1＝k（x－2）（k∈R）. （1）证明：直线l恒过第一象限； （2）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由. 解：（1）证明：由点斜式方程y－1＝k（x－2）可知，直线l恒过点（2，1），该点位于第一象限，所以直线l恒过第一象限. （2）存在，理由如下： 若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则k＜0，A（2－，0），B（0，1－2k）， 所以△ABO的面积S＝（1－2k）·（2－）＝［4＋（－4k）＋（－）］≥×（4＋4）＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，故存在使△ABO面积最小的直线l，其方程为y－1＝－（x－2），即y＝－x＋2. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $