第1章 章末整合提升（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的章末整合，涵盖基本概念、运算、性质及几何应用，通过类比平面向量搭建知识支架，引导学生从平面到空间构建知识脉络，实现前后知识点的逻辑衔接。 其特色在于以素养提升为核心，通过例题解析、真题变式及探索性问题，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念），如利用向量法证明线面垂直、求解二面角。反思感悟环节系统总结方法，助力学生深化理解，也为教师提供高效教学资源。

章末整合提升 1 体系构建 01 素养提升 02 目录 2 01 PART 体系构建 目 录 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 素养提升 目 录 一、空间向量的概念及运算 　空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是 相同的，可以通过类比进行学习. 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 ＝a， ＝b， ＝c，M，P分别是AA1，C1D1的中点，则 ＝（　C　） A. a＋ b＋ c B. a＋ c C. a＋ b＋c D. a＋ b＋ c 解析：如图，由题意，M，P分别是AA1，C1D1的中点， ∴ ＝ ＋ ＝ ＋（ ＋ ）＝ ＋ （ ＋ ）＝ a＋ b＋c.故选C. C 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且夹角都是 ，则 向量a－b－c和b的夹角为（　C　） A. B. C. D. C 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：由题意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a·b＝a·c＝b·c＝ ， ∴｜a－b－c｜＝ ＝ ＝ ，（a－b－c）·b＝a·b－b2 －b·c＝－1.设向量a－b－c和b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝－ ，又θ∈[0，π]，∴θ＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 （3）已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满 足 ＝ ＋ ＋ ，则点M （填“∈”或“∉”）平面ABC. 解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （ － ）＝ ＋ ＋ ，∵ ＋ ＋ ＝1，∴M，A，B，C四点共面，即点M∈ 平面ABC. ∈ 数学·选择性必修第一册 目 录 【反思感悟】 1. 空间向量数量积的3个应用 （1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ，进而可求 两异面直线所成的角； （2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问 题转化为向量数量积的计算问题； （3）解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问 题转化为向量数量积的计算问题. 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点（P，A，B）共线 空间四点（M，P，A，B）共面 ＝λ 且同过点P ＝x ＋y 对空间任一点O， ＝ ＋ t 对空间任一点O， ＝ ＋x ＋ y 对空间任一点O， ＝x ＋ （1－x） 对空间任一点O， ＝x ＋y ＋ （1－x－y） 数学·选择性必修第一册 目 录 二、利用空间向量证明线面位置关系 　用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、 线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；证明线面位置关系的基 本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和 垂直进行证明. 数学·选择性必修第一册 目 录 【例2】如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD， M，N分别为AB，PC的中点，求证： （1）MN∥平面PAD； 数学·选择性必修第一册 目 录 证明：由题意得AB，AD，AP两两垂直.如图所示，以A 为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系Axyz. 设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P（0，0，a），A（0， 0，0），D（0，a，0），C（b，a，0），B（b，0，0）， 因为M，N分别为AB，PC的中点， 所以M（ ，0，0），N（ ， ， ）. 所以 ＝（0， ， ）， ＝（0，0，a）， ＝（0，a，0）. 所以 ＝ ＋ ，所以 ， ， 共面， 又因为MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）平面PMC⊥平面PDC. 证明：由（1）可知 ＝（b，a，－a）， ＝（ ，0，－a）， ＝（0，a，－a）. 设平面PMC的法向量为n1＝（x1，y1，z1）， 则 所以 令z1＝b，则n1＝（2a，－b，b）. 数学·选择性必修第一册 目 录 设平面PDC的法向量为n2＝（x2，y2，z2）， 则 所以 令z2＝1，则n2＝（0，1，1）. 因为n1·n2＝0－b＋b＝0， 所以n1⊥n2. 所以平面PMC⊥平面PDC. 数学·选择性必修第一册 目 录 【反思感悟】 利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤 数学·选择性必修第一册 目 录 三、利用空间向量求距离 　能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的 平面的距离问题. 数学·选择性必修第一册 目 录 【例3】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点. 数学·选择性必修第一册 目 录 （1）求点N到直线AB的距离； 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0）， B（2 ，2，0），C（0，4，0），C1（0，4，4），A1 （0，0，4），∵N是CC1的中点，∴N（0，4，2）. ＝（0，4，2）， ＝（2 ，2，0），则｜ ｜＝ 2 ，｜ ｜＝4， · ＝8. 设点N到直线AB的距离为d1， 则d1＝ ＝ ＝4. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求点C1到平面ABN的距离. 解：设平面ABN的一个法向量为n＝（x，y，z），由n⊥ ， n⊥ ，得 令z＝2，则y＝－1，x＝ ，即n＝（ ，－1，2）. 易知 ＝（0，0，－2），设点C1到平面ABN的距离为d2， 则d2＝｜ ｜＝｜ ｜＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 【反思感悟】 1. 向量法求点到平面的距离，一般转化为平面外一点与平面内一点构成的 向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度问题. 2. 求直线到平面、平面到平面的距离，往往转化为点到平面的距离求解， 且这个点要适当选取，以易于求解为准则. 数学·选择性必修第一册 目 录 四、利用空间向量求空间角（考教衔接） 空间中三种角的计算公式 （1）两条异面直线所成的角θ： cos θ＝｜ cos ＜u，v＞｜＝｜ ｜＝ （其中u，v分别是两异面直线的方向向量）； （2）直线和平面所成的角θ： sin θ＝｜ cos ＜u，n＞｜＝｜ ｜＝ （其中u是直线的方向向量，n是平面的法向量）； （3）两个平面的夹角θ： cos θ＝｜ cos ＜n1，n2＞｜＝｜ ｜ ＝ （其中n1，n2分别是两平面的法向量）. 数学·选择性必修第一册 目 录 教材原题　（链接教材P39例10）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作 EF⊥PB交PB于点F. （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB⊥平面EFD； （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 数学·选择性必修第一册 目 录 变式1　真题检验　已知空间角的大小求线段长度（2024·新高考Ⅰ卷17题）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝ . （1）若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； 解：证明：因为PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD， 又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB， 而AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB. 因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，根据平面知识可知AD∥BC， 又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为 ，求AD. 解：法一　如图所示，过点D作DE⊥AC于E，再过点E作 EF⊥CP于F，连接DF， 因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平 面PAC∩平面ABCD＝AC， 所以DE⊥平面PAC，又EF⊥CP，所以CP⊥平面DEF， 所以CP⊥DF， 根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A-CP-D的平面角， 即 sin ∠DFE＝ ，即tan∠DFE＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 因为AD⊥DC，设AD＝x，则CD＝ ， 由等面积法可得，DE＝ ， 又CE＝ ＝ ，而△EFC为等腰 直角三角形，所以EF＝ ， 故tan∠DFE＝ ＝ ，解得x＝ ，即AD＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 法二　以DA，DC分别为x轴，y轴，过D作与平面 ABCD垂直的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz， 令AD＝t，则A（t，0，0），P（t，0，2），D（0，0，0），DC＝ ，C（0， ，0）， 设平面ACP的法向量为n1＝（x1，y1，z1）， 则 所以 数学·选择性必修第一册 目 录 设平面CPD的法向量为n2＝（x2，y2，z2）， 则 所以 不妨设z2＝t，则x2＝－2，y2＝0，n2＝（－2，0，t）. 因为二面角A-CP-D的正弦值为 ，则余弦值为 ， 所以 ＝｜ cos ＜n1，n2＞｜＝ ＝ ， 所以t＝ ，所以AD＝ . 不妨设x1＝ ，则y1＝t，z1＝0，n1＝（ ，t，0）. 数学·选择性必修第一册 目 录 变式2　真题检验　空间角与折叠问题 （2024·新高考Ⅱ卷17题）如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3， AD＝5 ，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足 ＝ ， ＝ .将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4 . 数学·选择性必修第一册 目 录 （1）证明：EF⊥PD； 解：证明：由AB＝8，AD＝5 ， ＝ ， ＝ ，得AE＝ 2 ，AF＝4， 又∠BAD＝30°，在△AEF中， 由余弦定理得 EF＝ ＝ ＝2， 所以AE2＋EF2＝AF2， 则AE⊥EF，即EF⊥AD， 数学·选择性必修第一册 目 录 由翻折的性质知EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE＝E，PE，DE⊂平面 PDE， 所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE， 故EF⊥PD. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 解：连接CE，由∠ADC＝90°，ED＝3 ，CD＝ 3，则CE2＝ED2＋CD2＝36， 在△PEC中，PC＝4 ，PE＝2 ，EC＝6，得EC2 ＋PE2＝PC2， 所以PE⊥EC，由（1）知PE⊥EF，又EC∩EF＝ E，EC，EF⊂平面ABCD， 所以PE⊥平面ABCD，又ED⊂平面ABCD， 所以PE⊥ED，则PE，EF，ED两两垂直，建立如图 空间直角坐标系Exyz， 数学·选择性必修第一册 目 录 则P（0，0，2 ），D（0，3 ，0），C（3， 3 ，0），F（2，0，0），A（0，－2 ，0）， 由F是AB的中点，得B（4，2 ，0）， 所以 ＝（3，3 ，－2 ）， ＝（0，3 ，－ 2 ）， ＝（4，2 ，－2 ）， ＝（2，0，－2 ）， 设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n＝（x1，y1，z1），m＝（x2，y2，z2）， 数学·选择性必修第一册 目 录 则 令y1＝2，x2＝ ，得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1， 所以n＝（0，2，3），m＝（ ，－1，1）， 所以｜ cos ＜m，n＞｜＝ ＝ ＝ ， 设平面PCD和平面PBF所成二面角为θ，则 sin θ＝ ＝ ， 即平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为 . 数学·选择性必修第一册 目 录 变式3　空间角与探索性问题 如图，在三棱锥A-BCD中，AC＝AD＝BC＝BD＝2 ，AB＝CD＝4. （1）证明：AB⊥CD； 解：证明：如图，取CD的中点E，连接AE，BE， 因为AC＝AD＝BC＝BD，所以AE⊥CD，BE⊥CD， 因为AE∩BE＝E，AE，BE⊂平面ABE， 所以CD⊥平面ABE，又AB⊂平面ABE，所以CD⊥AB. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）在棱AB上是否存在点F（不与端点重合），使得直线AF与平面 FCD所成角的正弦值为 ？若存在，求出点F的位置，若不存在，请说 明理由. 解：存在点F，位于棱AB上靠近点A或点B的四等分点 处，使直线AF与平面FCD所成角的正弦值为 ，证明 如下： 如图，因为AC＝AD＝BC＝BD，易知 △ACD≌△BCD，则AE＝BE， 取AB的中点G，连接GE，易知GE⊥AB，又CD⊥平面 ABE，易知CD，GE，AB两两垂直， 数学·选择性必修第一册 目 录 以G为坐标原点，分别以GE，GA所在直线为y轴，z轴，过点G作CD的平行线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题设，易得AE＝2 ，GE＝2，则A（0，0，2），B（0，0，－2），C（2，2，0），D（－2，2，0）， 则 ＝（0，0，－4）， ＝（4，0，0），设 ＝λ ＝（0，0，－4λ），0＜λ＜1， 则F（0，0，2－4λ），故 ＝（2，2，4λ－2）， 数学·选择性必修第一册 目 录 设平面FCD的法向量为n＝（x，y，z），则 令z＝－1，则n＝（0，2λ－1，－1）， 设直线AF与平面FCD所成角为θ， 则 sin θ＝｜ cos ＜ ，n＞｜＝ ＝ ＝ ，解得λ＝ 或λ＝ ， 故在棱AB上存在点F，使得直线AF与平面FCD所成角的正弦值为 ， 此时点F位于棱AB上靠近点A或点B的四等分点处. 数学·选择性必修第一册 目 录 【反思感悟】 用向量法求空间角应注意的问题 （1）两异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，两异面直线的方向向量 所成角的范围为0°＜θ＜180°； （2）要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线 a的方向向量a夹角的余弦值 cos ＜n，a＞，而θ＝＜n，a＞－ 或 － ＜n，a＞； （3）平面与平面的夹角与二面角的范围不同，若求二面角大小，需先判 断二面角是锐角还是钝角. 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $