1.2 空间向量基本定理（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，从平面向量基本定理回顾切入，通过问题链引导学生探究空间向量表示所需向量数量及条件，抽象出定理内容，进而学习基底、单位正交基底等概念，最终应用定理解决立体几何中的平行、垂直、角及距离问题，构建“回顾-抽象-理解-应用”的学习支架。 资料以数学抽象和逻辑推理为核心，通过平面向量与空间向量的类比导入，问题链引导学生自主抽象定理条件，培养探究意识。例题与训练题覆盖基底判断、向量表示及立体几何应用，如用向量法证明线面垂直、求异面直线所成角，提升数学运算能力。课中助力教师分层教学，课后便于学生回顾复习，有效弥补知识盲点。

1.2　空间向量基本定理 课标要求 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用（数学抽象、逻辑推理）. 2.会用基底表示空间向量（数学抽象）. 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法（数学运算、逻辑推理）. 情境导入 　　回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其实质就是平面内的任一向量都可以用两个不共线的向量来表示.那么对于空间向量，有没有类似的结论呢？这就是这节课我们要学习的内容. 知识点一｜空间向量基本定理 问题　（1）用两个不共线的向量能不能表示空间内所有向量？至少需要几个向量来表示？ 提示：不能；三个. （2）任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？ 提示：三个向量共面时不可以. （3）如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？ 提示：如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则＝＋.又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＝＋zk.在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得＝xi＋yj.从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk. 【知识梳理】 1.空间向量基本定理 条件 三个　不共面　的向量a，b，c和　任意一个　空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝　xa＋yb＋zc 2.基底：如果三个向量a，b，c　不共面　，那么{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做　基向量　. 　　提醒：（1）基底中不能有零向量；（2）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同. 3.单位正交基底 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两　垂直　，且长度都为　1　，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. 4.正交分解 把一个空间向量分解为三个两两　垂直　的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【例1】（1）判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） ①只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.（　×　） ②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量.（　√　） ③已知向量，，不能构成空间中的一个基底，则O，A，B，C四点共面.（　√　） （2）已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否构成空间的一个基底？ 解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立. ∴e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）＝（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3. ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解， 即不存在实数x，y，使＝x＋y成立. ∴，，不共面. 故{，，}能构成空间的一个基底. 【规律方法】 判断基底的基本思路 （1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底； （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 训练1　（1）〔多选〕设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以构成空间的一个基底的向量组是（　BCD　） A.{a，b，x} B.{x，y，z} C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c} 解析：如图所示，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.故选B、C、D. （2）已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，p＝a－2b＋3c，若p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc，则x＋y＋z＝4. 解析：p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc＝（x＋y）a＋（x－y）b＋zc，又p＝a－2b＋3c，所以故x＋y＋z＝1＋3＝4. 知识点二｜用基底表示空间向量 【例2】如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. 解：因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点，所以＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝＋（－）＋＝＋＋＝（a＋b＋c）. 连接A'N（图略），所以＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝a＋b＋c. 变式　若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？ 解：因为M为BC'的中点，N为B'C'的中点， 所以＝（＋）＝a＋b. 连接AB'（图略），所以＝（＋）＝（＋＋）＝＋＋＝＋（－）＋＝＋－＝a＋b－c. 【规律方法】 用基底表示向量的步骤 训练2　（1）如图，四棱锥P-OABC的底面是矩形，PO⊥底面OABC.设＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，则（　B　） A.＝－a－b＋c B.＝－a－b＋c C.＝－a＋b＋c D.＝－a－b－c 解析：＝－＝（＋）－（＋）＝－－＋＝－a－b＋c.故选B. （2）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝. 解析：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，因为BE＝BB1，DF＝DD1，所以＝＋＋＋＝－－＋＋＝－－＋＋＝－＋＋.因为＝x＋y＋z，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝－1＋1＋＝. 提能点｜空间向量基本定理的应用 角度1　证明空间位置关系 【例3】（链接教材P13例2、例3（1））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明： （1）EF∥平面PAD； 证明：连接PF（图略），因为E，F分别为PC，BD的中点，则＝－＝（＋）－＝＋（－）＝＋＝＋，所以向量，，共面， 又EF⊄平面PAD，DA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD. （2）EF⊥平面PCD. 证明：因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD， 又PA⊂平面PAD，所以CD⊥PA. 因为PA＝PD＝AD， 所以PA⊥PD， 所以·＝（＋）·＝·＝0， ·＝（＋）·＝·＝0， 所以EF⊥PD，EF⊥CD， 又PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD. 【规律方法】 用向量方法证明平行、垂直问题的思路 （1）利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行； （2）把要证的线面垂直转化为线线垂直，再转化为两直线的方向向量的数量积为0. 角度2　求空间角 【例4】　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，则异面直线AC1与CB1所成角的余弦值为. 解析：在△ABC中，因为AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC2＋BC2＝AB2，故∠ACB＝90°，即AC⊥BC.设＝3a，＝4b，＝4c，向量，，不共面且两两垂直，则{a，b，c}构成空间的一个单位正交基底.因为＝－＝4c－3a，＝＋＝4c＋4b，所以·＝（4c－3a）·（4c＋4b）＝16c2＝16，又｜｜＝＝5，｜｜＝＝4，所以cos＜，＞＝＝＝，故异面直线AC1与CB1所成角的余弦值为. 【规律方法】 基向量法求空间角的基本思路 将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角（或其补角），再用基向量表示两方向向量，并借助向量的运算求出角. 角度3　求距离（长度） 【例5】　已知正四面体ABCD的棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，则｜MN｜＝a. 解析：∵＝＋＋＝＋（－）＋（－）＝－＋＋，∴｜｜2＝（ －＋＋）2＝＋＋－·－·＋·＝a2＋a2＋a2－a2－a2＋a2＝a2，故｜｜＝a. 【规律方法】 求空间距离（长度）问题的步骤 （1）选取空间基向量，将待求线段对应的向量用基向量线性表示； （2）求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度. 训练3　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. （1）证明：EF⊥B1C； 解：证明：设＝i，＝j，＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底. 所以＝＋＝－k＋（＋）＝i＋j－k，＝＋＝－i－k， 所以·＝（ i＋j－k）·（－i－k）＝－｜i｜2＋｜k｜2＝0， 所以EF⊥B1C. （2）求EF与C1G所成角的余弦值. 解：因为＝i＋j－k，＝＋＝－k－j， ｜｜2＝（ i＋j－k）2＝｜i｜2＋｜j｜2＋｜k｜2＝3，｜｜＝， ｜｜2＝（ －k－j）2＝｜k｜2＋｜j｜2＝4＋＝，｜｜＝， 所以cos＜，＞＝＝＝＝. 即EF与C1G所成角的余弦值为. 1.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是（　　） A.a B.b C.a＋2b D.a＋2c 解析：D　能与p，q构成基底，则与p，q不共面.∵a＝，b＝，a＋2b＝p－q，∴A、B、C都不符合题意.∵{a，b，c}为基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底. 2.在棱长为1的正四面体ABCD中，AB与CD（　　） A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断位置关系 解析：C　因为＝－，所以·＝·（－）＝·－·＝1×1×－1×1×＝0，故⊥，即AB与CD垂直. 3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为＝a－b＋c. 解析：＝＋＝＋＝＋（－）＝a－b＋c. 4.如图，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点（点P靠近点N），若＝a，＝b，＝c，｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，∠OAB＝∠OAC＝，∠CAB＝，求｜｜的值. 解：＝＋ ＝－＋（＋＋） ＝－a＋［－a＋b＋（c－b）］ ＝－a＋b＋c. ｜｜2＝a2＋b2＋c2－a·b－a·c＋c·b ＝＋＋－×1×1×－×1×2×＝， 所以｜｜＝. 课堂小结 1.理清单 （1）空间向量基本定理； （2）用基底表示空间向量； （3）空间向量基本定理的应用. 2.应体会 在空间向量基本定理及应用中常用到数形结合思想和转化与化归思想. 3.避易错 （1）基向量理解错误，忽视基向量的条件； （2）利用基向量表示向量时，没有转化目标. 1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有（　　） A.a，b共线 B.a，b同向 C.a，b反向 D.a，b共面 解析：A　由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基向量，B，C都是A的一种情况；空间中任意两个向量都是共面的，故D错. 2.已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足＝，N是BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为（　　） A.a＋b＋c B.a＋b－c C.－a＋b＋c D.a－b＋c 解析：C　＝＋＋＝＋＋（－）＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选C. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中点，则AC1与CE的位置关系是（　　） A.重合 B.垂直 C.平行 D.异面 解析：B　设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，＝a＋b＋c，＝＋＝c－a－b，设正方体的棱长为1，则·＝（a＋b＋c）·（c－a－b）＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直. 4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则｜AM｜＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：C　如图所示，＝＋＋＝＋＋（－）＝＋＋，故｜｜2＝（ ＋＋）2＝，则AM＝. 5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　） A.0 B. C. D. 解析：A　根据题意可得，·＝（＋＋）·（＋＋） ＝（－＋＋）·（－－－） ＝ － －＝×4－1－×4＝0，从而得到A1E和GF垂直，故其所成角的余弦值为0. 6.〔多选〕已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均不共线.若{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（　　） A.{，，}不能构成空间的一个基底 B.{，，}能构成空间的一个基底 C.{，，}不能构成空间的一个基底 D.{，，}能构成空间的一个基底 解析：AC　由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面，所以A，B，C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C. 7.〔多选〕（2025·南京质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是（　　） A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 解析：ACD　依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面.因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A、C、D正确.而B1Q与D1P不平行，所以B不正确.故选A、C、D. 8.若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是x＝y＝z＝0. 解析：若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面.由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. 9.（2025·宁德月考）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心.若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝－2. 解析：如图，由题意可得＝－＝－（＋）＝－－＋＝x＋y＋z，则x＝－，y＝－，z＝1，故x＋y－z＝－2. 10.如图，已知在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB'的中点. （1）求证：CE⊥A'D； （2）求异面直线CE与AC'所成角的余弦值. 解：（1）证明：设＝a，＝b，＝c， 根据题意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a·b＝b·c＝c·a＝0. 所以＝b＋c，＝－c＋b－a. 所以·＝－c2＋b2＝0， 所以⊥，即CE⊥A'D. （2）因为｜｜＝｜a｜，｜｜＝｜a｜， 又＝－a＋c， ·＝（－a＋c）·（ b＋c）＝c2＝｜a｜2， 所以cos＜，＞＝＝. 所以异面直线CE与AC'所成角的余弦值为. 11.已知体积为9π的圆锥MO底面圆周上有三点A，B，C，其中M为圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥MO的轴截面为正三角形.若空间中一点N满足＝x＋y＋z（其中x＋y＋z＝1），则｜｜的最小值为（　　） A.3 B.2 C.3 D.6 解析：A　由题意得，点N在圆O所在平面内，所以｜｜的最小值是顶点M到圆O所在的平面的距离，即为圆锥MO的高.设圆锥MO底面圆的半径为r，因为圆锥MO的轴截面为正三角形，所以圆锥MO的高为r，则圆锥MO的体积为πr2×r＝9π，解得r＝3.所以｜｜的最小值为3.故选A. 12.（2025·淮安月考）如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则SC与AB所成角的大小为（　　） A.90° B.60° C.45° D.30° 解析：B　因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以·＝0，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以∠BAC＝45°，AC＝2.因此·＝｜｜·｜｜cos 45°＝2×2×＝4，所以·＝·－·＝4，又SA＝2，所以SC＝＝4，因此cos＜，＞＝＝＝，所以SC与AB所成角的大小为60°. 13.在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ＝－1. 解析：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底.设AB＝1，因为BD⊥AN，所以·＝0，因为＝－＝b－a，＝＋＝c＋λb，所以（b－a）·（c＋λb）＝0，所以＋λ－－＝0，所以λ＝－1. 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AP＝6，AD＝2，∠BAD＝∠BAP＝∠DAP＝60°，E，F分别为PB，PC上的点，且＝2，＝. （1）试用，，表示向量； （2）求｜EF｜. 解：（1）如图，连接AC，由题意知，＝＋＝＋ ＝＋（－） ＝＋ ＝＋（＋） ＝＋＋. （2）由＝＋＋＋＝－＋＋＝－＋＋（－）＝（－）－＋＋（＋－）＝－＋＋＝（－＋3＋）， 又AB＝AP＝6，AD＝2，∠BAD＝∠BAP＝∠DAP＝60°，则·＝·＝6×2×cos 60°＝6，·＝6×6×cos 60°＝18，因此， ｜｜＝＝ ＝＝. 15.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，则＋＋是否为定值？请说明理由. 解：为定值.理由如下： 连接AG并延长交BC于点H，连接DM（图略）. 由题意，可令{，，}为空间的一个基底， ＝＝（＋）＝＋× ＝＋×＝＋（－）＋（－）＝＋＋. ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， 即－＝λ（－）＋μ（－）， ∴＝（1－λ－μ）＋λ＋μ＝（1－λ－μ）·m＋λn＋μt， 由空间向量基本定理，知＝（1－λ－μ）m，＝λn，＝μt， ∴＋＋＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，为定值. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $