1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，通过“旗杆与地面垂直”的图片情境导入，引导学生用向量语言表述垂直关系，搭建从具体几何情境到抽象向量运算的学习支架，衔接方向向量、法向量等前置知识。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，知识梳理清晰，例题提供坐标法、基向量法等多种解法，如例2用三种方法证明线面垂直，规律方法总结系统。探索性问题设计培养数学运算能力，帮助学生掌握转化思想，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

第三课时　空间中直线、平面的垂直 1 1. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系（数学抽象、逻辑推理）. 2. 能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 情境导入 　　观察图片，都知道图中旗杆所在直线和地面垂直.那么如何用向量来 表示二者的关系呢？ 知识点一　直线与直线垂直 01 知识点二　直线与平面垂直 02 知识点三　平面与平面垂直 03 提能点　垂直关系中的探索性问题 04 目录 课时作业 05 4 01 PART 知识点一 直线与直线垂直 目 录 问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直 时，u1，u2之间有什么关系？ 提示：垂直. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则 l1⊥l2⇔ ⇔ ⁠. 　　提醒：两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方 向向量相互垂直. u1⊥u2　 u1·u2＝0　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】（链接教材P33练习2题）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝ CC1.求证：AB1⊥MN. 证明：设AB的中点为O，作OO1∥AA1交A1B1于点O1， 连接OC. 以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所 在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间 直角坐标系Oxyz. 数学·选择性必修第一册 目 录 由已知得A（－ ，0，0），B（ ，0，0），C（0， ，0），N（0， ， ），B1（ ，0，1）， ∵M为BC的中点，∴M（ ， ，0）. ∴ ＝（－ ， ， ）， ＝（1，0，1）， ∴ · ＝－ ＋0＋ ＝0. ∴ ⊥ ， ∴AB1⊥MN. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 证明两直线垂直的方法及步骤 （1）坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量 →证明向量垂直→得到两直线垂直； （2）基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得 到两直线垂直. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a.若AE⊥PB于E，求证：DE⊥PB. 证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴， y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA就是PB与底面ABCD 所成的角，所以∠PBA＝30°， 所以PA＝ a. 数学·选择性必修第一册 目 录 所以A（0，0，0），B（2a，0，0），D（0，a， 0），P（0，0， a）. 所以 ＝（0，a，0）， ＝（2a，0，－ a）. 因为 · ＝（0，a，0）·（2a，0，－ a）＝0， 所以PB⊥AD. 又PB⊥AE，且AD∩AE＝A，AD， AE⊂平面ADE，所以PB⊥平面ADE，所以PB⊥DE. 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点二 直线与平面垂直 目 录 问题2　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂 直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 提示：平行（共线）. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 线面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 l⊥α⇔ ⇔∃λ∈R，使得 ⁠. u∥n　 u＝λn　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1， D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 数学·选择性必修第一册 目 录 证明：法一　设 ＝a， ＝c， ＝b， 则 ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ － ）＝ （－a＋b＋c）. 因为 ＝ ＋ ＝a＋b， 所以 · ＝ （－a＋b＋c）·（a＋b）＝ （b2－a2＋c·a＋c·b） ＝ （｜b｜2－｜a｜2＋0＋0）＝0. 所以 ⊥ ，即EF⊥AB1. 同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 数学·选择性必修第一册 目 录 法二　设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）. 所以 ＝（－1，－1，1）， ＝（0，2，2）， ＝（－2，2，0）. 所以 · ＝（－1，－1，1）·（0，2，2）＝（－1）×0＋（－1）×2 ＋1×2＝0， · ＝（－1，－1，1）·（－2，2，0）＝2－2＋0＝0， 所以 ⊥ ， ⊥ ， 所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 数学·选择性必修第一册 目 录 法三　由法二得 ＝（0，2，2）， ＝（－2，2，0）， ＝（－ 1，－1，1）. 设平面B1AC的法向量为n＝（x，y，z），则 ·n＝0， ·n＝0， 即 取x＝1，则y＝1，z＝－1， 所以n＝（1，1，－1），所以 ＝－n， 所以 ∥n，所以EF⊥平面B1AC. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤 基向 量法 把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示， 分别证明它们垂直 坐标法 利用线线垂直 （1）建系后，将直线的方向向量用坐标表示； （2）找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； （3）分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0 利用平面的法向量 （1）建系后，将直线的方向向量用坐标表示； （2）求出平面的法向量； （3）判断直线的方向向量与平面的法向量平行 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形， CC1＝2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为 D. 求证：A1C⊥平面BDE. 数学·选择性必修第一册 目 录 证明：连接C1D， ∵C1在平面ABC内的射影为D， ∴C1D⊥平面ABC， 又BD，AC⊂平面ABC， ∴C1D⊥BD，C1D⊥AC， 又△ABC为等边三角形，D为AC的中点， ∴BD⊥AC， 则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x， y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 数学·选择性必修第一册 目 录 则D（0，0，0），B（ ，0，0），C（0，－1，0），C1（0，0， ），E（0，－ ， ），A1（0，2， ），∴ ＝（ ，0，0）， ＝（0，－ ， ）， ＝（0，－3，－ ）. 数学·选择性必修第一册 目 录 法一　设平面BDE的法向量为m＝（x，y，z）， ∵ 即 不妨取z＝1，则y＝ ，则m＝（0， ，1）， ∴平面BDE的一个法向量为m＝（0， ，1）， ∵ ＝（0，－3，－ ）， ∴ ＝－ m，∴ ∥m， ∴A1C⊥平面BDE. 数学·选择性必修第一册 目 录 法二　∵ · ＝0， · ＝ － ＝0， ∴ ⊥ ， ⊥ ， 即BD⊥A1C，DE⊥A1C， 又BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE， ∴A1C⊥平面BDE. 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 知识点三 平面与平面垂直 目 录 问题3　设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β 时，n1，n2之间有什么关系？ 提示：垂直. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 面面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β⇔ ⇔ ⁠. n1⊥n2　 n1·n2＝0　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例3】在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD， 且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD. 证明：设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），E（ ， ， ）. 数学·选择性必修第一册 目 录 法一　连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为（ ， ，0）. 易知 ＝（0，0，1）， ＝（0，0， ）， ∴ ＝ ，∴OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. 数学·选择性必修第一册 目 录 法二　设平面BDE的法向量为n1＝（x，y，z）. 易知 ＝（－1，1，0）， ＝（－ ， ， ）， ∴ 即 取x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝（1，1，0）.∵AS⊥平面 ABCD， ∴平面ABCD的一个法向量为n2＝ ＝（0，0，1）. ∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 向量法证明面面垂直的两种思路 （1）证明两个平面的法向量互相垂直； （2）根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个 平面. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点，F是BC的中点.求证：平面EAD1⊥平面EFD1. 证明：如图，建立空间直角坐标系，则E（0，1，0），A（1，0，0）， D1（0，0，1），F（ ，2，0）， ＝（－1，1，0）， ＝（0，－ 1，1）， ＝（ ，1，0），设平面EAD1的法向量为n＝（x，y，z）， 数学·选择性必修第一册 目 录 则 即 令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝（1，1，1）. 设平面EFD1的法向量为m＝（x'，y'，z'）， 则 即 令x'＝2，则y'＝z'＝－1， 所以m＝（2，－1，－1）. 因为n·m＝2×1＋1×（－1）＋1×（－1）＝0，所以n⊥m， 所以平面EAD1⊥平面EFD1. 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 提能点 垂直关系中的探索性问题 目 录 【例4】　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点. （1）在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE？ 解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所 在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A（1，0，0），E（ ，1，0），B1（1，1，1）， D1（0，0，1）， ＝（0，－1，－1）， ＝（－ ，0，－1）. 数学·选择性必修第一册 目 录 假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE， 设N（1，b，c）， 则 因为 ＝（1，b，c－1）， 所以 解得 故平面AA1B1B上存在点N（1， ， ），使D1N⊥平面B1AE. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）在B1D1上是否存在一点P，使平面PAE⊥平面ABCD？ 解：假设在B1D1上存在点P，使平面PAE⊥平面ABCD，故可设P（λ， λ，1）， 则 ＝（λ－1，λ，1）， ＝（λ－ ，λ－1，1）， 设平面AEP的法向量为n＝（x，y，z）， 则 数学·选择性必修第一册 目 录 即 令x＝1，则n＝（1， ，1－ λ）， 又平面ABCD的法向量为 ＝（0，0，1）， 由平面PAE⊥平面ABCD，得n· ＝0， 即1－ λ＝0，解得λ＝ ， 故在B1D1上存在点P（ ， ，1），使平面PAE⊥平面ABCD. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 有关是否存在一点，使得直线、平面之间满足垂直关系的探索性问题，解 答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该点的坐 标，将直线、平面的垂直关系转化为直线的方向向量、平面的法向量之间 关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程（组）.若方程 （组）有解，则点存在；否则，点不存在. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练4　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平 面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝ ，在棱PD上是否存在点M， 使得AM⊥BD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 数学·选择性必修第一册 目 录 解：连接AC，交BD于点F，因为底面ABCD为矩 形，所以F为BD的中点， 假设在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD. 取CD的中点为O，连接PO，FO， 因为底面ABCD为矩形，故BC⊥CD， 而F为BD的中点，故OF∥BC，所以OF⊥DC. 因为PC＝PD＝ ，故PO⊥CD，又平面PCD⊥平 面ABCD，PO⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，故PO⊥平面ABCD， 故以O为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A（1，－1，0），D（0，－1，0），B（1，1，0），P（0，0，1）， 设 ＝λ（λ∈[0，1]），M（x，y，z），则 ＝λ ， 数学·选择性必修第一册 目 录 即（x，y，z－1）＝λ（0，－1，－1），则 可得M（0，－λ，1－λ）， 故 ＝（－1，1－λ，1－λ）， ＝（－1，－2，0）， 因为AM⊥BD，故 · ＝0，即1－2（1－λ）＝0，解得λ＝ ，即在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD，此时 ＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直. （　√　） （2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面 垂直. （　√　） （3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直. （　√　） （4）若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量垂直，则 l⊥α. （　√　） √ √ √ √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 已知空间中直线l的一个方向向量为a＝（1，2，4），平面α的一个法 向量为n＝（2，4，8），则（　　） A. 直线l与平面α平行 B. 直线l在平面α内 C. 直线l与平面α垂直 D. 直线l与平面α不相交 解析：　由a＝（1，2，4），n＝（2，4，8），可得n＝2a，所以 n∥a，故a＝（1，2，4）是平面α的一个法向量，故直线l与平面α垂 直.故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 平面α的法向量为（3，1，－2），平面β的法向量为（－1，1，k）， 若α⊥β，则k＝ ⁠. 解析：因为α⊥β，所以3×（－1）＋1×1＋（－2）×k＝0，解得k ＝－1. －1 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中 心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当 ＝ 　​ 　时， ON⊥AM. ​ 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：以A为原点，分别以 ， ， 所在直线为x，y，z轴，建立 空间直角坐标系（图略），设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），O （ ， ，0），N （ ，0，1），设M（0，1，a）（0≤a≤1），则 · ＝（0，1，a）·（0，－ ，1）＝－ ＋a＝0，∴a＝ .∴当 ＝ 时，ON⊥AM. 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）直线与直线垂直的向量表示及应用； （2）直线与平面垂直的向量表示及应用； （3）平面与平面垂直的向量表示及应用. 2.应体会 利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的垂直关系，体现了转 化与化归的思想方法. 3.避易错 直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆. 数学·选择性必修第一册 目 录 05 PART 课时作业 目 录 1. 若平面α，β的法向量分别为a＝（2，－1，0），b＝（－1，－2， 0），则α与β的位置关系是（　　） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 解析：∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，则下列选项 中正确的是（　　） A. v∥n⇔l∥α B. v∥n⇔l⊥α C. v⊥n⇔l∥α D. v⊥n⇔l⊥α 解析：已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，由于v∥n，所以l⊥α，故A错误，B正确；由于v⊥n，所以l∥α或 l⊂α，故C、D错误.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E 是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上一点，且 CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（　　） A. y－z＝0 B. 2y－z－1＝0 C. 2y－z－2＝0 D. z－1＝0 解析：　由题意知E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0），所 以 ＝（－1，0，－2）， ＝（－2，y－2，z），因为CF⊥B1E， 所以 · ＝0，即2－2z＝0，即z＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 已知点A（0，1，0），B（－1，0，－1），C（2，1，1），P（x， 0，z），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为（　　） A. （1，0，－2） B. （1，0，2） C. （－1，0，2） D. （2，0，－1） 解析：　由题意知 ＝（－1，－1，－1）， ＝（2，0，1）， ＝ （x，－1，z），又PA⊥平面ABC，所以有 · ＝（－1，－1，－ 1）·（x，－1，z）＝0，得－x＋1－z＝0　①. · ＝（2，0， 1）·（x，－1，z）＝0，得2x＋z＝0　②，联立①②得x＝－1，z＝2， 故点P的坐标为（－1，0，2）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F 是AD上一点，当BF⊥PE时， ＝（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形 ABCD的边长为1，PA＝a，则B（1，0，0），E（ ， 1，0），P（0，0，a）.设F（0，y，0），则 ＝ （－1，y，0）， ＝（ ，1，－a）.因为BF⊥PE，即 · ＝（－1）× ＋y＝0，解得y＝ ，即F（0， ，0）是AD的中点，故 ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中 心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（　　） A. 和AC垂直 B. 和AA1垂直 C. 和MN垂直 D. 与AC，MN都不垂直 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略）.设正方体的棱长为2a，则M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），O（a，a，0），N（0，a，2a）.∴ ＝（－a，－a，a）， ＝（0，a，a）， ＝（－ 2a，2a，0）.∴ · ＝0， · ＝0，∴OM⊥MN，OM⊥AC， OM和AA1显然不垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕给出下列命题，其中是真命题的是（　　） A. 若直线l的方向向量a＝（1，－1，2），直线m的方向向量b＝（2， 1，－ ），则l与m垂直 B. 若直线l的方向向量a＝（0，1，－1），平面α的法向量n＝（1，－ 1，－1），则l⊥α C. 若平面α，β的一个法向量分别为n1＝（0，1，3），n2＝（1，0， 2），则α⊥β D. 若平面α经过三点A（1，0，－1），B（0，1，0），C（－1，2， 0），向量n＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u＋t＝1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　对于A，a·b＝1×2－1×1＋2×（－ ）＝0，则a⊥b，所以 直线l与m垂直，故A是真命题；对于B，a·n＝0，则a⊥n，所以l∥α 或l⊂α，故B是假命题；对于C，n1·n2＝6，所以α⊥β不成立，故C是假 命题；对于D，易得 ＝（－1，1，1）， ＝（－1，1，0），因为向 量n＝（1，u，t）是平面α的法向量，所以 即 得u＋t＝1，故D是真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. 已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝（1，－3，z）， 向量v＝（3，－2，1）与平面α平行，则z＝ ⁠. 解析：由题意得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9. －9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. 在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－3，1），C（2，－2， 1）.若向量n与平面ABC垂直，且｜n｜＝ ，则n的坐标为 ⁠ ⁠. （－2， 4，1）或（2，－4，－1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：由题意，得 ＝（－1，－1，2）， ＝（1，0，2）.设n＝ （x，y，z），∵n与平面ABC垂直，∴ 即 可得 ∵｜n｜＝ ，∴ ＝ ，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝ 2，z＝－1.∴n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，CB＝1，CA＝ 2，AA1＝ ，M是CC1的中点. （1）求AM的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解：以B为坐标原点，以BC，BA，BB1所在直线分别 为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.所以B （0，0，0），A1（0， ， ），A（0， ，0），M （1，0， ）， 则 ＝（1，－ ， ），AM＝｜ ｜＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求证：AM⊥BA1. 解：证明： 由（1）知， ＝（1，－ ， ）， ＝（0， ， ）， 则 · ＝（1，－ ， ）·（0， ， ）＝0， 所以AM⊥BA1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. 如图，在正三棱锥D-ABC中，AB＝ ，DA＝2，O为底面ABC的中 心，点P在线段DO上，且 ＝λ ，若PA⊥平面PBC，则实数λ＝ （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　由题设知△ABC为边长为 的等边三角形，且DA ＝DB＝DC＝2，等边△ABC的高为 ＝ ，在正三棱 锥中，以O为原点，平行 为x轴，垂直 为y轴， 为z轴建系，如图所示，则A（0，－1，0），B（ ， ，0），C（－ ， ，0），D（0，0， ），且P（0，0， λ），所以 ＝（0，1， λ）， ＝（ ， ，－ λ）， ＝（ ，0，0），设m＝（x，y，z）为平面PBC的法向量， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 则 即 令z＝1，得m＝（0，2 λ，1），又PA⊥平面PBC，则 ＝km且k为实数， 故λ ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 〔多选〕如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把 △ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下结论，其中 正确的是（　　） A. · ＝0 B. AB⊥DC C. BD⊥AC D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系（图略），设等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，则B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A（0，0，1），所以 ＝（1，0，－1）， ＝（0，1，－1）， ＝（0，1，0）， ＝（－1，0，0），从而有 · ＝0＋0＋1＝1，故A错误； · ＝0，故B正确； · ＝0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为 ＝（－1，0，0），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由 ·n＝x－z＝0， ·n＝y－z＝0，取z＝1，则x＝1，y＝1，故n＝（1，1，1）， ·n＝－1，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. 已知空间三点A（－1，1，1），B（0，0，1），C（1，2，－3）.若 直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为 ⁠ ；若空间中点N满足BN⊥平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标 是 ⁠ ⁠. （－ ， ， 1） （4，4，4）（答案不唯一，满足（4k，4k，3k＋1）（k≠0）即 可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：设M（x，y，z）.∵ ＝（1，－1，0）， ＝（2，1，－4）， ＝（x，y，z－1）， ＝（x－1，y－2，z＋3），∴由题意，得 ∴ ∴点M的坐标为（－ ， ，1）.设平面ABC的法向量为n＝（x1，y1，z1），则n· ＝x1－y1＝0，n· ＝2x1＋y1－4z1＝0.令x1＝1，则y1＝1，z1＝ ，∴n＝（1，1， ）.设点N的坐标为（a，b，c），则 ＝（a，b，c－1）.由题知， ∥n，即 ＝ ＝ .∴点N的坐标满足（4k，4k，3k＋1），其中k≠0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A， AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝ BC，E是PC的中点. （1）求证：AE⊥CD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直 线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA＝AB＝BC＝1，则A（0，0，0），B（1，0，0）， P（0，0，1）. 因为∠ABC＝60°，AB＝BC，所以△ABC为正三角形. 所以C（ ， ，0），E（ ， ， ）， ＝（ ， ，0）， 设D（0，y1，0），则 ＝（－ ，y1－ ，0）， 由AC⊥CD得 · ＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 即－ ＋ （y1－ ）＝0，解得y1＝ ，则D（0， ，0）， 所以 ＝（－ ， ，0）. 又 ＝（ ， ， ）， 所以 · ＝－ × ＋ × ＝0， 所以 ⊥ ，即AE⊥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求证：PD⊥平面ABE. 证明：法一　　由（1）知 ＝（1，0，0）， ＝（ ， ， ）， 设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 令y＝2，则n＝（0，2，－ ）. 又 ＝（0， ，－1），显然 ＝ n，所以 ∥n， 所以 ⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 法二　由（1）知 ＝（ ， ， ）， ＝（0， ，－1）. 所以 · ＝ × ＋ ×（－1）＝0， 所以 ⊥ ，即PD⊥AE. 由（1）知 ＝（1，0，0），所以 · ＝0，所以PD⊥AB. 又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已 知BC＝4，AB＝AD＝2. （1）求证：AC⊥BF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解：证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD， ∴AF⊥AC. 过A作AH⊥BC于H（图略），则BH＝1，AH＝ ，CH＝3， ∴AC＝2 ， ∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB. ∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB， ∴AC⊥平面FAB. ∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 解：存在.理由如下： 由（1）知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2 ，0）， E（－1， ，2）. 假设在线段BE上存在一点P满足题意， 则易知点P不与点B，E重合， 设 ＝λ，λ＞0，则 ＝λ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 设P（a，b，c），则（a－2，b，c）＝λ（－1－a， －b，2－c），得P（ ， ， ）. 设平面PAC的法向量为m＝（x，y，z）. 由 ＝（ ， ， ）， ＝（0，2 ，0），得 ​ 即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 82 令x＝1，则z＝ ， ∴m＝（1，0， ）为平面PAC的一个法向量. 同理，可求得n＝（1， ，1）为平面BCEF的一个法向量. 当m·n＝0，即λ＝ 时，平面PAC⊥平面BCEF， 故存在满足题意的点P，此时 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $