2.2.1 直线的点斜式方程（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过射击手瞄准情境导入，联系确定直线的几何要素，以问题链引导学生从斜率公式自主推导方程，衔接前期斜率知识，构建几何到代数的学习支架。 其亮点在于情境化导入培养数学眼光，问题驱动推导发展逻辑推理，分层例题与训练强化数学运算。课堂小结用表格对比易混点，帮助学生系统梳理知识。学生能提升抽象与运算能力，教师可借助完整资源高效开展教学。

2.2.1　直线的点斜式方程 1 1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程（数学抽象、数学运算）. 2. 会用直线的斜截式方程解决直线的平行与垂直问题（数学运算、逻辑推理）. 课标要求 　　射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求.试从数学角度分析子弹是否会命中目标？ 情境导入 知识点一　直线的点斜式方程 01 知识点二　直线的斜截式方程 02 提能点　直线斜截式方程的应用 03 课时作业 04 目录 4 01 PART 知识点一 直线的点斜式方程 目 录 问题1　（1）经过原点的直线有多少条？经过原点且斜率为1的直线唯一 确定吗？由此你能得到什么结论？ 提示：无数条；唯一确定；平面内一点和斜率确定一条直线. （2）由上述结论，经过点P0（x0，y0）且斜率为k的直线与直线上任一点 P（x，y）有什么关系？试建立它们的代数关系式. 提示：如图所示，当P与P0不重合时，由斜率公式k＝ 得y－y0＝k（x－x0）.当P与P0重合，即x＝x0，y＝y0 时，同样满足上式，这说明任意P（x，y）均满足：y－ y0＝k（x－x0）. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 方程 由直线上一定点（x0，y0）及该直线的斜 率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称 ⁠. 2. 特别地，当k＝0时（如图1），过P0（x0，y0）的直线可以写成 ⁠ ；当k不存在时（如图2），过P0（x0，y0）的直线可以写成 ⁠⁠. y－y0＝k（x－x0）　 点斜式　 y＝ y0　 x＝x0　 数学·选择性必修第一册 目 录 　　提醒：（1）点斜式应用的前提条件是直线的斜率存在，若斜率不存 在，则不能用此种形式；（2） ＝k与y－y0＝k（x－x0）是不同的， 前者缺少一个点（x0，y0），后者才是整条直线. 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】根据下列给定的条件，分别求直线的方程： （1）直线过点（2，－3），倾斜角为135°； 解：因为直线过点（2，－3），倾斜角为135°，所以直线的斜率k＝tan 135°＝－1，所以直线的点斜式方程为y－（－3）＝－（x－2），即y＋ 3＝－（x－2）. （2）直线经过点A（1，2），B（－3，5）； 解：因为直线经过点A（1，2），B（－3，5），所以直线的斜率为k＝ ＝－ ，所以直线的点斜式方程为y－2＝－ （x－1）. 数学·选择性必修第一册 目 录 （3）直线经过原点，倾斜角为0°； 解：因为直线经过原点，倾斜角为0°，所以斜率为0，所以直线方程为y ＝0. （4）直线经过点P（2，－1），倾斜角为90°. 解：因为直线经过点P（2，－1），倾斜角为90°，所以斜率不存在，直 线方程为x＝2. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 求直线的点斜式方程的思路 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　（1）已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则（　C　） A. 该直线过点（－1，2），斜率为－1 B. 该直线过点（－1，2），斜率为1 C. 该直线过点（－1，－2），斜率为－1 D. 该直线过点（－1，－2），斜率为1 解析：直线的方程可化为点斜式y－（－2）＝－[x－（－1）]，故直线过 点（－1，－2），斜率为－1. C 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）（2025·龙岩月考）已知过定点（4，5）的直线m的一个方向向量是 d＝（3，2），则直线m的点斜式方程为 ⁠. 解析：因为直线的一个方向向量是d＝（3，2），所以直线的斜率为 .又 因为直线过点（4，5），所以直线的点斜式方程为y－5＝ （x－4）. y－5＝ （x－4） 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点二 直线的斜截式方程 目 录 问题2　（1）如果直线过点P0（0，b），斜率为k，如何求直线的方程？ 提示：由直线的点斜式方程，得y－b＝k（x－0），即y＝kx＋b. （2）如果直线方程为y＝kx＋b，则实数b的符号与经过的点P（0，b） 的位置有什么联系？ 提示：当b＞0时，点P（0，b）在y轴的正半轴上；当b＝0时，点P （0，b）为坐标原点；当b＜0时，点P（0，b）在y轴的负半轴上. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的 ⁠ .方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方 程 叫做直线的斜截式方程，简称 ⁠. 　　提醒：（1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只 能在直线斜率存在的前提下使用；（2）截距是一个实数，它是直线与坐 标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它 在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 截 距　 y＝kx＋b　 斜截式　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例2】写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； 解：由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y＝2x＋5. （2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； 解：∵倾斜角α＝150°， ∴斜率k＝tan 150°＝－ . 由斜截式可得方程为y＝－ x－2. 数学·选择性必修第一册 目 录 （3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：∵直线的倾斜角为60°， ∴斜率k＝tan 60°＝ . ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线的斜截式方程为y＝ x＋3或y＝ x－3. 数学·选择性必修第一册 目 录 变式　若本例（2）条件不变，试求直线与两坐标轴围成的三角形的面积. 解：由直线的方程为y＝－ x－2，又其在y轴上的截距为－2，令y＝0， 得其在x轴上的截距为－2 ，所以所求三角形的面积S＝ ×｜－2｜ ×｜－2 ｜＝2 . 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 直线的斜截式方程的求解策略 （1）求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代 入方程即可； （2）当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写 出直线的斜截式方程. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　（1）已知直线l：y＝x sin θ＋ cos θ的图象如图所示，则角θ是 （　D　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解析：结合图象易知， sin θ＜0， cos θ＞0，则角θ为第四象限角. D 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝ x＋2的斜率的一 半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的斜截式方程是 ⁠. 解析：直线y＝ x＋2的斜率为 ，在y轴上的截距为2，则直线l的斜率为 ，在y轴上的截距为2×2＝4，故直线l的方程为y＝ x＋4. y＝ x＋4 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 提能点 直线斜截式方程的应用 目 录 问题3　上一节课我们已经讨论过斜率对于直线平行、垂直的影响，设l1： y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么时候：（1）l1∥l2；（2） l1，l2重合；（3）l1⊥l2. 提示：（1）k1＝k2且b1≠b2. （2）k1＝k2且b1＝b2. （3）k1k2＝－1. 数学·选择性必修第一册 目 录 【例3】已知直线l1：y＝－ x＋ 和l2：6my＝－x＋4，问m为何 值时，l1与l2平行或垂直？ 解：当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y＝－ x＋ . 由－ ＝－ ，得m＝± . 由 ≠ ，得m≠ 且m≠ ， 所以当m＝－ 时，l1与l2平行； 又－ ·（－ ）＝－1无解. 故当m＝－ 时，l1与l2平行； 当m＝0时，l1与l2垂直. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 两条直线平行和垂直的判定 （1）平行的判定 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）垂直的判定 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　（1）以A（1，3），B（－5，1）为端点的线段的垂直平分线的 斜截式方程为（　A　） A. y＝－3x－4 B. y＝3x－4 C. y＝3x＋4 D. y＝－3x＋4 解析：因为直线AB的斜率kAB＝ ＝ ，则垂直平分线的斜率k＝－ 3，又因为线段AB的中点为M（－2，2），所以所求直线方程为y－2＝－ 3（x＋2），即y＝－3x－4.故选A. A 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）已知直线l：y＝－ x＋ 与直线l'：y＝ x－ 平行，且直线l与y轴 的交点为（0，1），则a＝ ，b＝ ⁠. 解析：由直线l：y＝－ x＋ 与直线l'：y＝ x－ 平行，且直线l与y轴 的交点为（0，1），得 解得 － 2 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 已知直线l的方程是y－2＝3（1－x），则直线l的斜率是（　　） A. 2 B. －1 C. 3 D. －3 解析：　将直线的方程化为点斜式方程为y－2＝－3（x－1），所以直 线的斜率为－3. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有（　　） A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0 √ 解析：　∵直线经过第一、三、四象限，∴图象如图所示，由图知，k＞0，b＜0. 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 直线y＝6－3x的斜率为 ，在坐标轴上的截距之和等于 ⁠. 解析：由直线的斜截式方程y＝6－3x＝－3x＋6，直线的斜率为－3，在 坐标轴上的截距之和等于6＋2＝8. 4. （1）求经过点（2，－3），且斜率为－4的直线方程； 解：由直线的点斜式方程得，过点（2，－3），斜率为－4的直线方 程为y－（－3）＝－4（x－2），即y＋3＝－4（x－2）. （2）求经过直线y＝3－2x与y轴的交点且与该直线垂直的直线方程. 解：直线y＝3－2x与y轴的交点为（0，3），直线的斜率为－2，故 与该直线垂直的直线的斜率为 ，所求的直线的斜截式方程为y＝ x＋3. －3 8 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 直线的点斜式方程与斜截式方程： 2.应体会 利用斜截式求直线方程时，要注意分类讨论思想的应用. 3.避易错 （1）求直线的点斜式与斜截式方程时忽略斜率不存在的情况； （2）混淆直线的截距和距离. 点斜式 斜截式 条件 过点（x0，y0），斜率为k 过点（0，b），斜率为k 方程 y－y0＝k（x－x0） y＝kx＋b 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 课时作业 目 录 1. 已知某直线的倾斜角为30°，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为 （　　） A. y＝ x＋2 B. y＝－ x＋2 C. y＝－ x－2 D. y＝ x－2 解析：　由题意得，直线的斜率k＝tan 30°＝ ，又直线在y轴上的截 距为2，故直线的方程为y＝ x＋2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 直线y－2＝－ （x＋1）的倾斜角及在y轴上的截距分别为（　　） A. 60°，2 B. 120°，2－ C. 60°，2－ D. 120°，2 解析：该直线的斜率为－ ，当x＝0时，y＝2－ ，所以其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. （2025·商丘月考）经过点（－1，1），斜率是直线y＝ x－2的斜率 的2倍的直线方程是（　　） A. x＝－1 B. y＝1 C. y－1＝ （x＋1） D. y－1＝2 （x＋1） 解析：　由方程知，已知直线的斜率为 ，所以所求直线的斜率是 ， 由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝ （x＋1）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 过点（1，0）且与直线y＝ x－1垂直的直线方程是（　　） A. y＝ x－ B. y＝ x＋ C. y＝－2x＋2 D. y＝－ x＋ 解析：　由于直线y＝ x－1的斜率为 ，故所求直线的斜率等于－2，故 所求直线的方程为y－0＝－2（x－1），即y＝－2x＋2，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. （2025·苏州月考）若直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，则点（－ a，－b）位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　因为直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞ 0，所以（－a，－b）位于第三象限，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕给出下列四个结论，正确的是（　　） A. 方程k＝ 与方程y－2＝k（x＋1）可表示同一直线 B. 直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C. 直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程是y＝y1 D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程 解析：A不正确，方程k＝ 不含点（－1，2）；B正确；C正确；D不正确，只有k存在时成立. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕已知两条直线l1：y－3＝k（x－1），l2：y－3＝－ （x－ 2），则下列说法正确的是（　　） A. l1与l2一定相交 B. l1与l2一定平行 C. l1与l2一定垂直 D. l1与l2不可能平行 解析：两直线的斜率之积为－1，故l1与l2一定垂直并相交，A、C正确；当k＝－ 时，无实数解，故l1与l2不可能平行，D正确，B错误.故选A、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. （2025·宁德质检）在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直 线的斜截式方程是 ⁠. 解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为 或－ ，又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的 斜截式方程为y＝ x－6或y＝－ x－6. y＝ x－6或y＝－ x－6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. （2025·云浮质检）已知直线l的斜率为 ，且与坐标轴所围成的三角形 的周长是30，则直线l的方程为 ⁠. 解析：由直线l的斜率为 ，可设直线l的方程为y＝ x＋b.令x＝0，得 y＝b；令y＝0，得x＝－ b.由题意得｜b｜＋ ＋ ＝30.∴｜b｜＋ ｜b｜＋ ｜b｜＝30，∴b＝ ±5.∴所求直线l的方程为y＝ x±5. y＝ x±5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 分别求下列直线的方程： （1）经过点A（2，－3），且与直线y＝2x－6平行； 解：由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y＋3＝2（x－2）. （2）经过点B（－1，2），且与x轴平行； 解：由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的方程为y－2 ＝0（x＋1），即y＝2. （3）经过点C（0，－3），且与直线y＝x＋2垂直； 解：由题意知，所求直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－3，所以 直线的方程为y＝－x－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （4）经过点（2，2），且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2. 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝2，经检验符合题目 的要求； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－2＝k（x－2）， 令y＝0，得x＝ ， 由三角形的面积为2，得 ×｜ ｜×2＝2. 解得k＝ . 可得直线的方程为y－2＝ （x－2）. 综上可知，直线的方程为x＝2或y＝ x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. （2025·常州月考）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a （ab≠0，a≠b）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） 解析：　对于A，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对 于B，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C，由l1得a ＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D，由l1得a＞0，b＞0， 而由l2得a＞0，b＞0.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上 方，则实数k，b的取值应该满足的条件是（　　） A. k＞2，b＞－3 B. k＞2，b＝－3 C. k＝2，b＞－3 D. k＝2，b＝－3 解析：　若两直线相交，则一定不满足题意，所以两直线平行，则k＝2. 因为直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，所以直线y＝kx＋b在y 轴上的截距必大于直线y＝2x－3在y轴上的截距，即b＞－3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. 〔多选〕已知直线l：y＝kx＋3k＋4，k∈R，则下列说法正确的是 （　　） A. 直线恒过一定点 B. 直线可以平行于x轴 C. 直线可以垂直于x轴 D. 若直线不过第四象限，则k＞0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　直线l：y＝kx＋3k＋4即l：y－4＝k（x＋3），k∈R，所 以直线经过定点P（－3，4），选项A正确；当k＝0时，直线平行于x 轴，选项B正确；由于直线的斜率k存在且为任意实数，故直线不能垂直 于x轴，选项C错误；若直线l不过第四象限，则 即k≥0， 故D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. 已知在平面直角坐标系中的两点A（8，－6），B（2，2）. （1）求线段AB的中垂线的方程； 解：易知线段AB的中点的坐标为（5，－2）， ∵kAB＝ ＝－ ， ∴线段AB的中垂线的斜率为 ， ∴由直线的点斜式方程可得线段AB的中垂线的方程为y＋2＝ （x－ 5），即y＝ x－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求以向量 为方向向量且过点P（2，－3）的直线l的方程. 解：由已知得 ＝（－6，8），则直线l的斜率为－ ，又直线过点 P（2，－3）， 由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋3＝－ （x－2），即y＝－ x － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. 已知直线l的方程为y－1＝k（x－2）（k∈R）. （1）证明：直线l恒过第一象限； 解：证明：由点斜式方程y－1＝k（x－2）可知，直线l恒过点 （2，1），该点位于第一象限，所以直线l恒过第一象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解：存在，理由如下： 若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则k＜0，A（2－ ， 0），B（0，1－2k）， 所以△ABO的面积S＝ （1－2k）·（2－ ）＝ ［4＋（－4k）＋（－ ）］≥ ×（4＋4）＝4，当且仅当－4k＝－ ，即k＝－ 时，等号成 立，故存在使△ABO面积最小的直线l，其方程为y－1＝－ （x－2）， 即y＝－ x＋2. （2）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否 存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请 说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $