3.1 培优课 椭圆的综合问题（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦椭圆综合问题，涵盖最值（范围）、直线与椭圆综合及实际应用三大模块。通过例题详解（如弦长最值求解）、规律方法总结（如最值问题三法）、训练题跟进，构建“例题-方法-训练”学习支架，衔接椭圆基础与综合应用。 其亮点在于融合数学思维与实际应用，如电影放映灯反射镜面、船上绳子问题等实例，培养用数学眼光观察现实世界的能力。注重逻辑推理（如韦达定理应用）和数学运算（如弦长公式推导），规律方法与随堂检测结合，助力学生提升解题能力，教师可直接用于培优教学。

培优课　椭圆的综合问题 1 1.理解和掌握与椭圆有关的最值（范围）问题的解决方法（数学运算）. 2.掌握直线与椭圆的综合问题及椭圆的实际应用问题（逻辑推理、数学运算）. 重点解读 与椭圆有关的最值（范围）问题 一 直线与椭圆的综合问题 二 椭圆的实际应用问题 三 课时作业 04 目录 3 一 PART 与椭圆有关的最值（范围）问题 目 录 【例1】（2025·开封质检）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴 上，左顶点为A（－2，0），离心率为 . （1）求椭圆C的标准方程； 解：设椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）. 由题意得 解得c＝1，所以b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）斜率为1的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，求｜PQ｜的最大值. 解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为y＝x＋t. 由 得7x2＋8tx＋4（t2－3）＝0， 由Δ＝（8t）2－112（t2－3）＞0，得0≤t2＜7，则x1＋x2＝－ t，x1x2＝ ， 数学·选择性必修第一册 目 录 所以｜PQ｜＝ ·｜x1－x2｜ ＝ · ＝ · ＝ · ， 又0≤t2＜7，所以当t＝0时， 可得｜PQ｜max＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 　解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理； （2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征，进而求解； （3）利用函数最值的研究方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此 时应注意椭圆中x，y的取值范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值 问题来求解. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　（1）若点（x，y）在椭圆4x2＋y2＝4上，则 的最小值为 （　　） A. 1 B. －1 C. － D. 以上都不正确 解析：设 ＝k，则y＝k（x－2）.由 消去y，整理得（k2＋4）x2－4k2x＋4（k2－1）＝0，由题意得Δ＝16k4－4×4（k2－1）（k2＋4）≥0，解得－ ≤k≤ ，所以 的最小值为－ .故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）在椭圆 ＋ ＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距 离最短，并求出最短距离. 解：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝ x＋m，代入 ＋ ＝1， 并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0， 由Δ＝9m2－16（m2－7）＝0得m2＝16，∴m＝±4， 故两切线方程为y＝ x＋4和y＝ x－4， 显然y＝ x－4即3x－2y－8＝0距l最近，它们之间的距离即为 所求最短距离，且y＝ x－4与椭圆的切点即为所求点P， 数学·选择性必修第一册 目 录 故所求最短距离为d＝ ＝ ＝ . 由 得 即P（ ，－ ）. 数学·选择性必修第一册 目 录 二 PART 直线与椭圆的综合问题 目 录 【例2】已知点F（0，1），直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点， 且｜PF｜是P到l的距离的 . （1）求曲线C的方程； 解：设P（x，y），由已知 ＝ ｜y－4｜， 整理得 ＋ ＝1，即为曲线C的方程. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若经过点F且斜率为k（k≠0）的直线交曲线C于M，N两点，线段 MN的垂直平分线交y轴于点H，求证： 为定值. 解：证明：设经过点F且斜率为k（k≠0）的直线的方程为y＝kx＋1，与 曲线C的方程联立得 消去y整理得（4＋3k2）x2＋6kx－9＝ 0，Δ＝36k2＋4×9×（4＋3k2）＝144（1＋k2）＞0恒成立， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则｜MN｜＝ ｜x1－x2｜＝ × ＝ ，x1＋x2＝－ ， 数学·选择性必修第一册 目 录 设线段MN的中点为T（x0，y0），则x0＝ ＝－ ，y0＝kx0＋1 ＝ ，线段MN的垂直平分线的斜率为－ ， 方程为y－ ＝－ （x＋ ），令x＝0，解得y＝ ，即为点 H的纵坐标， ∴｜FH｜＝1－ ＝ ，∴ ＝ ＝ ，即 为定值 . 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 　解决直线与椭圆综合问题的注意点 （1）根据条件设出合适的直线方程，当不知直线是否有斜率时需要分两 种情况讨论（也可将方程设成用y表示x的形式）； （2）在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算更 简单； （3）不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的 作用. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　（2025·嘉兴月考）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的长轴 长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M（0，2），且｜MF｜＝ . （1）求椭圆C的方程； 解：由题意，可得 解得 故椭圆C的方程为 ＋ ＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且 满足｜AM｜＝｜BN｜，求直线l的方程. 解：根据题意可得，点A必在点B的上方，才有｜AM｜＝｜BN｜. 当l的斜率不存在时，｜AM｜＝2－ ，｜BN｜＝ ，｜AM｜≠｜ BN｜，不符合题意，故l的斜率必定存在. 设l的方程为y＝kx＋2，由 得（1＋4k2）x2＋16kx＋8＝ 0， 则Δ＝（16k）2－32（1＋4k2）＝128k2－32＞0，即k2＞ . 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ . 设N（x0，y0），则x0＝ ＝－ . 数学·选择性必修第一册 目 录 由｜AM｜＝｜BN｜可得，｜AB｜＝｜MN｜， ∴ ｜x1－x2｜＝ ｜x0－0｜， 则 ＝｜x0｜， 即 ＝｜－ ｜， 整理得k2＝ ＞ ，故k＝± ， ∴直线l的方程为y＝± x＋2. 数学·选择性必修第一册 目 录 三 PART 椭圆的实际应用问题 目 录 【例3】如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭球面（椭圆绕其对称 轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部 分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一 个焦点F1发出的光线，经过旋转椭球面反射后集中到另一个焦点F2.已知 BF1⊥F1F2，｜F1B｜＝ ，｜F1F2｜＝4. 数学·选择性必修第一册 目 录 （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求截口BAC所在的椭圆的方程； 解：设截口BAC所在椭圆的方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）， ∵BF1⊥F1F2，｜F1B｜＝ ，｜F1F2｜＝4， ∴在Rt△BF1F2中，｜F2B｜＝ ＝ ， 故2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝2 ，得a＝ ， 又2c＝｜F1F2｜＝4，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝2， ∴所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若透明窗DE所在的直线与截口BAC所在的椭圆交于一点P，且 ∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积. 解：∵点P在椭圆上，∴｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2 ， 又∠F1PF2＝90°，即△F1PF2为直角三角形， ∴｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝16. 由 得｜PF1｜·｜PF2｜＝4， 故△F1PF2的面积为 ｜PF1｜·｜PF2｜＝2. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 　求解椭圆实际应用问题的思路 （1）通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学 问题； （2）确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问 题的解； （3）用解得的结果说明原来的实际问题. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　船上两根高7.5 m的桅杆相距15 m，一条30 m长的绳子两端系在桅 杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧.假设绳子位于两根桅杆所在的平面 内，则绳子与甲板接触点P到桅杆AB的距离为 m（精确到0.01 m，参考数据： ≈12.247）. 4.75 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：由题意P在以A，C为焦点的椭圆上，2a＝｜PA｜＋｜PC｜＝ 30，a＝15，2c＝15，即c＝7.5，所以b＝ ＝ ＝ ，所以椭圆方程为 ＋ ＝1，又yP＝－7.5，代入椭圆方程得 ＋ ＝1，xP＝－ （正值舍去），所以点P到桅杆AB的距离 为｜PB｜＝ －7.5≈4.75（m）. 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 已知F是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则 △ABF的面积的最大值为（　　） A. 6 B. 15 C. 20 D. 12 解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知a＝5，b＝3，c＝4， 所以S△ABF＝ ｜OF｜·｜y1－y2｜≤ ｜OF｜·2b＝12. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 已知椭圆C1： ＋ ＝1的两个焦点与椭圆C2： ＋ ＝1（m＞0） 的两个焦点构成正方形的四个顶点，则m＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　由椭圆C1： ＋ ＝1，可得椭圆C1的焦点为（±2，0），因 为椭圆C1的两个焦点与椭圆C2的两个焦点构成正方形，所以椭圆C2： ＋ ＝1（m＞0）的两个焦点在y轴上，所以椭圆C2的焦点为（0， ± ），所以 ＝2，解得m＝2（m＞0）.故选B. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6 m（如图所 示），路面设计是双向车道，车道总宽为8 m，如果限制通行车辆的高 度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽d至少应是 m. 解析：设椭圆方程为 ＋ ＝1，当点（4 ，4.5）在椭圆上时， ＋ ＝1，解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5 m，∴a≥16，d＝ 2a≥32，故拱宽至少为32 m. 32 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 已知椭圆C： ＋ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C 上，则△MF1F2的内切圆半径的取值范围为 ⁠. 解析：设△MF1F2的内切圆半径为r，由题意得a＝5，b＝4，c2＝a2－b2 ＝9，即c＝3，又 ＝ （｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜F1F2｜）r＝ （2a＋2c）r＝8r，所以r＝ ，由于0＜ ≤ b·｜ F1F2｜＝ ×4×6＝12，所以0＜r≤ . （0， ］ 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）与椭圆有关的最值（范围）问题； （2）直线与椭圆的综合问题； （3）椭圆的实际应用问题. 2.应体会 解决椭圆的综合问题时要注意数形结合思想、分类讨论思想、函数与方 程思想的应用. 3.避易错 求解椭圆的实际应用问题，要认真审题，切勿弄错椭圆的位置及要素. 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 课时作业 目 录 1. 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型， 其俯视图可近似看成是两个大小不同，离心率相同的椭圆，已知大椭圆的 长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长 轴长为（　　） A. 30 cm B. 20 cm C. 10 cm D. 10 cm 解析：　因为两个椭圆的离心率相同，所以 ＝ ，所以 ＝ ， 所以2a小＝20，所以小椭圆的长轴长为20 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴长为2 ， 点M在椭圆上，若｜MF｜的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为 （　　） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 解析：　依题意，椭圆短轴长为2 ，得b＝ ，则a2－c2＝b2＝3， 又｜MF｜的最大值是最小值的3倍，即a＋c＝3（a－c），所以a＝ 2c，所以a＝2，c＝1，则其焦距为2c＝2.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 3. （2025·莱芜月考）已知P（m，n）是椭圆x2＋ ＝1上的一个动点， 则m2＋n2的取值范围是（　　） A. （1，2） B. [1，2） C. [1，2] D. （1，2] 解析：　因为P（m，n）是椭圆x2＋ ＝1上的一个动点，所以m2＋ ＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，则 0≤m2≤1，所以1≤2－m2≤2，即1≤m2＋n2≤2，所以m2＋n2的取值范围 是[1，2]. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 已知（2，1）是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）上一点，则连接椭圆 C的四个顶点构成的四边形的面积（　　） A. 有最小值4 B. 有最小值8 C. 有最大值8 D. 有最大值16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　因为（2，1）是椭圆C： ＋ ＝1上一点，所以 ＋ ＝1， 所以 ＋ ≥2× × （当且仅当 ＝ ，即a＝2b时，取等号），所以 1≥ ，即ab≥4，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为S＝ ·2a·2b＝2ab≥8，所以连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积的最 小值为8，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 5. 如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm，现 太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　如图，l1，l2是两条与球相切的直线，分别切于 点A，C，与底面交于点B，D，设篮球的半径为R， ∴AC＝2R＝22，R＝11，过C作CE∥BD交l1于点E， 则CE＝BD，在Rt△ACE中，CE＝ ，∴CE＝22× ＝2a，∴a＝ ＝ ，b＝R，∴c＝ ＝ R，∴e＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕设椭圆 ＋ ＝1的右焦点为F，直线y＝m（0＜m＜ ） 与椭圆交于A，B两点，则（　　） A. ｜AF｜＋｜BF｜为定值 B. △ABF的周长的取值范围是[6，12] C. 当m＝ 时，△ABF为直角三角形 D. 当m＝1时，△ABF的面积为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：设椭圆的左焦点为F'，则｜AF'｜＝｜BF｜，所以｜AF｜＋｜BF｜＝｜AF｜＋｜AF'｜＝6为定值，A正确；△ABF的周长为｜AB｜＋｜AF｜＋｜BF｜，因为｜AF｜＋｜BF｜为定值6，｜AB｜的取值范围是（0，6），所以△ABF的周长的取值范围是（6，12），B错误；将y＝ 与椭圆方程联立，可解得A（－ ， ），B（ ， ），又因为F（ ，0），∴ · ＝（ ＋ ）×（ － ）＋（ ）2＝0，所以△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A（－ ，1），B（ ，1），所以S△ABF＝ ×2 ×1＝ ，D正确，故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕中国的“嫦娥四号”探测器，简称“四号星”，是世界首个在 月球背面软着陆和巡视探测的航天器.如图所示，现假设“四号星”沿地 月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个 焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个 焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距， 用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子 正确的是（　　） A. a1＋c1＝a2＋c2 B. a1－c1＝a2－c2 C. ＜ D. ＞ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　由题图可知，a1＞a2，c1＞c2，所以a1＋c1＞a2＋c2，所以A 错误；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝｜PF｜，在椭圆轨道Ⅱ中可得，a2－ c2＝｜PF｜，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；所以a1＋c2＝a2＋c1，两 边同时平方，得 ＋ ＋2a1c2＝ ＋ ＋2a2c1，所以 － ＋2a1c2 ＝ － ＋2a2c1，即 ＋2a1c2＝ ＋2a2c1，由题图可得， ＞ ， 所以2a1c2＜2a2c1，即 ＜ ，所以C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 8. 在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C： ＋ ＝1上运动，则点P到 直线x－y－5＝0的距离的最大值为 ⁠. 解析：设直线x－y＋m＝0与椭圆 ＋ ＝1相切，联立消去y，得25x2＋ 32mx＋16m2－144＝0，∴Δ＝（32m）2－4×25×（16m2－144）＝0，解 得m＝5或m＝－5，∴与直线x－y－5＝0平行且与椭圆相切的直线方程 为x－y＋5＝0，且两平行直线间的距离为d＝ ＝ ＝5 ， ∴点P到直线x－y－5＝0的最大距离为5 . 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：因为｜ ｜＝1，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为 · ＝0，所以PM⊥AM，要使｜ ｜最小，只需｜ ｜最小，设P（m，n），－6≤m≤6，则 ＋ ＝1，其中｜AP｜＝ ＝ ＝ ＝ ，因为－6≤m≤6，所以当m＝6时，｜AP｜min＝3，此时｜ ｜min＝ ＝2 . 9. 已知动点P在椭圆C： ＋ ＝1上，若点A的坐标为（3，0），点M 满足｜ ｜＝1， · ＝0，则｜ ｜的最小值是 ⁠. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c， 0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P，使 ＝ ，则该椭 圆的离心率的取值范围为 ⁠. （ －1，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：在△PF1F2中，由正弦定理得 ＝ .∵ ＝ ，∴ ＝ ，即｜PF1｜＝ ·｜PF2｜.由椭圆定义 知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则 ·｜PF2｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PF2｜＝ .由椭圆的几何性质知｜PF2｜＜a＋c，则 ＜a＋c，即c2＋2ac －a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，解得e＜－ －1或e＞ －1.又e∈（0， 1），∴e∈（ －1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 11. （2025·绍兴月考）如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地 块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆 ＋ ＝1 （x≤0）和 ＋ ＝1（x≥0）组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩 形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）. （1）求“挞圆”的方程； 解：由题意知b＝15，a＋9＝34，解得a＝25，b＝15. 所以“挞圆”方程为 ＋ ＝1（x≤0）和 ＋ ＝1 （x≥0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t（t∈（0，15）），求该网箱所占水面面积的最大值. 解：设P（x0，t）为矩形在第一象限内的顶点，Q（x1，t）为矩形在第二象限内的顶点， 则 ＋ ＝1， ＋ ＝1，可得x1＝－ x0. 所以内接矩形的面积S＝2t（x0－x1）＝2t· x0＝15×34×2· · ≤15×34（ ＋ ）＝510， 当且仅当 ＝ 时，S取最大值510.所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 在平面直角坐标系中，C1（0，－ ），圆C2：x2＋（y－ ）2＝ 12，动圆P过C1且与圆C2相切. （1）求动圆圆心P所在曲线C的方程； 解：连接PC1，PC2（图略），设动圆P的半径为r， 由题知｜PC1｜＝r，｜PC2｜＝2 －r，所以｜PC1｜＋｜PC2｜＝2 ＞｜C1C2｜＝2 ， 所以点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，其长轴长为2a＝2 ，焦距为 2c＝2 ， 则a＝ ，c＝ ，故b＝ ＝1， 所以曲线C的方程为 ＋x2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若直线l过点（0，1）且与曲线C交于A，B两点，线段AB的中点在 直线x＝－ 上，求直线l的方程. 解：若直线l的斜率不存在，则线段AB的中点为坐标原点，不符合题意. 若直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋1， 将y＝kx＋1代入 ＋x2＝1，得（3＋k2）x2＋2kx－2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝－ ，即 ＝－ ＝－ ， 所以k2－4k＋3＝0，解得k＝1或k＝3， 所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝3x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $