第1章 章末检测（一） 空间向量与立体几何（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，涵盖向量线性运算、平行垂直判定、空间距离角度计算等核心知识，通过从基础向量概念到复杂几何体应用的递进设计，搭建连贯的学习支架。 其亮点在于融合数学文化与逻辑推理，如以《九章算术》“刍甍”为背景的题目培养数学眼光，详细的向量法解题过程发展数学思维，规范的符号表达强化数学语言。学生能提升空间观念与运算能力，教师可高效检测教学效果。

章末检测（一）空间向量与立体几何 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，若 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝ （　　） A. a＋b－c B. a－b＋c C. －a＋b－c D. －a＋b＋c 解析：由题可知 ＝ ＋ ＝ ＋ － ＝－a＋b＋c.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·选择性必修第一册 2 2. 设m∈R，向量a＝（m，1，1），b＝（4，m，－2），c＝（1，2， 0），则a∥b是a⊥c的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：　a∥b，则a＝λb，即（m，1，1）＝λ（4，m，－2）， 解得 a⊥c，则a·c＝0⇒m＋2＋0＝0⇒m＝－2.则 a∥b⇔a⊥c，故a∥b是a⊥c的充要条件.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 3. 已知向量a＝（0，－1，1），b＝（4，1，0），｜λa＋b｜＝ ， 且λ＞0，则λ＝（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：由题意，得λa＋b＝（4，1－λ，λ）.因为｜λa＋b｜＝ ，所以42＋（1－λ）2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 4. 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为 O1，则 · ＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析：　由于 ＝ ＋ ＝ ＋ （ ＋ ）＝ ＋ （ ＋ ）.而 ＝ ＋ .则 · ＝［ ＋ （ ＋ ）］·（ ＋ ）＝ （ ＋ ）2＝ （ ＋ ）＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 5. 如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝1， BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：　∵AB＝1，BC＝2，AA1＝3，∴A1（0，0，3），C（1，2， 0），B（1，0，0），∴直线A1C的方向向量 ＝（1，2，－3）， ＝（0，2，0）， 对应的单位向量为u＝（ ， ，－ ），∴点 B到A1C的距离为d＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 6. 如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5，M，N分别在上、 下底面圆周上，且＜ ， ＞＝120°，则｜ ｜＝（　　） A. B. 5 C. D. 5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：　∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴ · ＝0， · ＝0，且由题意知， · ＝3×5× cos 60°＝ .∵ ＝ ＋ ＋ ，∴ ＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋ ＋2 · ＋ · ＋2 · ＝9＋16＋25＋15＝65， ∴｜ ｜＝ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 7. 《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中 记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形， EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF， 则异面直线DE与BF所成角的大小为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：　如图，以矩形ABCD的中心O为原点， 的 方向为x轴正方向建立空间直角坐标系.∵四边形ABCD 为矩形，EF∥AB，△ADE和△BCF都是正三角形， ∴EF⊂平面Oyz，且Oz是线段EF的垂直平分线.设AB＝3，则EF＝1，AD＝2，D（－1，－ ，0），E（0，－ ， ），B（1， ，0），F（0， ， ）.∴ ＝（1，1， ）， ＝（－1，－1， ），∴ · ＝－1×1＋1×（－1）＋ × ＝0，∴ ⊥ ，∴异面直线DE与BF所成的角为 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 8. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧 面ABB1A1内，若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值是（　　） A. B. C. D. √ 解析：　以点D为空间直角坐标系的原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设点P（1，y，z），0≤y，z≤1，D1（0，0，1），所以 ＝（1，y，z－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 因为C（0，1，0），M（1，0， ），所以 ＝（1，－1， ），因为 ⊥ ，所以1－y＋ （z－1）＝0，所以z＝2y－1.因为B（1，1，0），所以 ＝（0，y－1，2y－1），所以｜ ｜＝ ＝ ，因为0≤y≤1，所以当y＝ 时，｜ ｜min＝ .因为正方体中，BC⊥平面ABB1A1，BP⊂平面ABB1A1，故BC⊥BP，所以（S△PBC）min＝ ×1× ＝ ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（　　） A. 若p是平面α的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则b∥α 的充要条件是p· ＝0 B. 已知A，B，C三点不共线，对于空间中任意一点O，若 ＝ ＋ ＋ ，则P，A，B，C四点共面 C. 已知a＝（－1，1，2），b＝（0，2，3），若ka＋b与2a－b垂直， 则k＝－ D. 已知△ABC的顶点分别为A（－1，1，2），B（4，1，4），C（3， －2，2），则AC边上的高BD的长为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：若b⊂α，则p· ＝0成立，故b∥α不是p· ＝0的必要条件，故A错误；若 ＝ ＋ ＋ ，则 （ － ）＝ （ － ）＋ （ － ），所以 ＝ ＋ ，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；由题意可得ka＋b＝（－k，k＋2，2k＋3），2a－b＝（－2，0，1），若ka＋b与2a－b垂直，则（ka＋b）·（2a－b）＝2k＋2k＋3＝0，解得k＝－ ，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 由题意可得 ＝（5，0，2）， ＝（4，－3，0），则｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝5，则 cos A＝ ＝ ＝ ，所以 sin A＝ ＝ ，所以｜BD｜＝｜ ｜ sin A＝ × ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 10. 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB＝2，AC与BD 的交点为M，∠BAD＝90°，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则（　　） A. ＝－ ＋ － B. ＝ － － C. ｜ ｜＝ D. ｜ ｜＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：　如图所示， ＝ － ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝－ ＋ － ， 故A正确，B错误；由 ＝－ ＋ － 平方 得，｜ ｜2＝（－ ＋ － ）2＝ ＋ ＋ －2× · ＋2× · －2× · ＝ ｜ ｜2＋ ｜ ｜2＋｜ ｜2－ · ＋｜ ｜｜ ｜ cos ∠A1AB－｜ ｜｜ ｜· cos ∠A1AD＝ ×1＋ ×4＋4－0＋2×1× －2×2× ＝ ，所以｜ ｜＝ ＝ ，故C正确，D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 11. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则（　　） A. AC⊥BD B. △ACD是等边三角形 C. AB与平面BCD所成的角为60° D. AB与CD所成的角为90° √ √ 解析：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD. 又AO∩CO＝O，AO，CO⊂平面AOC，∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC， ∴AC⊥BD，A中结论正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 ∵AC＝ AO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，B中结论正确；∵AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角，为45°，C中结论错误； ＝ ＋ ＋ ，不妨设AB＝1，则 ＝（ ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋ ＋2 · ＋2 · ＋2 · ，∴1＝1＋2＋1＋2 ×（－ ）＋2 ×（－ ）＋2 cos ＜ ， ＞，∴ cos ＜ ， ＞＝ ，∴＜ ， ＞＝60°，即AB与CD所成的角为60°，D中结论错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 若空间向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，－ 7，m）是共面向量，则实数m＝ ⁠. 解析：若向量a，b，c共面，则存在x，y∈R，使得a＝xb＋yc，所以 解得 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 13. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝ 2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为 ⁠. 解析：不妨设CB＝1，则B（0，0，1），A（2，0，0），C1（0，2， 0），B1（0，2，1）.∴ ＝（0，2，－1）， ＝（－2，2，1）. cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 14. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O是侧面A1ADD1的中心， E，F分别是B1C1，CC1的中点，点M，N分别在线段OB，EF上运动， 则MN的最小值为 ⁠. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解析：以D为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的 正方向，建立空间直角坐标系，则O（2，0，2），B（4，4，0），E （2，4，4），F（0，4，2）.因为点M，N分别在线段OB，EF上运 动，所以设 ＝λ （0≤λ≤1）， ＝μ （0≤μ≤1），所以 M（2λ＋2，4λ，2－2λ），N（2μ，4，2＋2μ），所以｜ ｜＝ ＝ ，所以当μ＝λ＝ 时，｜ ｜min＝ ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知向量a＝（x，1，2），b＝（1，y，－ 2），c＝（3，1，z），且a∥b，b⊥c. （1）求向量a，b，c的坐标； 解：∵向量a＝（x，1，2），b＝（1，y，－2），c＝（3，1， z），且a∥b，b⊥c， 易知y≠0，否则a∥b不成立， ∴ 解得x＝－1，y＝－1，z＝1. ∴向量a＝（－1，1，2），b＝（1，－1，－2），c＝（3，1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 （2）求a＋c与b＋c所成角的余弦值. 解：∵a＋c＝（2，2，3），b＋c＝（4，0，－1）， ∴（a＋c）·（b＋c）＝2×4＋2×0＋3×（－1）＝5， ｜a＋c｜＝ ＝ ，｜b＋c｜＝ ＝ ， ∴向量a＋c与b＋c所成角的余弦值为 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 16. （本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为 . （1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； 解：证明： ＝ ＋ ， ＝ ＋ .因为 BB1⊥平面ABC，所以 · ＝0， · ＝0. 又△ABC为正三角形，所以＜ ， ＞＝π－＜ ， ＞ ＝π－ ＝ ， 所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＋ ＋ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＋ ＝－1＋1＝0， 所以 ⊥ ，所以AB1⊥BC1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 28 （2）设AB1与BC1的夹角为 ，求侧棱的长. 解：由（1）知 · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos ＜ ， ＞＋ ＝ －1. 又｜ ｜＝ ＝ ＝｜ ｜， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ . 所以｜ ｜＝2，即侧棱长为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 17. （本小题满分15分）如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互 相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°. （1）求直线BF与平面ABCD所成角； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解：设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得AF⊥平面ABCD. 以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知得A（0，1，0），B（－ ，0，0），C（0，－1，0），D（ ，0，0），F（0，1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 由题意可知平面ABCD的一个法向量为m＝（0，0，1）， 又 ＝（ ，1，2），设直线BF与平面ABCD所成角为θ， 则有 sin θ＝｜ cos ＜m， ＞｜＝ ＝ ＝ ，即θ＝45°. 所以直线BF与平面ABCD所成角为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 （2）求点A到平面FBD的距离. 解：因为 ＝（2 ，0，0）， ＝（ ，1，2）， 设平面FBD的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 令z＝1得n＝（0，－2，1），又因为 ＝（0，0，2）， 所以点A到平面FBD的距离d＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 18. （本小题满分17分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2 ，E 为线段DC的中点，将△ADE沿直线AE折起，使得DC＝ ，如图2. （1）求证：BE⊥平面ADE； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解：证明：如图1，连接BE，取线段AE的中点O，连 接DO，OC，在Rt△ADE中，DA＝DE＝ ， 所以DO⊥AE，DO＝OA＝OE＝1. 在△OEC中，OE＝1，EC＝ ，∠OEC＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 由余弦定理可得OC2＝1＋2＋2×1× × ＝5，所以OC＝ . 在△DOC中，DC2＝6＝DO2＋OC2，所以DO⊥OC. 又AE∩OC＝O，AE，OC⊂平面ABCE， 所以DO⊥平面ABCE. 又DO⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面ABCE. 在△ABE中，AE＝BE＝2，AB＝2 ， 所以AE2＋BE2＝AB2，所以BE⊥AE. 因为平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，所以BE⊥平面ADE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 （2）线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为 ？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置. 解：存在.过E作DO的平行线l，以E为原点，EA，EB，l分别为x轴、y轴、z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），D（1，0，1），C（－1，1，0），A（2，0，0），B（0，2，0），平面ADE的一个法向量为n1＝（0，1，0），假设存在点H符合题意，设 ＝t （0≤t≤1）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 则 ＝t（－2，2，0）＝（－2t，2t，0）， 则 ＝ － ＝（－3，1，0）－（－2t，2t，0）＝（2t－3，1－ 2t，0）， ＝（－2，1，－1）. 设平面DHC的法向量为n2＝（x，y，z）， 则n2· ＝0，n2· ＝0， 即 令y＝2t－3，则x＝2t－1，z＝－2t －1，所以n2＝（2t－1，2t－3，－2t－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 由已知 cos ＝ ＝ ＝ ， 解得t＝ 或t＝－ （舍去）， 所以存在点H符合题意，此时 ＝ ，即H为AB的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 19. （本小题满分17分）如图，已知向量 ＝a， ＝b， ＝c，可 构成空间向量的一个基底，若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2， b3），c＝（c1，c2，c3）.在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种 运算a×b＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1），显然a×b的结果 仍为一向量，记作p. （1）求证：向量p为平面OAB的法向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 解：证明：因为p·a＝a1（a2b3－a3b2）＋a2（a3b1 －a1b3）＋a3（a1b2－a2b1）＝a1a2b3－a1a3b2＋a2a3b1－a2a1b3＋a3a1b2－a3a2b1＝0， 所以p⊥a，即p⊥ ， 因为p·b＝b1（a2b3－a3b2）＋b2（a3b1－a1b3）＋b3（a1b2－a2b1）＝b1a2b3－b1a3b2＋b2a3b1－b2a1b3＋b3a1b2－b3a2b1＝0， 所以p⊥b，即p⊥ ， 又因为OA∩OB＝O，OA，OB⊂平面OAB， 所以p⊥平面OAB， 所以向量p为平面OAB的法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 （2）若a＝（1，－1， ），b＝（0，－3，0），求以OA，OB为邻 边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与｜a×b｜ 的大小； 解： cos ∠AOB＝ ＝ ＝ ， 则 sin ∠AOB＝ ， 故S四边形OADB＝2S△AOB＝｜a｜｜b｜· sin ∠AOB＝3×3× ＝6 ， 由a＝（1，－1， ），b＝（0，－3，0），得a×b＝（3 ，0，－3）， 所以｜a×b｜＝ ＝6 ， 所以S四边形OADB＝｜a×b｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 （3）将四边形OADB按向量 ＝c平移，得到一个平行六面体OADB- CA1D1B1，试判断平行六面体的体积V与｜（a×b）·c｜的大小.（注： 第（2）小题的结论可以直接应用） 解：设点C到平面OAB的距离为h， 与平面OAB 所成的角为α， 则V＝S四边形OADB·h＝｜a×b｜｜c｜ sin α， 由（1）得向量p为平面OAB的法向量， 则｜ cos ＜a×b，c＞｜＝ sin α， 又｜（a×b）·c｜＝｜a×b｜｜c｜ cos ＜a×b，c＞， 所以V＝｜（a×b）·c｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第一册 THANKS 演示完毕 感谢观看 $