专题01 空间向量共面及基本定理9大题型归纳（期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01空间向量共面及基本定理归纳 题型图谱导航总览 题型1空间向量的基本概念 基础固本强基 题型2空间向量线性运算 题型3空间向量基底的概念（重点） 题型4判断空间向量共面（重点） 提升·进阶突破 题型5空间向量共面求参（重点） 题型6空间向量基本定理求参（重点） 题型7空间向量共面定理与体积（难点） 拔高·压轴破难 题型8空间向量数乘运算的几何意义（难点） 题型9空间向量共面与基本定理综合应用（重难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1空间向量的基本概念 【易错】空间向量基本概念的易错点主要是：向量不能比大小，只有模能比大小：向量相等必须方向相 同且模相等，平行不一定相等。零向量方向任意，与任何向量共线，但不一定相等。两个向量总共面， 三个向量共面才有实质意义；基底三向量关键是不共面，不要求垂直或等长。直线的方向向量和平面的 法向量都不唯一，注意别混用。 (26-27高二上河南周口阶段检测)下列关于空间向量的命题中，正确的是() 1/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.空间中所有的单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 B/CD,则4，B,C,D-定在同一条直线上 C.若 D.两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2.（多选)(26-27高二上·安徽阜阳阶段检测)下列命题正确的有() A.空间中不相交的两条直线是异面直线 B,已知4，B,C,D,B是空间中的在意五点，则B+BC+CD+DE+=0 C、若两个非零向量，CD满足B+CD- 满足 ,则A,B,C,D四点共线 D.若B,B,C,D四点共面，且点B,C,D不共线，则存在z∈R,使得 AB=xAC+yAD+zAE 且x+y+z=1 3.(多选)(26-27高二上贵州铜仁阶段检测)下列命题为真命题的是() A.空间中任意两个单位向量必相等 B.在正方体1BCD-4BCD中，必有4C=AG C.若空间向量m,i,p满足m二i,i=p,则m=p D.若空间向量a,乃满足回-6则a=6 4.(多选)(25-26高二全国·暑假作业)下列命题为真命题的是() A.若空间向量ā，6满足同-同，则ā=石 B.在正方体1BCD-4BCD中，必有 AC=AC C.若空间向量m,万，卫满足m=i,n=p,则m=p D.空间中任意两个单位向量必相等 ”· 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(多选)(25-26高二上山东济南期中)下列四个命题中，说法不正确的是() A.空间任意两个单位向量必相等 a.c=b.c B.对于非零向量，由 ，则06 C.同--日+是ā，五共线的充分不必要条件 D.若向量AB.CD满足MB>可， 则AB>CD 题型2空间向量线性运算 【方法总结】空间向量加减法：加法用三角形法则（首尾相连）或四边形法则（共起点取对角线）：减； 法用三角形法则（共起点，指向被减向量）。运算律满足交换律和结合律；首尾相接的向量和等于起点 到终点，封闭图形和为零向量。数乘：实数入乘向量仍为向量，长度为入倍，入>0同向，入<0反向， 入=0得零向量，满足分配律和结合律。 1.（26-27高三上天津滨海新区阶段检测)空间四边形01BC中，01=a,0B=6,0C-6 ,点M在 OA上，且OM=2M1,N为BC的中点，则等于() MN M B 1 21 A.2 a- -b+-C 3 2 +- 2 +6-2 1 C.2 2a+6+c 23 D. 2 ”2 ABCD-ABCD 2.(26-27高二上河南郑州开学考试)如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为1G 的有() D C A B D B B+BC)+CG ②(MM+4D)+DG M4+4B)+BG A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.(25-26高一下湖南长沙期末)如图，在三棱 ABC-ABG中，设 AA=āAB=bAC=cM BC 是的中点，则1M 可表示为() C A B M C …B A.AM-1a+-6+1c B.AM=a+6+ 2 2 2 C.AM=a+ 20+6+c D.AM= 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高二全国·暑假作业)如图所示，在三棱柱 BC-A8G中，M为4C的中点，若 AB=d,BC=b,AA =c ,则BM可表示为() B M A B 1 1 A. B. C.78-76e D.- ABCD-ABCD 5.（多选)(26-27高二上·黑龙江吉林·期中)如图，在平行六面体 中，设 AB=a,AD=b,AA= ,则() B AC=a+b A. B. AC=a+b+c BD=a-b C. D BD=-a+b+c 题型3空间向量基底的概念 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【方法总结】三个不共面的非零向量可作为基底，空间中任一向量可唯一表示为它们的线性组合。基底 不要求垂直或等长，两两垂直且模为1时叫单位正交基底。判断能否作基底，关键看三向量是否共面； 共面则不能作基底。 1. (25-26高二上江西期中)已知{位6，是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（) A.ab+eatBtd B.a,b+c,2a+36+22 C.ab-c,a-B+c D d,b+,2a+3b+3c 2.(25-26高二上天津西青·阶段检测)在以下命题中： a,b a,b ①若两个非零向量”与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则”“共线： ②对空间任意一点和不共线的三点 B,C0P=20A-20B-20C,则P4BC四点共面 ,若 ,则 ③若示，万是两个不共线的向量，且=ā+b(a,“ER元40），则a6构成空间的一个基底： ④若a6斗为空间的一个基底，则a+65+6+d 构成空间的另一个基底 其中真命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 ABCD AB+AC 3.(25-26高二下江苏徐州期末)（多选)在正四面体 中，可以与 构成空间的一个基底 的是() BC-CD DA B.AB-2AC CB C.BC-BD CD-CA D.AB+AD AC+AD 4.(2526高二上江苏南通期末)《多选)已知a,6为空间的一个基底，则下列结论正确的是（) A.a,b, 至多有一个零向量 ” 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.{a+6,d-6.c也是空间的一个基底 C.空间任一向量P均可用a,6唯线性表示 D.若a+6+zc=0 其中七z∈R 则y=z=0 5.(25-26商二上安敬阶段检测)已知向量P以a6,为装底时的坐标为64)，则P以a,6+c6- 为基底时的坐标是() A3到2别 (3号 提升进阶突破 题型4判断空间向量共面 【方法总结】两个向量一定共面；三个向量中，若其中一个能用另外两个不共线的向量线性表示，则三向 量共面。 判断三个向量共面一般用p=xa+yb, 证明三线共面常用AP=xAB+yAC, 证明四点共面常用OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1) 1.(25-26高二下江苏南京期中)己知点A,B,C不共线，O为平面ABC外一点，下列能够确定M, A,B,C四点共面的是() 4 OM =0A+0B+0C B.0M=30A-20B-0C c.OM-o08+o D.OM-04+108+10C 3 之(25-26高二上北京朝阳期末)设9,6，， 为空间向量且均为非零向量，已知 7/17 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+6+c-d=a-6+2c-d-6,给出下列四个结论：05与共线：②a-d与5不共线：®，6，其商； “不共面.其中所有正确结论的序号是() A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 32526高三上江苏盐城：阶段检测)向量交、6不平行，则存在两个非零常数不、：伤石+ 是 a b c 、共面的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 4.(多选)(25-26高二上四川绵阳期末)以下能确定空间中四点P,M,4,B共面的条件是() A.MP=MA+MB B.or=oi+号o6+6ow 3 C.PM LAB D PM//AB 5.(多选)(25-26高二上辽宁丹东期末)已知O,A,B,C,D是空间中互不重合的点，空间向量ā， b c ,不共面，下列命题正确的是() A若D=a+6,g=a+6,F=6-6,则向量D,可，「共面 B.若m=2a+6-c.万=2a+6m/万 ,则 Q.若01-0明+0c-oD,则4，R,C,D共面 8 8 D.者01+0i+0c+0D=0 ,则A,B,C,D共面 题型5空间向量共面求参 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【方法总结】利用四点共面OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+Z=1)来求参数的问题，同时配合基本 不等式可以求参数的最值 1.(25-26高二下江苏南京阶段检测)已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外 41 一点，且OM=xOA+OB-OC(x>0,y>0,若M,4B,C四点共面，则十>的最小值为（) 9 A.2 B.2 C.9 D.4 ABCD-ABC D 2.(25-26高一下·重庆沙坪坝期中)已知四棱柱 是平行六面体，空间中一点P∈平面 ADB ，实数x满足 AP=xAA+(2+2x)AB+(2+x)AD ,则实数x=() A、3 3 B.4 3 4 c. D.2 3.(25-26高二上湖北期中)在三棱锥PABC中，G为△M8 的重心，PA=APD PB=uPE PM-IPG 1+4 PC=4PF(⑦>l,>)若PG交平面DEF于点M,且3 ,则九“的最小值为() D G B 6 7 B.5 C. 9 A.5 4.(26-27高二上河南阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F分 别为线段Pn上的点，若G-写oC,G=+y证，则+y=() 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P G A 4 5 A.2 B.3 C.4 ABCD-ABCD 5.(25-26高二下·上海期中)如图所示， 为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱 柱)，点瓜、P分别在棱BB、DD上，满足BE=)B,DP=ADn(为实数).若平面MBr截 ABCD-ABCD 所得截面是一个五边形，则的取值范围是」 D B D B 题型6空间向量基本定理求参 【方法总结】 h. 定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底： . 找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果： 1.(25-26高二上安徽期中)如图，在正四棱锥O-ABCD中，点M是棱AB的中点，点N在线段OM 上，点p在线段CN上，点Q在平面CD内，且MN=30N,CP号C,00=0P,则的值为{) 10/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M B 5 0 A.3 B.7 C.2 D.4 2.(25-26高二下河南许昌期末)已知M是四面体ABCD的棱BC的中点，点N在线段DM上，且 DN=2NM,P为线段1W的中点，若 P=xDA+yDB+zDC ,则+y+2=（) 2 3 5 A.3 B.4 C.6 D.1 3。（25-26高二上陕西西安期末)在平行六面体ABCD-4BCD中，M为B的中点，CN=CC,若 3 MN=xAB+yAD+zAA 则x+y+z=() 5 B.6 1 c.6 7 D.3 4.(25-26高二上河北：阶段检测)（多选）在平行六面体 BCD-ABCD中，M是9 C的中点，N为 平面4BCB内一点，若4M=B+4+AD,=写4-名4G+AM,heR),则《) 3 6 A.= 1 2 B.2=1 C.H-g D.μ=2 5.(25-26高三上：陕西榆林·阶段检测)已知正四面体ABCD的棱长为2，空间中一点P满足 1 DP=xDA+yDB+zDC,其中x,y,zeR,且x+y+2=2,则DF的最小值为() 3 6 1 2√2 A.3 B.3 C.3 D.3 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拔高·压轴破难 题型7空间向量共面定理与体积 【方法总结】先根据题目中的共面条件以及空间向量共面定理来确定平面所在位置，即平面与锥体中棱 的交点位置，然后再根据棱的比例关系得出体积的比值。 1. (25-26高二下甘肃兰州期中)如图所示，四面体ABCD的体积为V,点M为棱BC的中点，点E为线 段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB,AC,AD分 V 别交于P,O,R,设四面体APOR的体积为，则V的最小值为 B D 2.(2026海南海口模拟预测)己知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，过点C和PA的中点 F作平面a,且平面与侧棱PB,PD(不含端点)分别交于点E,G,若四棱锥P-ABCD的体积为 24,则四棱锥P-CEFG体积的最小值为 3.(25-26高二上广东江门期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，ADIBC,BC=2AD, PH PE=EA,PF=2FB,CG=2G,H在棱PD上，若E,F,G,H四点共面，则HD D 12/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(26-27高三·全国·一轮复习)已知四棱锥P-ABCD的体积为12，四边形ABCD是平行四边形，Q为 PA的中点，经过直线CO的平面与侧棱PB,PD分别交于点M,N,设PM=PB,PN=uP ,则四 棱锥P-MCN№体积的最小值为 5.(25-26高三上·浙江期中)（多选）已知四棱锥P-ABCD满足底面ABCD为平行四边形，取PC中点 PS PT M,过直线AM作平面a分别交棱PB,PD于点S,T设x=PBy=PD,则() A.三棱锥P-AMB的体积是四棱锥P-ABCD的体积的4 (0,1] B.x的取值范围为 2 2 C.当x=3时，y= D.四棱锥P-ASMT的体积与四棱锥P-ABCD的体积之比的最小值为3 题型8空间向量数乘运算的几何意义 【方法总结】结合平面向量AP=xAB+yAC,与空间向量AP=xAB+yAC+zAD 根据空间向量表达式中判断点位置，核心看系数和与系数关系：系数和，和为1：点在同一平面内（降 维)，可判断共线或共面。和不为1：点不在该平面内，在空间中。系数相等x=y:点在角分线上。 一个 系数为0：退化为低一维，如点在直线上 ABCD-ABCD 1.(25-26高二上：广东深圳期末)（多选)在棱长为2的正方体 中，点P满足 Dp=aDC+uDD(2∈[0，小，u∈[0， ,则下列结论正确的是（) 13/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A B C A.当=l时，对于任意：cQ,三枝锥8P的体积是定值 B.当元=山“=2时，平面4BP截正方体所得的截面的面积为2 C.若=且服-号服，则当pA+P阳取得最小值时，“-互 1 1 88π D.若元=山“=3，则三棱锥C-4BP外接球表面积为 ABCD-ABCD 2.(25-26高二上广东深圳期中)（多选)在棱长为2的正方体 中，点P满足 BP=ABc+uBB,其+e,则，uG0,J,则() 时，P A.当2==1 平面ABCD B.当=时，点P在楼8上 C.当4=1时，三棱锥P-4BC的体积为定值D.元=2时，存在两个点P,使得AP⊥BP 3.(25-26高三上·上海开学考试)正四面体OABC的棱长为1，若 P=x0A+y0B+z0C(0≤x,y,z≤1）且 满足x+y+z≥1，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为() 5√2 5v2 A.12 B.12 C.6 D.6 ABCD-ABCD 4.(25-26高二下·全国课后作业)（多选）在棱长为1的平行六面体 14/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AAB=∠AAD=∠DMB=60,点P满足 MP=xMB+yMD+MM,其中xy2∈[0，则（) A.当x=y=2=1时，=5 B.当x+y+z= 时，P在平面 BD 内 5 C.当z=2时，p的轨迹的面积为2 x+y=1 P DBB D D.当 时，点在平行四边形 内部及其边上 ABCD-ABCD 5.(25-26高二上·湖南长沙阶段检测)（多选)如果正方体 的棱长为1，动点M满足 M=pB+gD+rM,Are[0,刂，那么下列说法正确的是（) A当P=9=1 时，4M与C”所成角的最大正切值是 2 3 B.D+g+r=1时，CM的最小值为2 c.当P+r=hg=0时，DM月 BCC B √2 M所在的平面与平面 所成夹角的正切值为 D.当广2+g+户≤时，M轨迹的体积为及 题型9空间向量共面与基本定理综合应用 【方法总结】先选两个不共线向量作基底，把目标向量用基底线性表示，再列方程组求参数。若涉及四： 点共面，令系数和为1；若涉及空间基本定理，令三个基底向量不共面，再比较对应系数。注意先验证 基底不共线或三个向量不共面，否则表示不唯一。 1. (25-26高二上广东期中)已知三棱锥P-ABC的体积为5，△BCP是边长为4的正三角形，点D为 PB的中点，点巴满足40=2xD+yaC+(红-，且x+y+z=l,则A@的最小值为《) 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5v5 5 55 5v5 A.16 B.12 C.4 D.12 2.(2026湖北宜昌·模拟预测)如图，在三棱锥O-ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，过点E 作平面“，与射线 OA OB OC 的交点分别为P,e,M.若0P=x0A,00=0B.OM=z0C 则2x+y+z的最小值为() D D M A.2 B.4 C.6 D.9 3.(25-26高二上河北雄安·期中)如图，在四棱锥D-OABC中，底面OABC是平行四边形， ∠A0C=∠AOD=∠COD= 3,OA=OC=OD=1:E是AD的中点，F是CD的中点，过O,E,F三 点的平面与BD相交于点G,则OG=() D 5 √10 2V5 而 A.2 B.3 C.3 D.3 4.(专题05空间向量及其运算(9大题型)（期末真题分类汇编河南专用）高二数学上学期)如图， 在四棱台ABCD-AB'C'D'中，∠BAD=∠BAM'=∠DAA=60°，AM=12,设 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m=DB-(AB+uAD(a,∈R), 则m的最小值为 D B 5.(多选)(26-27高二上河南洛阳阶段检测)如图，点O是正四面体PABC的底面ABC的中心，过点 O的直线分别交AC,BC于点M,N,S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA的延长线相交于点O,与 棱PB的延长线相交于点R,则() A.存在点s与直线MW,使得PS-(PO+PR)>0 B.存在点S与直线MW,使得PC⊥平面SRQ PM=PA+-)PC,PW=PB+(1-四PC,其中2e(O,）,ue(O,1）,则2+3的最小值是 C. 4+5 3 D.r@tP丽网pa 17/17专题01 空间向量共面及基本定理归纳 基础·固本强基 题型1空间向量的基本概念 题型2空间向量线性运算 题型3空间向量基底的概念（重点） 提升·进阶突破 题型4 判断空间向量共面（重点） 题型5 空间向量共面求参（重点） 题型6 空间向量基本定理求参（重点） 拔高·压轴破难 题型7 空间向量共面定理与体积（难点） 题型8空间向量数乘运算的几何意义（难点） 题型9空间向量共面与基本定理综合应用（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 空间向量的基本概念 【易错】空间向量基本概念的易错点主要是：向量不能比大小，只有模能比大小；向量相等必须方向相同且模相等，平行不一定相等。零向量方向任意，与任何向量共线，但不一定相等。两个向量总共面，三个向量共面才有实质意义；基底三向量关键是不共面，不要求垂直或等长。直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，注意别混用。 1．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【详解】单位向量只是模长为 1，方向可以不同，向量不相等，故A错误； 长度相等、方向相反的两个向量就是相反向量，故B正确； ，代表向量平行，线段与可以平行，四点不一定共线，故C错误； 向量相等只要求模相等、方向相同，和起点、终点位置无关，故D错误． 2．（多选）（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）下列命题正确的有（    ） A．空间中不相交的两条直线是异面直线 B．已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则 C．若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线 D．若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，则存在，使得，且 【答案】BD 【分析】依次判断每个命题，利用空间直线位置关系、向量加法法则、共线向量性质、共面向量定理判定真假． 【详解】对于A，空间中不相交的两条直线是异面直线或平行直线，故A项错误； 对于B，已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则，故B项正确； 对于C，若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线或，故C项错误； 对于D，若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线， 由共面向量定理，存在实数使得， 展开，整理得 ， 对比，可得， 所以，故D项正确． 3．（多选）（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 【答案】BC 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，所以A错误； 对于B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，所以B正确； 对于C，向量的相等满足传递性，所以C正确； 对于D，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而D中向量与的方向不一定相同，所以D错误． 4．（多选）（25-26高二·全国·暑假作业）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 5．（多选）（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 题型2 空间向量线性运算 【方法总结】空间向量加减法：加法用三角形法则（首尾相连）或四边形法则（共起点取对角线）；减法用三角形法则（共起点，指向被减向量）。运算律满足交换律和结合律；首尾相接的向量和等于起点到终点，封闭图形和为零向量。数乘：实数乘向量仍为向量，长度为倍，同向，反向，得零向量，满足分配律和结合律。 1．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由且，得． 因为为的中点，所以． 因此． 2．（26-27高二上·河南郑州·开学考试）如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 3．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 4．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 5．（多选）（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在平行六面体中，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由平行六面体的性质，，． ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 题型3 空间向量基底的概念 【方法总结】三个不共面的非零向量可作为基底，空间中任一向量可唯一表示为它们的线性组合。基底不要求垂直或等长，两两垂直且模为1时叫单位正交基底。判断能否作基底，关键看三向量是否共面；共面则不能作基底。 1．（25-26高二上·江西·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量基本定理即可求解. 【详解】对于A，由，所以共面，故A错误； 对于B，假设共面，设，所以与矛盾， 所以不共面，故B正确； 对于C，由，所以共面，故C错误； 对于D，由，所以共面，故D错误； 故选：B. 2．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）在以下命题中： ①若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线； ②对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 ③若是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底： ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义，逐一判断即可得到结论. 【详解】①由空间基底的定义知，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，故①正确； ②由，根据共面向量定理知四点不共面，故②错误； ③由，则向量与向量，共面，则不能构成空间的一个基底，故③错误； ④由于为空间的一个基底，则不共面， 设， 则无解，所以不共面， 所以能构成空间的一个基底，故④正确. 故选：C. 3．（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 【答案】BCD 【分析】根据空间基底的定义和性质对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A，零向量与任意向量共面，不满足空间基底中三个向量不共面的条件，故A错误； 对于B，假设共面， 则存在实数使得，说明共面， 与是空间的一个基底矛盾，所以不共面， 所以是空间的一个基底，故B正确； 对于C，根据空间向量基本定理，空间任一向量均可用空间一组基底唯一线性表示，故C正确； 对于D，因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以当且仅当时，才成立，故D正确； 故选：BCD 5．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基底将向量进行表示，利用基底将向量进行表示，通过向量建立的方程组，求解这个方程组即可得到的值，从而得到所求. 【详解】由题意可知，设， 所以， 解得，则， 则以为基底时的坐标是． 故选：D． 提升·进阶突破 题型4 判断空间向量共面 【方法总结】两个向量一定共面；三个向量中，若其中一个能用另外两个不共线的向量线性表示，则三向量共面。 判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中） 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 2．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据空间向量共线和共面的定义逐一判断即可. 【详解】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由与共线，所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确； 故选：A 3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合共面向量与向量运算的性质，可得答案. 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 4．（多选）（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 5．（多选）（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 题型5 空间向量共面求参 【方法总结】利用四点共面（其中）来求参数的问题，同时配合基本不等式可以求参数的最值 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 2．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 3．（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面的条件，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为的重心，所以 ， 又，，，， 所以， 因为点在平面内， 所以，得，且. 所以 当且仅当时等号成立. 故选：D. 4．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用空间向量基本定理可得出关于、、的两个表达式，结合空间向量基本定理可得出的值. 【详解】因为，则，所以. 因为四边形为平行四边形，所以， 所以. 因为为上的点，设，即，即， 又因为为上的点，设，即，即， 因为 ， 因为、、不共面，所以， 上述三个等式全加得. 5．（25-26高二下·上海·期中）如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可. 【详解】设平面与直线的交点为， 由于平面截所得截面是一个五边形， 则点在线段的延长线上， 在平行六面体中，平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，则，同理可得， 所以四边形为平行四边形， 则， ， 由于点在线段的延长线上，则，即， 又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意， 因此，则的取值范围是. 题型6 空间向量基本定理求参 【方法总结】 1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； 2．找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果； 1．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 2．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 3．（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将利用线性运算表示成，由此可解出，即可求解的值. 【详解】在平行六面体中，M为AB的中点，， 有， 又，则， 所以． 故选：C 4．（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理，结合空间线性运算及共面向量定理计算得解. 【详解】在平行六面体中，是的中点， 对于AB，， 而，不共面，因此，A正确，B错误； ，则 ， 于是 ，由为平面内一点， 得共面，由共面向量定理得，因此，C正确，D错误. 故选：AC 5．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合，可知点在平面内，所以当平面时，最小，再根据即可求得结果. 【详解】设，则 ，， 所以点在平面内， 依题意当平面时，最小， 四面体为正四面体，为底面的中心，如图，连接并延长交于点，则为的中点. 则， 所以， 即的最小值为， 又，所以，即的最小值为． 故选：B． 拔高·压轴破难 题型7 空间向量共面定理与体积 【方法总结】先根据题目中的共面条件以及空间向量共面定理来确定平面所在位置，即平面与锥体中棱的交点位置，然后再根据棱的比例关系得出体积的比值。 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 【答案】 【分析】利用四点共面，求出相应最值，根据三元均值不等式求解即可 【详解】因为点分别为的三等分点， 所以， 又因为为中点，所以， 又，所以， 令，，，显然都为正数， 则， 因为四点共面，所以， 当且仅当时取等号，故， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 因为，， 所以， 所以的最小值为. 2．（2026·海南海口·模拟预测）已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 【答案】 【分析】设，其中，由空间四点共面定理可得，再由，得，结合基本不等式求解即可. 【详解】设，其中， 取空间基底, 因为底面是平行四边形， 所以 , 又因为为的中点， 所以, 又因为四点共面， 所以, 所以，解得， 又因为, 又因为， ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以四棱锥体积的最小值为8. 3．（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 4．（26-27高三·全国·一轮复习）已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，设，，则四棱锥体积的最小值为______. 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及共面定理可得，由等体积法求得,,根据，结合基本不等式求解即可. 【详解】由于四边形是平行四边形，可得, 则, 根据题意, 而,,,四点共面， 所以，可得， , , , 当且仅当，即时取等号. 5．（25-26高三上·浙江·期中）（多选）已知四棱锥满足底面为平行四边形，取中点，过直线作平面分别交棱于点.设，则（    ） A．三棱锥的体积是四棱锥的体积的 B．的取值范围为 C．当时， D．四棱锥的体积与四棱锥的体积之比的最小值为 【答案】ACD 【分析】由等体积法可判断A，通过，延长交延长线于，判断两点在平面的同侧，可判断B，通过四面共面结合空间向量基本定理可判断C，由，结合基本不等式可判断D. 【详解】A项： 由于是中点，故，则 ，A项正确 B项：当时，延长交延长线于，连接，两点在平面的同侧， 故线段与平面无交点，即不在棱上，矛盾.B项错误 C项：由可知：， 同理 因为四边形为平行四边形， 所以 由四点共面，可知存在实数，满足 代入得： 故， 则，化简得： 故时，代入解得：，C项正确    D项：因为， 所以 同理有： 故 由于，可知，由基本不等式： 即，当且仅当时取等 故四棱锥的体积与四棱锥的体积之比的最小值为，D项正确， 故选：ACD 题型8 空间向量数乘运算的几何意义 【方法总结】结合平面向量，与空间向量 根据空间向量表达式中判断点位置，核心看系数和与系数关系：系数和，和为1：点在同一平面内（降一维），可判断共线或共面。和不为1：点不在该平面内，在空间中。系数相等：点在角分线上。一个系数为0：退化为低一维，如点在直线上。 1．（25-26高二上·广东深圳·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（   ） A．当时，对于任意，三棱锥的体积是定值 B．当时，平面截正方体所得的截面的面积为 C．若且，则当取得最小值时， D．若，则三棱锥外接球表面积为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意得点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又，即可判断； 对于B，由题意得，，故点为线段的中点，设的中点为,连接，平面截正方体所得的截面为,利用面积公式即可求解； 对于C，设的中点为,设的中点为，则，故点的轨迹为线段， 易得,,作关于的对称点，即可求解 对于D，，故点为线段的靠近C的三等分点， 利用外接球球心的特点即可求出球心的位置及半径，即可求解 【详解】当时, 即点在线段上运动， 点到平面的距离为定值，又，故A正确； 当时，， 故点为线段的中点，设的中点为,连接， 平面截正方体所得的截面为 梯形中，，易得其面积为,B正确； 若,，,设的中点为, 设的中点为，则，故点的轨迹为线段. 易得,,如图：作关于的对称点， 此时，即.故C错误； 若,，故点为线段的靠近C的三等分点， 如图：设的中点为R，设的中点为S，连接，因为， 则外接球的球心在上，设为,则，故在的中垂面上， 又点为线段的靠近C的三等分，则点O为线段的靠近R的三等分点， 所以 故三棱锥外接球表面积为.故D正确 故选：ABD 2．（25-26高二上·广东深圳·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，点P在棱上 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．时，存在两个点P，使得 【答案】AC 【分析】对于A，当时，可得，所以点P与重合，即为，由利用线面平行的判定定理可判断；对于B，当时，由得，所以点P在线段上；对于C，当时，可得点P在线段上，利用线面平行以及棱锥的体积公式可判断；对于D，当时，取的中点E，的中点F，可得点P在线段上，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】对于A，当时，，得，即， 所以点P与重合，即为， 因为，平面，平面， 所以平面，即平面，故A正确； 对于B，当时，，得，即， 因为，所以点P在线段上，故B错误； 对于C，当时，，得，则， 因为，所以点P在线段上， 平面，即平面， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D，当时，取的中点，的中点，则， 则， 则，则， 因为，所以点在线段上， 设，则， 则，， ， 若，则，则， 则，所以，即点为线段的中点， 即当时，存在一个点，使得，故D错误． 故选：AC． 3．（25-26高三上·上海·开学考试）正四面体的棱长为1，若且满足，则动点的轨迹所形成的空间区域的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性关系，动点的轨迹所形成的空间区域是以为邻边的平行六面体除去正四面体，再利用棱柱、棱锥体积公式求体积. 【详解】由题意，动点的轨迹所形成的空间区域是以为邻边的平行六面体除去正四面体余下的部分， 如图所示，为的中点，为四面体的高， 已知是正四面体，可得，则，， 所求体积. 故选：B 4．（25-26高二下·全国·课后作业）（多选）在棱长为1的平行六面体中，，点满足，其中.则（ ） A．当时， B．当时，在平面内 C．当时，的轨迹的面积为 D．当时，点在平行四边形内部及其边上 【答案】BCD 【分析】利用向量模的运算即可判断A，利用向量线性运算结合共面定理可判断BCD. 【详解】当时，， 因为在棱长为1的平行六面体中，，且， 所以 ， 故A错误； 当时，则 可得， 向量共面，即在平面内，故B正确； 当时，， 因为，所以表示以为起点，终点在平行四边形的内部及其边上， 则，表示终点的轨迹为平行六面体中的截面，其面积等于平行四边形的面积， 即，故C正确； 当时，， 可得， 当时，可知点在平行四边形内部及其边上， 故D正确. 5．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）如果正方体的棱长为1，动点M满足,，那么下列说法正确的是（    ） A．当时，与所成角的最大正切值是 B．时，的最小值为 C．当时，所在的平面与平面所成夹角的正切值为 D．当时，M轨迹的体积为 【答案】ACD 【分析】对于A项，得，则点的轨迹为线段，即可求解；对于B项，M点在三角形的边上及其内部，进行求解；对于C项，则M在线段上运动，所以所在平面与平面所成夹角即为所在平面与平面的夹角，进行求解；对于D项，M的轨迹为以A为球心，半径为的球与正方体所交成的八分之一球，进行求解． 【详解】 当时，则，得， 得， 则点的轨迹为线段， 与所成角为∠BAM，其最大正切值是=，所以A正确; 当时，因为， 所以四点共面，则M点在三角形的边上及其内部， 所以的最小值为≠，所以B错误; 当时，得，则M在线段上运动， 所以所在的平面为，因为平面与平面平行， 所以所在平面与平面所成夹角即为所在平面与平面的夹角. 取的中点为O，连接， 由于， 则， 得为所在平面与平面的夹角， 则， 所以C正确; 当时，M的轨迹为以A为球心，半径为的球与正方体所交成的八分之一球， 所以M的轨迹的体积为，所以D正确. 故答案为：ACD 题型9 空间向量共面与基本定理综合应用 【方法总结】先选两个不共线向量作基底，把目标向量用基底线性表示，再列方程组求参数。若涉及四点共面，令系数和为1；若涉及空间基本定理，令三个基底向量不共面，再比较对应系数。注意先验证基底不共线或三个向量不共面，否则表示不唯一。 1．（25-26高二上·广东·期中）已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 2．（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，过点作平面，与射线、、的交点分别为，，．若，，，则的最小值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】利用空间向量共面的充要条件及基本不等式即可求解. 【详解】， 又，，，则， 因为点共面，所以，且. 则， 又当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 故的最小值为. 故选：B 【点睛】. 3．（25-26高二上·河北雄安·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，是的中点，是的中点，过，，三点的平面与相交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选作为基底表示出向量，根据向量共线和四点共面的充要条件得到，再求模长. 【详解】设， 则，且两两夹角为， 因此， 因为是的中点，所以， 同理， 又， 因为点在上，所以设， 所以， 又，，，四点共面， 所以存在唯一的实数对，使得， 故， 所以，解得， 所以， 所以 ， 故选：D 4．（专题05空间向量及其运算（9大题型）（期末真题分类汇编 河南专用）高二数学上学期）如图，在四棱台中，，，设，则的最小值为__________.    【答案】 【分析】令，面，得到，从而将问题转化成求四棱台的高，再根据题设条件，即可解决问题. 【详解】如图，因为，令，则面， 则，所以的最小值即为四棱台的高， 过作面于，过作于，过作于， 连接， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面，所以， 又，，得到，， 同理可得，，，所以，得到， 在中，，所以， 得到，    故答案为：. 5．（多选）（26-27高二上·河南洛阳·阶段检测）如图，点是正四面体的底面的中心，过点的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（     ） A．存在点与直线，使得 B．存在点与直线，使得平面 C．若，，其中，，则的最小值是 D． 【答案】ABD 【分析】选项A通过展开向量数量积，利用正四面体侧棱夹角为的余弦值为正，直接判定两数量积之和恒正；选项B通过构造且S为PC三等分点的特例，用余弦定理推导线线垂直，结合线面垂直判定定理证明存在性；选项C利用重心向量分解与三点共线系数和为 1 建立 的关系，但用基本不等式求 最小值时计算结果有误；选项 D借助正四面体重心的向量表达式，通过共线向量代换与共面向量定理的系数和性质，推导出长度倒数的等量关系. 【详解】对于选项A，，A正确； 对于选项B，当直线平行于直线，点为线段上靠近点的三等分点，即 时，平面 ，证明如下： 在正四面体中，设各棱长为，，，，均为等边三角形． 点为的中心，，由等边三角形的性质，易得 ， 在 中， ， ，， 由余弦定理，得 ， ， ．同理， ． 又 ，平面 ，平面 ，平面 ，存在点与直线，使得平面 ,B正确； 对于选项C，，则 ，即，同理，则， 根据，，三点共线有，，当且仅当时等号成立． C错误； 对于选项D，设为的中点，则 ， ，，三点共线， ，同理，，． 设 ， ， ，则， ，，，四点共面， ， 又 ，， ，即 ，D正确. $